This is a digital copy of a book thaï was prcscrvod for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's bocks discoverablc online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journcy from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying. We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for Personal, non-commercial purposes.
+ Refrain fivm automated querying Do nol send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine translation, optical character récognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpcoplcabout this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countiies. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any spécifie use of any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web
at|http: //books. google .com/l
A propos de ce livre
Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.
Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.
Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.
Consignes d'utilisation
Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages apparienani au domaine public et de les rendre ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine. Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées. Nous vous demandons également de:
+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers. Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un quelconque but commercial.
+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.
+ Ne pas supprimer l'attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en aucun cas.
+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.
A propos du service Google Recherche de Livres
En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adressefhttp: //book s .google . coïrïl
f
MÉMOIRES COURONNÉS
ET
MÉMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS
PUBLIÉS PAR
L'ACADEMIE ROYALE
DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.
MÉMOIRES COURONNÉS
ET
MÉMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS
PUBLIÉS PAR
L'ACADEMIE ROYALE
DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.
I
MÉMOIRES COURONNÉS .--/-^-^
ET
MEMOIRES DES SAVANTS ÉTRANGERS
■ 'Q
PUBLldS PAA
L'ACADÉMIE ROYALE
DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.
^RRUXELLES,
F. HATEZ, IHPRIMEUn DE l'aCADÉHIE ROYALE DBS SCIENCES, DES LETTRES
ET DES BEAUX-ARTS DE BELCIQUE.
rue de LouTaiu, 108
1889
*■ . •* s
♦^ jbL 26 1890
^^yOC'Pt
TABLE
DBS
MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME LI.
CLASSE DES SCIENCES.
0 \ Sur l'influence du frotlement et des actions mutuelles intërieures dans les mouvements périodiques d*un système. — Application au sphéroïde terrestre; par E. Ronkar.
G t2. Nouveaux éléments de Torbite de la planète (\S\) Eucharis; par L. de Ba|l.
O 0. Démonstration pratique de Texistcnccde la nutation diurne; par L. Niesten.
0 4. Mémoire sur quelques formules de calcul intégral; par J. Beaupain.
Q5. Recherches sur les jeunes Palmiers (avec 4 planches); par Henri Micheels.
OG. Nouvelles recherches sur quelques formules de calcul intégral; par J. Beaupain.
^7. Ensemble des observations physiques d^la planète Mars faites à Louvain en 1888 h l'Équa- torial de huit pouces de Grubb (avec 2 planches); par F. Terby.
0 8. Sur la généralisation des semi-invariants; par Jacques Deruyts.
09. Sur la transformation linéaire de la théorie des covariants; par Jacques Deruyts.
QiO. Sur la loi de formation des fonctions invariantes; par Jacques Deruyts.
clj
G
SUR
L'INFLUENCE DU FROTTEMENT
ET DES
ACTIONS MUTUELLES INTÉRIEURES
DANS
LES MOUVEMENTS PERIODIQUES D'UN SYSTÈME
APPLICATION AU SPHÉROÏDE TERRESTRE
PAR
E. RONKAR.
INGÉNIEUR HONORAIRE DES MINE89
DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES,
CHARGÉ DE COURS A L*UNIVERSITÉ DE LIÈGE.
(Préseoué à Ir Classe des sciences, dans la séance du 7 Janvier 1888.)
TOMB LI i
SUR
L'INFLUENCE DU FROTTEMENT
ET DES
ACTIONS MUTUELLES INTÊKIEUKES
DANS
LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME
' ■ •
APÎMJCATION Al SPHEKOIDE TERRESTRE
§ I. — Sur l'effet du frottement intérieur.
Considérons d'abord le mouvement de deux poinls matériels libres m(xy y y z) et m' a?', y\ 2'), soumis chacun à Taclion d'une force de nature périodique ainsi qu'a celle d'un froUemenl dont la grandeur dépend de leur vitesse relative. Admettons, par exemple, que ce frottement est proportion- nel; pour chacun des points, à la vitesse relative de l'autre, et que la force qu'il exerce est dirigée suivant cette dernière vitesse. D'après cela, la force de frottement f qui agit sur le point m aura pour composantes suivant les axes :
Idx' ds\
Idz' dz\
l étant une constante positive.
SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc., Les composanics de la force de froltemciU qui agit sur m' seroul :
Pour généraliser un peu la question, nous pouvons prendre :
(dx'
A=«h7-
rfx\
dï)'
fy
f.
iày'
dll
tdz' dz\ \dt'"dt]
Soîenl mainlenanl F„ F^, F„ les composâmes de la force périodique agissant sur m^ cl F^, Fy,, F^, celles de la force périodique qui agit sur w' ; nousaurons :
— = F -f- {
'" ;^ = P' -^ A
1
m
m
- F, H- /;
m
m
F.. H- /•..
m
Ai (Pz-
Ip
T — l'y' "♦■ /f' )•
= F,. ♦-/;.
Nous voyons tout de suite, en nous reportant aux expressions des forces ^ qu'il suffit d'examiner simultanément les premières équations de ces deux groupes qui sont relatives à la direction x; ce que nous en déduirons pourra s'appliquer aux directions des // et des z, en tenant compte des valeurs particulières des constantes, qui peuvent différer pour las trois directions coordonnées.
Posons :
T'
il vient :
d'x
^ 2t(/ — X) dx dx\
r/l* ^ ï \dt iU I
««'
rf'x
fil •— — tssz > a cos
ih^ ma
dt
ï r
\ <n di I
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES DUN SYSTÈME 5
Il s'agit dlnlégrer ces équations.
En les ajoutant membre à membre et intégrant, il vient :
A étant une constante.
En divisant respectivement par m et m' les deux équations et les retran chant Tune de Tautre, on obtient :
Remarquant que le facteur d'intégration est :
2t II — À) cos
nous aurons :
\dt dtl ^mj T
^^ tn ^/ T
dt
A' étant une constante. Or on a en général :
q sin ni -4- -cos ni
H
Par suite, on a :
/ — i' T (\ \\ «— >'
sin "In -=:, — *- :r- « — • ; cos ^jt —- —
r 2ff \m ml T
f/x' dx
I T'
\2r/ \m ml
. ^ t — X T / 1 I \ ^ « — A
sin 2t H al — I : cos 2t — r—
T "-lit \m mV T
l/l •■ In
'« . I
1\
A f ^"* * •
SUR L'INFLUENCK DU FROTTEMENT, kic.
Combinant cctie équation avec ré(|ualion (4 ), on pourra calculer ^ cl — Pour simplifier les noialions, posons :
T / I i\ , T [ \
2t \m ml tTT \m
I
m m
lift*
Nous aurons d'abord en calculant -7- :
r//
^ 2t t
^ tfT f — i -4- > -— sin a*- — H A,
fW
^ îr I -^ r
« . M,
wi'A c
Si nous groupons les termes de cette équation, il viendra :
dx ^uïVI m I \ . < — >i m' * « ^ — ^1
(w -4- w ) — = > — M « : sin 2t ^ -cos 2?: — - —
-^ > f sin !2t cos 2t -— —
^ :l7r \} \ -t-fV T' I -♦-*•'* T' J
-+- A — m'\'p.
-O^.)'
On obtiendrait une expression analogue pour ^^-
Nous pouvons distinguer trois parties dans la valeur de ~ : la première provient de F„ la deuxième de F,.; la troisième ne dépend que du frottemenl.
Examinons d'abord la première partie que nous désignerons par ^;j^j; nous avons :
iix'
, m -\- m ^ :ir [\ m 1 -+- r/ T m I -+- r T J
Posons :
m' I "l'KfA
\ H =r p ros
Wl I -4- f"* T
r
m e . 2TU
v>.
— ^^ p siii
/
DAJNS LES MOUVEMENTS PÉKIODIQUES D'UN SYSTÈME.
îf viendra :
_- = . > — p siii 2îr -
Differenliant celte expression el miiilipiiant par m, on a :
/d*x\ Ml —, ( > -4- /K
Comparons le terme de période T de celle expression, savoir :
n. e=a fl . a COS ÎtT '- »
•^ m-^m'^ T
avec le lerme correspondanl de F^, c'esl-à-dire :
Nous voyons d'abord que dans ^„ Pamplilude de la force est réduite dans le rapport :
m
m H- m
En outre, il y a une varialion de phase dans Taclion de celte force; Tavance angulaire qui en résulle esl ^. Des équations ci-dessus, on tire d'ailleurs :
l r m' /m'\n i -f. f * L m \m /
m' — e
III
Pour nous faire une idée de la manière dont varienl ces quantilés, nous ferons quelques hypothèses particulières.
8 SUR L INFLUENCE DU FROTTEMENT, ne,
Supposons d^abord que T soit suffisamment petit pour que Ton puisse négliger e devant Tunilé; nous aurons :
m'
m
m'
fA m
m
On conclut de là que la variation de la phase tend vers zéro, à mesure que T diminue. Ensuite, il vient :
Ainsi donc, à la limite ^, = g.
En d'autres termes, la force g exerce son action sur le point m, comme si ce point était entièrement libre; Faction du frottement exercé par m' dis- paraît.
Supposons maintenant que T croisse, de sorte que e soit 1res grand par rapport à d + — ; nous aurons :
m
^«^; ^ — f
m -¥- m'
"iiFfjL _ m' \
On voit que la variation de la phase diminue à mesure que T augmente. Ensuite, la valeur de 6 indique que, au point de vue de l'action exercée sur m, les choses se passent comme si la force g s'était répartie sur les masses m et m* proportionnellement à ces masses; ou si Ton veut, on peut dire que cette action s'exerce comme si m entraînait ?n' dans son mouvement.
Entre ces deux cas limites, on a toujours :
m
m -f- m'
) t i
DANS LES MOUVEMElNTS PÉRIODIQUES D'CIN SYSTEME »
p décroissanl à mesure que T augmente; on peut alors poser :
m -4- wi|
De sorte qu'au point de vue de Tintensilé^ Taelion de g s'exerce de la même manière que si m entraînait une partie m^ de la masse de m'; cette partie entraînée croît avec T.
Quant à la variation de phase dans Faction de g , elle est nulle pour T = 0; elle croît d'abord avec T, passe par un maximum pour ê=^ i + ~ t*e qui donne :
9»
^ m
puis elle décroît de nouveau, et s'annule pour T = oc .
Remarquons tout de suite que l'accroissement du coeflicient a, entraine les mêmes conséquences que l'accroissement de-T; si a est très grand, le mou- vement aura toujours à peu près lieu. comme si les points m et m' étaient invariablement reliés; au contraire, si « décroîl, l'indépendance des mouve- ments de m et de m' s'accentue, de la même manière que quand T décroît.
Passons maintenant à l'examen de la seconde partie de -; désignons-la
par \^\ , et nous aurons :
dx\ \ ^a'T V Tr . « ^ — ^ es ' — >
— = > ; c'sn27r — cos2t-— —
Posons :
e'=o' eosSar — » { = p' sinâT-;;
T' ' 1
il viendra :
1 £
Enfin :
/, m -f- m •^ 2rr
di If m -f- m' ^ 2rr y/^
fo^ME Ll
- SU! 2t
+ e'^
10 SUR LINFLUEJNCE DU FROTTEMENT, etc.,
On en déduit :
e' ^ e — X'— f*'
— = ; z « cos 2t —
Comparons encore le terme de période T' de cette expression^ c'est-à-dire :
m , e ^( — A — A4
QÎ= 7 g "" cos 2y t
^* m H- m' V/TT7^ T'
avec le terme correspondant de F,., savoir :
g =-a cos ;p
Nous constatons encore que le coefficient d'intensité a' de g' est réduit dans le rapport :
a' îi
m -4- m |/ 1 ^, e«*
Il y a ensuite un relard angulaire de la phase^ représenté par an ^7.
Examinons encore quelques cas particuliers.
Si T' décroiti il en est de même de e', et à la limite^ on a :
Àinsi^ dans ce cas^ la forcer' n'a nulle action sur le mouvement du point m. Si nous rapprochons ce résultat de celui que nous avons obtenu précédem- ment par rapport à Faction de g^ lorsque T est petit^ nous pourrons dire :
En ce qui concerne la partie périodique du mouvement des points m et m', on peut considérer ces deux points comme absolument indépendants pour les termes à courte période.
Considérons maintenant le cas où T' est très grand; si Tunité devient négligeable par rapport à e'^ il vient :
m m'
d'= ;, 2r- = 0.
m -¥■ m' T
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES DUN SYSTÈME, ii
La variation de la phase tend donc vers zéro. En outre/Faclion de ^' sur m a lieu de la même manière que si celle force se réparlissail sur m et m' proportionnellement ù ces masses.
Si nous rapprochons ce résullat de celui que nous avons obtenu précé- demment pour Paclion de g lorsque T est très grand, nous pourrons dire :
En ce qui concerne la partie périodique du mouvement des points m et m', on peut considérer ces deux points comme invariablement reliés entre eux pour les termes à longue période.
Dans tout autre cas, on a :
m
0<f <
m -4- m
6' croissant au fur et à mesure que T augmente. On pourrait poser
mi
e' = ; » m, < iM,
iifi -4- m
et considérer que dans son mouvement la masse m' entraine une partie m^ de la masse m.
Quant à la variation de la phase, elle varie de ^ à 0.
Nous pourrons donc dire :
Pour les termes à période moyenne, on peut considérer que chacune des masses m et m' entraine dans son mouvement une partie de la masse de l'autre d'autant plus grande que la période est plus grande; eti outre, faction de la force se produit avec une certaine variation dans la phase. .
Il nous reste à examiner la troisième partie de •£, savoir :
\dl /, m -«- m' m -+- w'
•^j serait :
o.
j:i_A'e-'(^-*-^)'.
fw -♦- m m -♦- m
J2 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc,
On voil d'abord que ces deux parties sont indépendantes des forces pério- diques Fjp el F,,; à mesure que / augmente^ ces deux valeurs tendent vers la même limite :
■ ■ >
m -♦- m'
de sorte qu'après un temps très long, on peul considérer les deux points comme animés d'un mouvement uniforme de même vitesse ; outre ce mouve- ment, chacun des points sera animé d'un mouvement oscillatoire déterminé par les forces F^ et F^^., ainsi que nous venons de le voir.
Comme nous Pavons déjà fait remarquer, les mêmes conclusions sont applicables aux mouvements parallèles aux axes des y et des 2;; il y a seule- ment à tenir compte de la valeur plus ou moins grande du coefficient de frottement pour ces diverses directions.
Occupons-nous maintenant d'un cas qui diiïère un peu du précédeni, mais qui s'y ramène néanmoins. Supposons que les points m et m' sont animés chacun d'un mouvement sensiblement uniforme el rectiligne (*). Ce mouvement est troublé par l'action de forces perturbatrices très petites et de nature périodique; elles sont données en fonction de la position des points. En outre, nous admettons l'existence d'un frottement de même nature que celui considéré jusqu'ici. Pour ne pas compliquer inutilement les notations el les calculs, nous poserons simplement :
F, = a cos pu ; F^ = 0 ;
• * ■
li esl un coefficient très petit, u est une fonction linéaire de (xy y, ^,) Çpc\y\ z^y On reconnaîtra aisément par la suite que le problème se résou- drait de même si F^ et F^ se composaient chacun d'une série de termes de cette forme.
Les mouvements des deux points étant sensiblement uniformes, nous |)ouvons poser :
^ élanl une quantité très petite.
*) Ou du moins qu'on peut considérer conime tel dans un intervalle de temps donné.
DANS LES iMOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTEME i5
Les équalions des mouvements des deux points sont donc :
m , dt
— =s a C08 I Stt -- — h (^ -♦-«-; T-
t* \ T / \dl dl I
m ' , di
Si Ton néglige J dans une première approximalion, les équations auront la forme de celles du cas traité précédemment et nous pourrons les remplacer par les suivantes :
m — - = aacos2fr h A ac ^^ * ,
dl^ T
nv -—- «o»! cos 2r A «e v- - v
c/«* T
OÙ G^ Oyy iJLy //.| ont des significations connues en fonction de ol et T. En intégrant^ il vient comme plus haut :
m-«=ae — sinSîT -^ A' -c ^"' ""^ -♦- A
m
rf/ âîT T m -¥■ m' m -h m'
puis :
mx
= — fld — cos2t ^ ^- — : e V-."*"-'; ^a I-4-C,
v2nl T a \m -♦- m / m -f- m'
C étant une constante.
On obtiendrait des équalions analogues pour ^ et x'; et de même pour les autres axes coordonnés.
Puisque nous avons supposé d^abord que les mouvements étaient uni- formes et reclilignes^ x elti sont des fonctions linéaires de ly et on peut écrire :
mj=.y(( — X)(7 +t?,
a étant un coefliciei)t numérique, et v une quantité de même nature que i.
U SUR JL'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On peut prendre d'abord :
/T\« t + fc-x A'/ mm' \« -.(l+-|,)i
\zir/ T a \m -I- m /
si les termes considérés sont très petits. Considérons le terme périodique :
a» y eos -L-^^ -' .
Si par la nature de la question T est pelil^ on sait que 6 se rapproche de Tunité^ et si en outre a est petit^ le ferme considéré est toujours très petit el peut être conservé dans la valeur de t^.
Si, au contraire, T est très grand, 5 est à peu près égal à ^^^r, pour que le terme considéré soit très petit, il faut donc que a soit excessivement petit, ce que nous supposons dans le problème proposé.
Le terme :
\al \m -♦- m'I 'à'\
est petit, si le coeflicienl (-] est suffisamment petit; nous avons vu qu'abstraction faite des termes périodiques. A' est petit si, dans Tétat initial, les deux points ont sensiblement la même vitesse; en outre, le terme devient petit au bout d'un temps / suffisamment grand.
Telles sont les conditions que nous devons supposer remplies, pour que le problème puisse être résolu par la méthode approchée précédente. On pour- rait alors obtenir une valeur plus approchée de x et de a?', en remplaçant t; et par suite i par leurs valeurs.
Il est clair qu'on pourrait maintenant déterminer le mouvement des points, si les forces périodiques étaient données, partie en fonction du temps, partie en fonction de la position des points.
Après avoir examiné le mouvement de deux points matériels, m, m', passons maintenant à l'étude du mouvement d'un système dans les mêmes conditions.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. iîJ
Pour cela, admellons d'abord qu'un troisième point m" Ça;*', y", z") intervienne; ce point est soumis à Faction d'une force périodique (F,M,Fy.,,F,,r), et agit par frottement sur les points m et 7n'; grâce à ce frottement, la force (F^,, Fyf,, F^,f) exercera, en vertu de ce qui précède, une certaine action sur les mouvements des points m et m', action qui dépend de la grandeur des périodes des termes qui composent la force. On peut encore montrer que cette action est sensiblement nulle pour les termes à courte période, tandis que pour les termes à longue période, la masse m'' entraine, dans son mou- vement, les masses m et m', comme si ces trois masses formaient un sysième rigide.
Sans altérer la généralité de la question, nous pouvons poser :
F. = F.,= 0, F,.«o"cos — ;
les équations des mouvements des points seront de la forme :
(Px (dx dx\ Idx" dx\
df \dt di I '\dt dtl
, cTx' (dx dx'\ Idx" dx'\
'dF=*[dr-i[ri'^'''\'dr — w
,rfV (dx dx"\ [dx' dx"\ „ S^e
dl* \dl du \ dt dtl T"
On obtiendrait des équalions de même forme pour les axes des y et des z. Recherchons d'abord les termes périodiques de ar, x*, x". Posons :
dx V [ 2t< . 2tI\
m
—- A COS
!27r \ T"
(il !27r\ T" V I
dx' T" / 2ir« , . 2t( \
~ "A* sin— - .
T" / , 2ir«
— \' COS
2Tr \ T"
dl 27r\ T" '^ y I
dx" T" , 2t/ dl 2t \ T"
: sm----J T"/
Substituons dans les équations précédentes et égalons, dans chacune d'elles.
16 SUR L'IISFLUEiNCE DU FUOTTEMENT, etc.,
É
les cocfficîenis de sin —^ el cos ~ dans les deux membres; nous aurons :
2r
^ ''•^ ;p' = * (^' — A*) -♦- «1 'a*" — A*)i
»» V .p; = « (X — X') ^ *, (A" - A'),-
--»»">"|^= ««(f*-OH- Mf-'-n^
d'où Ton lire d'abord :
mx -•- m'y 4- m "Ji" » 0,
«
fWfi 4-m/E&+m/K =tt.
En résolvant les six équations précédentes^ on obtient les (X^ a) en fonction de a" et de T".
Examinons le cas où T" est très petit; on peut prendre :
X = X' = i"=0,
^ = ^' = 0, f^" = —;
m
On voit d'abord que le mouvement du point in^^ n'influe pas sur ceux de m et de m\ Ensuite il vient :
dx" a" ï" . "Irl
dt m" '2n ^'" T"
d*x" , 2»rf
m" -7— =» a" eos -—-• dl* T"
Ainsi donc, lorsque la période T'^ est très petite, on peut considérer les mouvements des trois points comme indépendants, quant à la partie pério- dique.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D UN SYSTÈME. 17
Supposons maintenant que T'' croisse de telle sorte que les quantités aV soient très grandes; on satisfera aux équations en posant :
> == A'=.A"«0,
Les équations des mouvements des points deviennent alors :
|
m |
rfC |
o" |
cos |
||||||
|
m -♦- |
m' |
-h |
rtrtf, |
||||||
|
rf^x' |
m' |
t |
2r{ |
||||||
|
m' |
dC |
^ |
o" |
ces |
|||||
|
m -1- |
m' |
-4- m |
rjp/, |
||||||
|
m" |
tPx" |
o" |
m' |
/ |
cos |
ÎTf |
|||
|
dl* |
m -h m' |
-♦- |
m" |
1»// |
Ainsi donc^ la force F,,, se répartit sur les trois points proportionnellement à leurs masses et sans changement de phase. On peut donc^ dans ce cas^ en ce qui concerne la partie périodique du mouvement^ considérer les trois points comme invariablement reliés entre eux.
Les termes exponentiels du mouvement s'obtiendraient en satisfaisant aux équations :
(Px fdx dx\ Idx" dx\
dC
d'x' Idx dx\ Idx" dx'
dx"' m'-^-r- «=a,l-^ ^— I -*-a, 1-^ —
.,rfV' Idx dx"\ Idx' ri
d'où Ton tire d'abord :
dx , dx „ dx
m -- -4- m —r- -♦- »h — = A. dt dt dt
Nous ne nous occuperons pas davantage de cette partie; mais il est évi Tome LI 3
iS SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
denl qu'au bout d'un (emps très long^ les vitesses des trois points tendent vers une même limite indépendante des forces périodiques. Si Ton pose en eiïet :
r/x dx' dx"
di dt dt
il vient^ en vertu des équations précédentes :
B =. B' « B
f »
fil -4- m' -H m''
Il est clair que nous pouvons encore étendre les considérations précédentes au cas d'un nombre quelconque de points; en oulre^ au lieu de supposer que les forces agissantes sont données en fonction du temps tyOn peut admettre que les points ont des mouvements sensiblement uniformes et rectilignes, et que ces mouvements sont troublés par Faction de forces perturbatrices très petites^ de nature périodique et fondions de la position des points. Dans Ions ces cas, l'action du frotlemenl qui s'exerce entre les points sera encore telle, qu'en ce qui concerne la partie périodique du mouvement, les points pourront être considérés comme indépendants pour les termes à courte période, et comme invariablement reliés entre eux pour les termes à longue période; pour les périodes intermédiaires, les points s entraînent plus ou moins dans leurs mouvements, et cette action donne lieu à des variations de phase dans Vaction des forces.
Ces résultats ont été obtenus^ en supposant que les composantes de la force de frottement qui s^exerce entre deux points »? el m' sont de la forme :
Idi' dx\
'• ^ ' rf« dt
DAiNS LES MOUVEMENTS PERIODIQUES D'UN SYSTÈME. i9
Pour généraliser Texpression de la loi de rroUemeni, on pourrait prendre :
^'=''[iû—dïi'-'"\-dï-d{i^'''[in-drr
_ Idx' dx\ Idy' rfy\ Idz' dz\
^'=^\Ti-di]'^^'\Tt-d{]-*-^\iû~dir '• ^\dt dt) ^'\di d(l ^'\dt dii
Prenons mainlenanl les équations du mouvement de deux points^ en posant F, » acos-y^; nous pouvons provisoirement supposer nulles toutes les autres composantes des forces ; nous aurons :
MI-— - =
d^ dt^
a cos —
r
A
m
=/i
f»
= A-
m
m
m'
rf*x'
di*
d'z' IF
=-/:
=-/;
=-A
Si maintenant nous posons :
dx T / . 2ir( --- = — A Slll
rf( Stt V T
dx Jt
dl dz
7t
27rA l
A* cos^J'
dy T [ , <jtxl 2t:A dl/' T / , . 2irl
dt 2t \ ' T T y • I A 2t \ * T
dz ï / . 27rf -— = -- Xi sm -— dl 2w V T
2rA
d( d£ J ^^
ï / = — V siiî
27r\
i
2tA f*'cos— j»
, 2nA
T / . 2,/ , 2«rA == — >i sin-—- + fit, cos -— > 2t \ T ^ Il
nous obtiendrons douze équations du premier degré pour déterminer les coefficienis l et ^ly savoir :
'O G)
wA _ = a — ■ -*- « (a*' — A*) + «1(^1 — A«i) ■*- «i (a4 — /"t).
2t
2t
T
m'A' — =
fît Zt =
T
a(A' — A ) 4-«,(a; — ;i,) -♦- «i(>;- i,\
« (f* —A*') -♦- «1 {/t*i— A*l) -♦- «i (a« — a4),
a (i — A*) + a, (A, — A',) 4- «, (A, - a;), clc.
20 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On reconnaît lout de suite que ces équations nous conduisent aux mêmes résul- tats que précédemment; lorsqu'on suppose T très petite les mouvements des points sont indépendants; si T est très grande le système se comporte comme un système invariable. Ainsi^ la partie périodique du mouvement des deux points et même d'un système de points reste soumise aux lois que nous avons formulées précédemment.
Dans tous les calculs, précédents^ nous avons considéré comme constants les coefficients de frottement «, /S, y.
Il nous reste à voir si nos conclusions s'appliquent encore au cas où ces quantités varient avec le temps t, ou bien avec la position relative des points^ leurs vitesses^ etc.; ainsi^ par exemple^ on peut très bien admettre que le frottement qui s'exerce entre deux points m et »i' dépend de leur distance^ notamment décroît avec cette distance et disparait au delà d'un certain écartement.
Reprenons le cas du mouvement de deux points et posons simplement :
X 2îr/ dx' -dx\
- = acos-—- -i- a -i -7-1»
' T \di dtl
, d}x* _ tdx _ dx'\ ~dî''^''\dî'^Til
On tire d'abord de là :
rfx dx' T . 2t( ^
dt rf< !2t T '
puis :
Idx dx'\ i\ \\ [dx dx'\ a ^itt
rf Idx dx'
Considérons d'abord a comme une fonction du temps l.
dT"" f/J ^^ l'équation (3) se compose d'abord de l'intégrale générale de l'équation :
d (dx dx'\ fi ^\ (dx dx'\ _
ItUt'^ di),'^''\m'^m'l\dr^lû),'-'^'
(4)
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME 21
intégrale qui est de la forme :
idt dl
L'intégrale de Téqualion (3) comprend^ en oulre^ un terme qui est une inté* grale particulière de Péquation el qui ne provient que du terme additionnel ^ cos ^. Ainsi donc^ chacjue force périodique donne lieu à un terme spécial dans Tinlégraie; seulement ce terme n'est plus entièrement périodique.
Dans le cas actuel, ce terme est :
f'if - î^flU - e-f«') " /'eus ^-^ e ./' (^ -*- ^>' \di di 1^ m J 1
c/( . . . . (6)
On peut remarquer d'abord que Ton parviendrait à Téquation (4) en laissant de côté le terme périodique dans les équations du mouvement. Le terme (5) qui provient de celte équation (4) décroit indéfiniment, lorsque le temps augmente, puisque, par la nature même du frottement, a est toujours une quantité positive. Ce terme remplace, dans le cas actuel, le terme expo- nentiel des calculs précédents.
Examinons le terme (6) et tâchons de le mettre sous la forme :
Idx dx'\ T / . 2;r«
4- i, COS Y
>l, et /Z| étant deux fonctions de / convenablement choisies; si nous substi- tuons dans Péquation (3) et égalons les coefficients de cos -^ et sin ~ dans les deux membres, nous aurons :
a l\ I \ T dx, T 1
_ « a - H- — I — i, 4- ^, -♦. — —
m \m ml 2t di 2ir
\m ml^w^ dt Stt
(7)
Les intégrales générales de ces équations comprennent d'abord les inté-
22 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
grales générales des équations :
/i 1 \ T . „ dL ï
0=a — H— — L-*-M + — — \m ml î2t dt 2ir
[\ \\T . dM T
0=:« -H _M— L -»-—.—
\m m7î27r dt Î2ir
(8)
intégrales que nous représenterons par L et M. Les intégrales des équa- tions (7) comprennent en outre deux termes spéciaux L^ et M| qui sont deux solutions particulières de ces équations et qui ne proviennent que du terme additionnel - .
Ovy dans le cas qui nous occupe^ nous devons prendre pour valeurs de X, et /Al ces solutions particulières. En eiTel, on parviendrait encore aux mêmes équations (7)^ si on voulait donner à l'intégrale générale de (3) la Tormc :
i— A, C08 —^ -+- U| sin
2t \ ' T '^
car en procédant comme pour 7., et /Z( on aurait :
a / 1 M , T , Ja; ï ni \m ni / 2r dt ^n
o = « -^-U;- — a; .
\m m I Stt
rW T
(î>
d'où Ton tirerait
aJ = L -h L,,
Or L et M renfermant les constantes arbitraires^ la partie
— L cos H M SI
2t \ T
2irA
sin-j
ne peut conduire qu'au terme (5), tandis que L, et M, dépendant du terme additionnel, la partie
'i' /, 2ir« . 2t/\
— L| COS -—- -4- M| sin -—- 1
2t \ T T /
correspond au terme (6), que nous voulons considérer.
/
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D UN SYSTÈME. 23
Oq peut d'ailleurs vérilier direclemenl ces résultais. Éliminons >i'| des équations (9), nous aurons :
* U m'I^n iii 2t ^' dt -Ir:'
en posant :
I \\i
Ml m / ^t:
H vieni ainsi :
^ttI (II* itT (Il Vix dt I m • • • • v«^;
ce qui nous donne^ pour calculer M^ Téquation :
[Tyd'U ^ T rfM „/T de , \
— -TT-^^e-- — -i-M — ~H-r-+- 1 = (Il)
V2rJ (//* ^7T dt \^v dl I ^ '
Prenons d'abord le cas où a et par suite e eslconslant; les deux équations précédentes deviennent :
/T\«rrM T rfM
U- -77 -+- 2f 7- -^ M(t'-Hi) = 0 (13)
VlrJ dC "-Zr dt ^ ^ ^ ^
Posons M = e'*; nous aurons, pour déterminer y, l'équation : d'où Ton lire :
l{ i\ 2«,/
^ = — a --4-— dr--K — I. \w fW7 T
On a donc :
M -«(i-»-^.)' \r 2t/ ^, . 2;rn
M = e V- -^^ C^cos — ^C^sin —
2i SUR LINFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Si Ton dédiiil L à Taide de celte valeur de M, on a :
L = eM-+--- = c ^- -'^ C, cos -— — C, sin — ;
rf« 2t L T T J
puis il vient :
2îr \ T T / 2;: ^
ce qui est conforme a nos conclusions.
De Téqualion (12), on tire d'ailleurs aisément :
L. ==- d'où :
a t al
• — — i t » ^ïi = — - : »
2W 2t/
sin-— --4-fcos
T /. 2;r/ ^, . 2t/\ a t T ï
— L. ros h M| siii — == .
2n \ T T / «J 2t ^ ^ s*
ce qui e$l bien le terme périodique que nous avons obtenu dans Thypo- thèse de a constant.
Prenons maintenant le cas général. On satisfait à Téquation (il) en prenant :
On peut donc prendre :
M = e
On en déduit :
U_,-/-(>-)''[cc.^-C,.i„^]
Et Ton a encore :
2ïr V ï T / 2» ^ '
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 2«
Ainsi donc les valeurs L el M conduisent bien au lerme (5)/ Il reste à calculer L, et M,. Pour cela, reprenons Téqualion (10), et tâchons d'y satisfaire en prenant :
en considérant C| et C^ comme des variables. Nous aurons
en posant :
dC, 2tI dC, . ^7:1 .-T-cos--— -4- -7- sin -— - = 0, dt T dt T
•^ étant une quantité de la même forme que^. Ensuite :
r == -TT- + e *^ — cos sin — I
' dl* l dt T dt T J
En substituant dans (10), il vient :
-7- cos -— sin -~- = e ^ ' .
(/« T dt T m T
Ensuite :
Ainsi :
— = — sin — t*^
dt m ï T
e/C, a in irt /*, !î «
— = cos — e ■•' ^
A m T T
C, = C, — - — / smY.rft.ey ^ ,
t. = C, ^ - •— / co» — - ./ft.e^ ^ .. m Ij ï
Tome L1.
26 SUR L'INFLUENCE DU FROITEMENT, etc.,
On tire de là :
Mi-s-Y»-^ ' Isin— y C08 Y •«''•«•' — «>sy/*'"T '
a 2ff -A?^. r 2>r« /• 2ff< . A»fw. . 2irt /-. 2rt ^ A»-2:«"|
Enfin :
ainsi qu^on devait s'y attendre.
Si Ton suppose e constant, on retrouve encore :
M,.î '
mi-*-** a f
ni I -♦- f *
Ainsi donc^ il est bien évident que nous devons prendre pour valeurs de \ et ft| les valeurs de L| et M|.
Ceci établi^ passons à Texamen des divers cas.
Supposons d^abord que T soit très petit; les équations (7) pourront
di^ dt
s'écrire, si Ton suppose queaXi,a/z„ -^', -— restent finis :
a fil
ces solutions satisfont aux conditions ci-dessus indiquées. On a ainsi :
on en conclut :
m
fdx dx'\ a T 2jr/
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME, 27
ainsi lorsque T est très petit, le terme provenant de la force redevient simplement périodique et le mouvement a lieu comme si les deux points étaient indépendants.
Considérons ensuite le cas où T est très grand, de sorte que aT a une valeur très grande; si nous supposons que \ et ju, restent Gnis, les équations se réduiront à :
a ^r fi 1 \ , rfA,
m T \m m'I dt
D'où Ton déduit, à la limite :
a Al s: /it, = o-* — ; (ff s'annulant & la limite) m
ces solutions satisfont en outre à la condition ci-dessus; on peut donc prendre :
m l-rr ) = a : COS-zrl m l -tt- i = CI 7 C08 -— -;
m -♦- m T
ainsi, lorsque T est très grand, les ternies provenant de la force rede« viennent simplement périodiques, et les points se meuvent sous Tinfluence de cette force, comme s'ils étaient invariablement reliés entre eux.
Pour les périodes intermédiaires, on peut encore considérer que les points s'entraînent partiellement; mais cette fois, la partie entraînée varie avec le temps /. Il y a aussi une variation de phase dans Faction des forces, et cette variation est aussi fonction du temps.
Nous avons en effet :
on tire de là :
[tPx (Px'\ I T rfA,\ 2îrl IdfJLx T ,\ . 27r<
W c/t'jt \ Stt (/«/ T \rf( 2ïr V T
la \ 2ff« . 2jrl
28 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On a en outre :
m -^-r -»- m — — >= a cos -—- » dl* cft* T
ce qui donne :
inl , . 2rr|
cos -~- — fttim 8in -— ■ >
Il suffirait maintenant de mettre comme précédemment ces formules sous la forme :
|
m |
it) |
= |
2ir U — 0* cos — - T |
o |
|
m' |
D |
, 2»(/ — ai cos _ |
V) |
pour connaître les coeflicienls d'action réciproque 0 et 0* ainsi que les avances angulaires des phases, en fonction du temps /•
Ceci établi^ il importe de remarquer qu'on peut parvenir directement aux équations (7) en partant des équations du mouvement. Posons en effet :
T ^ T y
(-1 - - (
dx'\ T / , 2n< , .
En procédant comme auparavant^ il viendra :
T dx , T 1
m/jL -♦- m —«. o -4- «(1 — A) —
ï r/A* , . T
> (ti)
T dx' T
m>' ■♦-m' = « (A — i') —
'^ 2r A ^ ^2t
— m'A' -♦- m' ^^%{fji^ fi') —
2r <// "^ '^^2t
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 29
Si Ton posait mainlenant
;. — a' = A, et tt — ^' « lA,,
on relomberail évidemment sur les équations (7). Mais il est clair qu'on peut traiter directement les équations (14) comme les équations (7); on les résoudra et on prendra pour valeurs de l, X\ [i, fi', les termes^ qui dans les intégrales générales de ces équations ne contiennent pas de constantes arbi- traires et dépendent seulement du terme additionnel a. Ces termes sont, comme on le sait, des solutions particulières des équations. Ainsi, par exemple, si T est très petit, on aura :
^ ' , ,
fl ssa-^ , X Kss )i -xsz f^' tsa 0,
m
et il viendra comme précédemment :
m
((Px\ 2r< , ((Px'\
Au contraire, si T est 1res grand, il vient :
On a ainsi :
rfA
m =a(A'— A\
m — ^«(;— a),
A = A', fi = /*',
el, comme précédemment :
A, « ^, = 0.
Ainsi les résultais sont conformes aux précédents. Mais, on peut, par ce
30 SUR L1NFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
dernier procédé^ généraliser encore davanlage la loi de frotlemenl ; on peut, prendre :
Idx' dx\ fdy' dy\ Idz' dz\
^'"^'[li-^dll -^^^t'-dfl -^^'[lû-^dil'
a, a^y (Xj étant considérés maintenant comme des fonctions du temps t. Il est facile de voir que les résultats généraux précédents ne sont pas altérés. Le mode de calcul est analogue à celui que nous avons employé lorsque ces coefficients étaient considérés comme constants^ sauf qu'ici il faut tenir compte de ce que les quantités l, (i sont des fonctions du temps. On retombe sur un système d'équations de la forme (li); équations que Ton peut traiter de la même manière. Enfin, on peut étendre les mêmes considérations au cas d'un nombre quelconque de points matériels.
Nous venons de supposer que les coefficients de frottement sont donnés en fonction du temps; on peut aussi admettre que ces quantités sont des fonctions données de la position relative des points, de leurs vitesses, etc., en d'autres termes, qu'ils sont fonctions des (ir, y, z,~, ..•^, ...). Dans ce cas, les équations du mouvement ne sont plus linéaires; d'où il résulte que chaque force périodique ne donne plus lieu, en général, à un terme séparé dans l'intégrale. On peut, néanmoins, toujours Imaginer que les équations du mouvement ont été résolues et qu'on connaît les {x, %jy z) en fonction de /; cela étant, les coefficients de frottement seraient connus en fonction de /, et on pourrait appliquer les méthodes précédentes. Chaque force périodique donne lieu, dans cette manière de voir, à un terme spécial dans le mouvement, terme à l'égard duquel on peut encore se représenter que l'un des points entraîne partiellement les autres dans son mouvement; seule- ment ici, la partie entraînée et la variation de phase dans l'action de la force doivent être considérées comme dépendant de toutes les forces pério- diques agissantes, et non uniquement de la force considérée, comme dans le cas précédent. Quant aux cas des périodes très courtes ou très longues, il est clair que les résultats précédents restent acquis.
Ainsi, dans tous les cas, si une force périodique de période très petite agit sur les points du système, on pourra, dans la recherche du terme cor-
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 3i
respondanl, considérer ce point comme indépendant des autres, pourvu cependant qu'en vertu du mouvement même le coefficient de frottement entre ce point et un autre ne tende pas à devenir inflniment grand à un moment donné.
De même, si une force à longue période agit sur Tun des points, on peut considérer, dans la recherche du terme correspondant, ce point comme entraînant complètement tous ceux qui exercent sur lui une action de la nature du frottement; il faut encore supposer que, dans le cours du mouve- ment, et en vertu de celui-ci, le coefficient de frottement entre ce point et un de ceux qu'il entraîne ne devient pas tellement petit que les quantités de l'ordre «T ne soient plus très grandes; par exemple, cela arrive si un point sort de la sphère d'action de l'autre. Remarquons encore que, pour que le système entier se meuve comme invariable dans ce cas, il n'est pas nécessaire que chaque point exerce un frottement sur tous les autres ; il suffit que chaque point exerce une action de ce genre sur un nombre d'autres points suffisant pour que l'on puisse considérer le système comme continu.
On peut encore admettre, dans ce qui précède, que certaines parties du système se solidifient, ce qui revient à supposer qu'entre les points corres- pondants les coefficients de frottement deviennent assez grands pour que quel que soit T, le système de ces points puisse être considéré comme inva- riable. Il ne s'agira plus, dans ce qui précède, que de considérer les mouve- ments relatifs des points et des parties ainsi solidifiées, et on pourra appliquer à ces mouvements relatifs les conclusions ci-dessus suivant la grandeur des périodes des forces agissantes.
§ 2. — Sur l'effet des actions mutuelles intérieures.
Considérons deux points matériels m(x, y, z) et m'{x', y>, z'), soumis chacun à l'action d'une force de nature périodique et entre lesquels agit en outre une force centrale dont nous représenterons l'intensité attractive par y(r), r étant la dislance des deux points.
32 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Les équations du mouvement parallèle à Taxe des x seront de la forme :
(Px ,_va:' — X ^ 2t(( — J)
m -^ = f (r) -4- 5 « ^*
On tire d'abord de là :
ensuite :
aoos ^^ H-^û'cos 15 ; • • • (tî^)
-4- 1 N— (x — X ) «= > — COS 2w — > — cOS âsr
rf«« <//* \«i %n'l r^ ' ^m T ^ m' T
Il faut intégrer cette éqiiatioii. Avant de la traiter dans le cas général^ supposons d'abord qu'il s'agisse du cas simple^ où Ton a :
h étant une quantité positive. H viendra :
— (x — x' H-A — -♦- — l(x — x' = \-cos2îr-— \_cos2ir , (tC)
L'intégrale générale de cette équation comprend d'abord l'intégrale géné- rale de l'équation :
rf* I \ \\
dC^ ' \%n m'r ^
(17)
cette intégrale est
2irf , . 2irr
(x — x') = C| cos — -4- Lt sin — ,
en posant pour simplifier :
\m ml \t/
DANS LES MOUVEMENTS PÉUIODIQUES D UN SYSTÈME. 53
L'intégrale de Téquatlon (16) comprend, en outre, des termes spéciaux, qui sont des solutions parliculières de celte équation et qui proviennent seulement des termes additionnels des sommes :
— cos ZT et — > — cos St
m T ^m' r
Cherchons le terme correspondant au terme ^ cos 27r^-^ j en lui donnant la forme ^(^]*cos 27r~, nous aurons, pour déterminer \ Téquation :
a m
-ïï
i
Nous avons donc enfin l'intégrale générale de Péqualion (16)
t t
X — ac' = Cl sin 2^ — -f- C, cos 2ir -
T T
T' I
-(t)"
On lire de là :
(^x d^x' /2t\« I* . ^H ^Irll — -T- = — — Cl sin H C« cos
-— -cos2t > --COS27r
Combinant cetle équalion avec Téqualion (IS), il vient :
d^x /27r\« r t n
(m -♦- wi') — = — I — 1 m' G, sin 2t ~ -h Q cos 2t -
"-(;)
fi' / 1 \ COS 2îr
ToMB LI. 8
m /T\« I T
'■«'
34 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On obtiendrait une valeur analogue pour •^.
Nous pouvons distinguer trois parties dans la valeur de^.
La première partie^ que nous désignerons pariai est :
On reconnaît tout de suite que cette partie, qui est périodique, est due à Faction de la force centrale f (r).
La seconde partie de ^, que nous représenterons par l^\ , est :
f(Px\ _^ a I m' i y
t — â
COS Str — rr- •
Elle provient de la force périodique qui agit sur le point m. Considérons le terme :
gtssacos zjT .
de cette force, et comparons- le au terme correspondant de m (^~] , savoir :
m I m' \ \ f — (?
jfj =, a ; / 4 -♦- — - \ COS 2t
m -¥- m \ m [Ty '
Les deux forces ne difTèrenl que par le coefficient d^intensité et non par la phase.
Le rapport des amplitudes de g^ et de g est :
m / m' m -i- m \ m
-(!)•
i
Pour nous faire une idée de la variation d^intensité^ examinons encore quelques cas particuliers.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 55
Supposons d^abord que T soit (rès pelit^ sans que r le soit (ce qui exige que h ne soit pas très grand vis-à-vis de m el de m'); on voit qu'à la limite nous aurons :
Puisque, en outre^ il n'y a pas variation de phase, on en conclut que^ dans ce cas, faction de la force g s'exerce sur le point m, comme si ce point était indépendant de m\
Supposons maintenant, au contraire, que T soit très grand sans que r le soit (ce qui exige que h ne soit pas trop petit) ; nous aurons à la limite :
m
6s=
m -4- m
L'action de la force g s'exerce donc sur le point m, comme si le point m' y était invariablement relié.
Entre ces deux cas limites, on peut considérer que la massent' influe plus ou moins fortement sur le mouvement de m; en d'autres termes, on peut considérer que l'action de g sur m s'exerce comme si 7n entraînait une certaine masse m^ qui dépend de m, de ?n' et de-.
Si l'on pose, en effet :
m
m -4- m,
il vient
m nii = — m'-
0'
m
. - ,1)
m
On voit que l'expression de la masse entraînée est plus compliquée que dans le cas de l'action du frottement.
Si nous attribuons à t une valeur finie, nous avons cependant^ comme dans le cas du frottement
m, = 0, 6 = 1, lorsque T est très petit,
et
w, = m'y e = , lorsque T est 1res grand.
m -^^ m
36 SUR L'INFLUENCE l)U FROTTEMENT, etc.
Mais, enlre ces deux limites, on n'a pas toujours :
0 < m, < tw' et i > e >
m -♦- tw' '
m, peut même avoir des valeurs négatives.
Si T est plus petil que r^ m^ esl négatif et croit en valeur absolue, à mesure que T croît.
Pour T = T, on a m^ = — m et e = c» . Malgré cette circonstance, il faut remarquer que Ton peut mettre Tintégrale précédente sous forme finie.
Pour le montrer, ne conservons que le terme en question dans l'équa- tion (16); celle dernière devient :
-- ix — X ) + h 1 \ ix — X ) «= — cos !2t — •
(tt^^ ' \m m'r m T
L'intégrale générale esl :
X — X = C| sin H L, cos 1 — —- ros Sir — - —
r * T mWi __r\y ï
Nous pouvons la mettre sous la forme :
X — x' = i\ — sin H Cfl cos —
'Iti t t
- n. te) 7J7TV r ^ vt "" — - ^" Y J ^ ^^^ T- r t - ^'^^ t JJ
en appelant Cq el Ci les valeurs initiales de (x — x') et de ^^^^" — . Si maintenant nous faisons T == r, il vient :
(x — X } = tç — sin — -f- Cç coi*
2t t
a/T\*r 27r(jV 2W Ti !2ir/\ 2Tcf //rt . î2tA 1
— sin sin cos -»- cos l — sin — :
m \27r/ L r \ r r t / r Vr r / J '
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME 37 On peut écrire celte équation sous la forme
(x — a? )=>Ci8iii — -H Cicos f.sinzT »
T T m4T T
C, et G^ étant deux constantes arbitraires.
On vérifie aisément que cette valeur de {x — .r') est la solution générale de Téquation ci-dessus dans le cas où T = r. Cette circonstance , savoir
que 0 = Qo , s^explique par le fait que la force extérieure a cos ^ tend à
imprimer au point m un mouvement synchrone à celui que tend à lui imprimer la force (p(r}. Il ne s'agit donc pas ici d'autre chose que d^une sorte de phénomène de résonnance. Lorsque T satisfait à Féquation :
m
on a :
[' - ïï.
H- W' = 0,
nii = db » et d = 0 .
Âinsi^ à cet instant^ Faction de la force g ne se fait plus sentir dans le mouvement du point m.
Examinons maintenant la troisième partie de ^; en la désignant par /^] ,
Wl. ^m-^m' n'y T
'-(t)
Cette partie provient de la force périodique qui agit sur m'. Considérons le terme :
•7 1%»
de cette force^ et comparons-le au terme :
(t)'
m \ T / t — «ï'
•'* m -^ m' TV T
qui lui correspond dans m (^j .
38 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
On voit d'abord que l'action de g^ s'exerce sans variation de phase ; mais il y a une réduction d'intensité représentée par :
m -♦- m' t'— T
Si nous supposons que Ta une valeur finie différente de 0^ on a encore pour
r = 0, B' = 0;
et pour
m
r = oo, 6' =
m -4- m'
Ainsi lorsque T' est très petite l'action de g^ ne se fait pas sentir dans le mouvement de m; au contraire^ si T' est très grande le point m' entraîne le point m dans son mouvement, comme si ce dernier lui était invariablement relié. Pour les périodes intermédiaires, on peut encore imaginer que le point m' entraîne, dans son mouvement^ une masse m| dont la grandeur dépend de m, de m' et de — .
En rapprochant ces résultats des précédents, nous pourrons donc dire :
En vertu de l'action de la force y, on peut considérer les points m et m' comme indépendants relativement aux forces extérieures à courte période; on peut les considérée' comme invariablement reliés entre eux, quand il s'agit de forces extérieures à longue période; pour les forces à période inter- médiaire, on peut supposer que chacune des deux masses m et m' entraine une certaine masse complémentaire, dont la grandeur varie avec m, m' et la grandeur de la période.
Il est bien entendu que la grandeur de la période se mesure par rapport à la grandeur de la période r, qui résulterait de la seule action de la force f.
Il est clair aussi que l'on obtiendrait des résultats analogues pour les direc- tions des y et des z.
Passons maintenant au cas d'un système de points.
Sans restreindre la généralité de la question, nous pourrons nous borner à trois points, entre lesquels s'exercent des forces centrales, et nous supposerons
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 39
qu^une force périodique extérieure agit sur Fun des points. Les équations du mouvement parallèle à Taxe des x sont donc de la forme :
m -—- sa A (x' — X ) -t- A' (x" — X ) -\- a cos —
m' — = A (X — x') -4- A"(x' — ^') ),.... (18)
m" — ,- = A' (x — x") -f- h'\x' —x")
OÙ h, h\ A" sont des constantes positives.
Les intégrales générales de ces équations (48) comprennent d^abord les intégrales générales des équations :
d*x
m — c= /è (x'— X ) H- A' (x"— x' ) dt* ^ '
d'x'
m' — =-A (x — x') + A"(x"-x') ) (\9)
m" -— == /i' (x — x") -+- h"(x' — x") dt* ' ^ ,
Ces dernières font connaître les termes qui dépendent des forces (f; leurs intégrales renferment les constantes arbitraires.
Les intégrales des équations (18) contiennent, en outre^ des termes spé- ciaux^ solutions particulières de ces équations^ qui proviennent seulement du terme additionnel a cos ^ .
Pour obtenir seulement ces termes^ posons :
cos -— T
, / T \« M x' = i' — cos — - \2t/ T
40 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc,
Nous aurons pour déterminer X ^ a', à", les équations suivantes :
— m X
y)* = * (^'- M -^ /*' l^"- O -^ « (y)*'
- '""'" (y)*= '''(^ -' ^") -*- ^'V -^")^
d'où l'on lire d'abord :
Si maintenant nous supposons que T soit très petit, sans que les quantités h soient très grandes, nous pourrons prendre :
m
c'est-à-dire, que nous pourrons considérer les mouvements des points comme indépendants.
Si, au contraire, nous supposons T très grand, de sorte que les quantités AT^ soient très grandes, nous aurons sensiblement
a
m •+- m' -4- m"
c'est-à-dire, que le mouvement aura lieu comme si les trois points m, m', m'^ étaient invariablement reliés entre eux.
Il est clair qu'on peut étendre les considérations précédentes au cas d'un nombre quelconque de points et de forces extérieures périodiques.
Gomme, en outre, les résultats sont également vrais pour les directions des y et des z, nous pourrons dire :
Dans un système de points matériels, en vertu de l'action des forces 9, on peut considérer les points comme indépendants entre eux, quant à faction des forces périodiques à courte période ; on peut les considérer comme invaria-
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. U
blement reliés entre eux, quant à l'action des forces à longue période. Quant aux forces de période moyenne, on peut supposer que les points considérés entraînent certaines masses fictives dont la grandeur varie avec la masse des divers points et avec la grandeur des périodes.
Il est clair que la grandeur des périodes s'établit relativement à la grandeur de celles qui pourraient résulter de Taclion seule des forces f. Âinsi^ il est évident que Tindépendance du mouvement de deux points cesse d'autant moins vite^ lorsque la période croit, que Fattraction ip est moindre entre ces deux points; au contraire, plus grande est Fatlraction (f, plus vite tend*à s'établir Tégalité du mouvem'ent des deux points, lorsque T augmente.
Dans tout ce qui précède, nous avons considéré la quantité h comme une constante, la fonction 9 étant de la forme hr. Passons maintenant à Fexamen du cas plus général où h est variable; admettons d^abord que h est une fonction donnée du temps /.
Reprenons simplement le cas de deux points; on verra tout de suite qu'on peut étendre le raisonnement au cas d'un nombre quelconque de points matériels.
Nous aurons :
m --- = A (x — X ) -♦- acos —- dC T .
j^, ^ )> (20)
m' -rr = h (x — x')
pour le mouvement parallèle à l'axe des x. On tire d'abord de là :
cTx .cfx' 2tI
mvT -♦■w — T=«cos— -; (21)
dt* dt* T ^ '
ensuite :
^(x-x')-+-a(^-*-^)(^-x') = -cos^' (22)
• d** \m ml m T
Celte dernière équation est linéaire en x — x'. Son intégrale générale comprend d'abord l'intégrale générale de l'équation :
Tome LI. 6
i2 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
à laquelle on parviendrait directement en négligeant, dans les équations du mouvement, le terme a cos y-J nous désignerons par {x — x^\cei\A intégrale.
Lintégrale générale de (22) renferme, en outre, un terme spécial, solution particulière de cette équation, qui provient uniquement du terme additionnel. Désignons par [x — a?'), cette seconde partie de Tintégrale.
Nous voyons donc que chaque force périodique extérieure donne lieu à un terme spécial, mais en général, ce terme n'est plus simplement périodique.
Cependant, essayons de le mettre sous la forme :
en considérant \ et (i^ comme des fonctions de t.
En substituant dans Féquation (22) et égalant les coefficients de cos ~ et de sin y ^^^^ '^^ ^^"^ membres, nous aurons pour déterminer A| et /x, les équations :
[ir^AlYi-^'m-A-"]
(i4)
en posant, pour simplifier :
Les intégrales générales des équations (24) renferment d'abord les inté- grales générales Lo, Mq des équations :
(f.)'^-9?-^''[0'-]-«
Les intégrales générales de (24) renferment, en outre, deux termes spéciaux Li et M^, solutions particulières de ces équations, qui proviennent seulement du terme additionnel -.
m
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 43
Il est clair que dous devons prendre :
En efTet^ si Ton posait :
(x — x)=~^A,cos — H-fA,sin— j.
on aurait pour V, e( i/.[ les mêmes équations (24), puis il viendrait :
aJ = Lo -4- L| , /Lcj = Mo H- M| .
Les parties L| etM|^ qui renferment les constantes arbitraires, ne peuvent donner que :
(x— j;)o=^— j LoCosY-^MoSin — h
tandis que L, et M^ qui proviennent uniquement du terme additionnel, donnent :
(X — x)i=-^^j lL,cos — -^-Misinyl
Il est d'ailleurs aisé de le vérifier, dans le cas où h est constant; on a alors :
^'[ïï-'Hi
D'où :
2t(
^ \2t/ m
T
ce qui est conforme aux résultats obtenus précédemment*
Cela étant, considérons de nouveau le cas où T est très petit, sans que z le soit; les équations (24) deviendront, si A^, (i^ et leurs dérivées restent finis :
a m
f*i=0.
U SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
Alors il viendra :
/T\«o 2t<
d'où Ton (ire :
puis :
m
U- =acos-— î m' — - =0.
Donc^ dans ce cas^ raelion de la force périodique se traduit encore par un terme périodique et les points m et m' sont indépendants dans leurs mou- vements.
Passons maintenant au cas où T est très grand; alors les équations (24) donnent^ si r n'est pas aussi très grand [ii,/*n ^, et ^' restant finis] :
|
d'A, /2n\' „ |
|
|
d'où Ton tire : |
|
|
*f=0, f», = 0, |
|
|
ou mieux |
a a
fn ira
o et ai tendant vers zéro, lorsque T augmente. Il vient alors :
•" t Jr ;rr;;r " ^'»'' t' "tir .irr^ « *•"'• t
Dans ce cas^ la force périodique donne donc lieu à un terme périodique, et les points m et m' se meuvent comme s'ils étaient invariablement reliés entre eux.
Pour les périodes intermédiaires, les masses m et m' ne sont plus indé- pendantes; on peut se représenter chacune de ces masses comme entraînant
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME 48
une masse variable dont la grandeur dépend des masses m et 7/1'^ et des périodes T et r.
En outre, puisque, en général, on n^a pas /X) = 0, il y a une variation de phase dans Faction des forces. Cette variation est aussi fonction du temps.
En procédant comme dans le cas où nous avons considéré Taction du frottement, il ne serait pas difficile d'étendre ces résultats au cas d'un nombre quelconque de points matériels.
On peut maintenant considérer le cas où h est une fonction des coordon- nées des points mobiles. Ce cas se ramène aisément au précédent. Il suffit de supposer que les équations du mouvement sont résolues et qu'on connaît les (ar, y, z) en fonction du temps /.
Alors chaque force périodique donne encore lieu à un terme spécial. Seu- lement on doit se figurer que, dans le mouvement, chaque point du système entraine une masse dont la grandeur dépend des masses des divers points et des périodes de toutes les forces périodiques. Il y a aussi une variation de phase qui dépend des mêmes quantités. Pour les périodes très courtes ou très longues, les résultats précédents restent évidemment acquis.
Ainsi donc, si Ton tient compte des attractions mutuelles d'un système de points, on peut dire que, lorsqu'une force périodique à courte période agit sur l'un d'eux, on peut le considérer comme indépendant des autres quant à l'action de la force, sauf le cas où, en vertu du mouvement, l'action attrac- tive exercée par un de ces autres points sur le point considéré devient très grande. Au contraire, si une force à longue période agit sur un des points, on peut considérer tous les autres points comme y étant invariable- ment reliés, sauf naturellement ceux, qui en vertu du mouvement, viennent à tomber hors de la sphère d'action du point qui subit l'action de la force.
Si l'on suppose que le coefficient d attraction h devient très considérable entre deux points, on pourra, quel que soit T, considérer ces deux points comme invariablement reliés entre eux. On peut donc toujours imaginer qu'une ou plusieurs parties du système proposé se solidifient.
Les conclusions précédentes s'appliqueront alors aux mouvements relatifs de ces diverses parties.
46 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
§ 3. — Sur l'action simultanée des causes précédentes.
Maintenant que, dans les paragraphes précédents, nous avons étudié séparément les effels produits par le frottement, d'une part, et par les actions mutuelles des points, d'autre part, au point de vue de Faction de forces périodiques extérieures, il nous sera aisé d'examiner ce qui se passe lorsque Ton considère les deux causes précédentes comme agissant simultanément.
Comme il est facile de le reconnaitre, aussi bien par ce qui précède que par les considérations que nous allons développer, nous n'altérerons en rien la généralité de la question, en nous bornant à considérer un simple système de deux points matériels.
Supposons que les équations du mouvement parallèle à l'axe des x soient :
<Px Idx' dx\ , , , 2t(
dt^ \di dit ^ ' T .
(26)
a'x [dx ax'\ ,, ,. \
m
, (for' (dx dx'\
et considérons d'abord le cas où les coefficients A et a sont constants. Nous aurons d'abord :
d*x d*x' t
ensuite :
(28)
d* , l\ \\d , , / i M . , tt 2t«
-(x^xV-*-a(-^-J-(x-x)-.A(-^-)(x-x,«»-cos- .
Pour intégrer cette équation, cherchons d'abord l'intégrale de :
d* d
en posant, pour simplifier :
tfo = «(— -^— ; Ao«A — -^— •
\ m ml \ m ml
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 47 Nous aurons tout de suite :
^^i r 2îrr 2;rn
(x — x')o = e ' C, sin — -♦- C, cos — »
L ^0 To J
en posant :
Nous supposons que a soit assez petit pour que r^ ait une valeur réelle. Cherchons maintenant Tinlégrale particulière de Téquation (28), prove-
T
Posons cette intégrale particulière :
nant du terme additîonel -cos >p .
m 1
A, et p, étant des conslantes.
Substituant dans Téquation (28) et égalant les coefficients du sinus et' du cosinus dans les deux membres, nous aurons :
T . /T\« a
T ^ /TV (
On tire de là :
i
a
,..[(i)-.]- - ...p-.]-
en posant comme précédemment e == aeo ^ et ( ^ j* = h^. Enfin, il viendra :
a m
X — X = c ' C| sm h C ,co8 —
laW r/T\« i art . irt]
=- - — 1 C08— --t-esin — •
.t^r(ï)*_jLl-^^^ j T tJ
48
SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
En combinant cette équation avec Tinlégrale de (27), qui est :
mx -h m'x' =
T \« 2t« — I -- cos -— - -+- A'I -4- A ,
2t/ T
on a la solution de la question.
On peut distinguer deux parties dans (x — x') et par suite aussi dans xelx^. .
La première est (x — x')o; elle est évidemment due à Faction de la force <fy combinée à Faction du frottement. Cette partie n'est plus simple- ment périodique comme dans le cas où la force f agit seule; elle tend vers zéro^ à mesure que / augmente. Le frottement altère^ en oulre^ la durée d'oscillation qui, de t, devient t^, et Fon a :
/2ir\« l^lny aï
La seconde partie de {x — a?') est (x — ar'),; elle provient de la force extérieure périodique. Nous avons :
/d^x <Px \di}~'di
^). °".^[(lj'-.T [[(^)*-']"' V * ""t]
et en combinant avec Féquation (27), il vient :
l(Px\ (w -^ m') (^j^
a
\ —
-[(Tr-'îj
^ni
COS
On conclut de là que Faction de la force
9 sa a cos
2ff«
m
m
â^/
[(t)--]*
sin
s'exerce sur le point m avec un changement d'intensité et une variation de
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. 49
phase, qu'il serait facile d'évaluer^ si Ton mcdail la Tormule précédente sous la forme :
\f/t*/, T
Examinons encore quelques cas particuliers.
Supposons que T soil très pelii^ de sorte que e et ^ tendent vers zéro; nous aurons à la limite :
(i'x\ a ' "l^i /rfV\
-r- = — COS-— (ît — - =0.
Ainsi donc, au point de vue de Taclion de la force g^ on peut considérer les deux points m et m' comme complètement indépendants.
Supposons maintenant que T soit très grand, de sorte que t et ^soient très grands.
Il viendra :
/cPjr\ a 2W ld''x'\ a ^2nt
— = C08 — : 1 = <;os — •
\dtV, m-^ m' T ' \ f/(V, m + m' . T
La variation de phase disparait, comme dans le cas précédent, et Ton voit que Taction de la force g s'exerce comme si les points m et m' étaient inva- riablement reliés entre eux.
On remarquera qu'il suffit, pour que cette dernière circonstance ail lieu,
T
OU que e, ou que ^soit très grand.
Entre les cas limites que nous venons d'examiner, on pourra considérer la masse m comme entraînant une certaine masse m„ dont la grandeur dépend de m, de m'^ de T, de t et du coefficient a. En outre, il se produit une variation de phase dans l'action de la force.
Nous pouvons maintenant aborder l'étude du cas général, en considérant, dans les équations (26), A et a comme étant des fonctions du temps.
L'équation (^1) ne change pas, pas plus que l'équation (28), où a^ el/i^ sont alors des fonctions de /.
On peut encore décomposer x — x' en deux parties : l'une [x —a?')^ satis- fait à réquation(29), et provient de l'action de la force ^ et du frottement; Tome LI. 7
50 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
lautre partie (x — u?'), esl une solulion parlicuiière de (28) provenant seulement du lerrae additionnel. En posant encore :
OÙ Âi et [J.^ sont des fonctions de /, on obtiendrait pour X, et ju, des é(|uations analogues à celles que nous avons déjà traitées dans les paragraphes précé- dents; elles donneraient encore généralement :
a
X, = . f*i = 0,
m
lorsque T esl très petit^ et
A,'=/it, = 0,
lorsque T est très grand.
On peut ensuite considérer le cas où h et a sont fonctions des coordonnées.
EnHn^ étendant les considérations précédentes à un système de points, nous pourrons encore dire :
Dans un système de points matériels qui sont sollicités par leurs actions mutuelles et entre lesquels s'exercent des frottements y on peut considérer les points comme indépendants au point de vue de l'action des forces extérieures périodiques à courte période ; on peut les considérer comme invariablement reliés entre eux quant à l'action des forces à longue période ; en ce qui con- cerne l'action des forces à période intermédiaire^ les points sont dans une dépendance variable, et on peut les considérer comme entraînant certaines masses, dont la grandeur varie suivant les circonstances; il y a en outre' aussi, en général, une variation de phase dans l'action des forces.
Il y a quelques Testrictions à faire à cet énoncé, relativement aux points qui restent indépendants ou invariablement reliés entre eux. Il suffit de se rappeler ce que nous avons dit à cet égard, à la fin des deux paragraphes précédents.
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME Si
§ 4. — Application aux mouvements relatifs de Técorce
et du noyau terrestres.
Imaginons maintenant un système de points matériels soumis à leurs actions mutuelles et exerçant en outre^ dans leurs mouvements relatifs^ des actions de frottement les uns sur les aulres. Des forces extérieures agissent sur le système^ et les équations du mouvement d'un point sont de la forme :
m
m
équations dans lesquelles les quantités h, f, F ont les significations que nous leur avons attribuées précédemment. Nous aurons ensuite :
i-^-^'i--i^'
dO dl
d'y d'yo
\.
2 (Pz d*Zo Y ^
^09 yoy ^0 étant les coordonnées du centre de gravité.
Si nous appelons ({, >?, c) les coordonnées du point (Xy y, z) par rapport au centre de gravité, nous aurons :
52 SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc ,
puis :
m
dl' ^ r
(/*
dX ^ C' - C ^
dt* ^ r ^1^ ->
en posant :
|
fç |
= F. |
m |
S»'^ |
|
F. |
-F, |
m |
2". |
|
Ff |
-F, |
m |
1^' |
Supposons maintenant que les forces F^, F,^ F^ soient des forces de nature périodique^ soit qu'elles soient données directement en fonction du temps, soit qu'étant données en fonction de la position des points^ on puisse^ au moins dans une première approximation^ les considérer commç des fonctions périodiques de l, en vertu du mouvement général. Les équations que nous obtenons ainsi sont alors de même forme que celles que nous avons traitées jusqu'ici^ de sorte qu'on peut appliquer au mouvement du système autour du centre de gravité les résultats que nous avons obtenus précé- demment.
Considérons^ par exemple, le sphéroïde terrestre^ On peut se représenter ce sphéroïde comme formé d'une croûte solide mobile sur un noyau qui est, soit fluide, soit solide, soit en partie fluide et en partie solide. On peut d'abord admettre qu'entre ces diverses parties s'exercent des actions de frot- tement, le noyau, quelle que soit sa nature frottant d'abord sur la croûte ; ensuite, si le noyau est fluide, on peut supposer qu'il existe un frottement intérieur dû au plus ou moins de viscosité de ce noyau. Enfln, il y a à
DANS LES MOUVEMENTS PERIODIQUES D'UN SYSTÈME. 83
considérer les actions mutuelles qui s^exercent entre le noyau et Técorce ou entre les divers points mêmes du noyau, si Ton admet que celui-ci est fluide.
Chaque point du système peut être considéré comme animé d'un mouve- ment qui diffère peu d'un mouvement de rotation sensiblement uniforme autour d'un certain axe passant par le centre de gravité, el, tout au moins dans une première approximation, on peut supposer qu'en vertu de ce mou- vement sensiblement uniforme et des actions extérieures, chaque point est soumis à des forces perturbatrices périodiques. En nous reportant alors à ce que nous avons obtenu précédemment, nous pourrons dire :
Dans les mouvements à très longue pmode^ le sphéroïde terrestre se meut sensiblement comme si la croûte et le noyau étaient solidaires; dans les mouvements à très courte période^ au contraire, le noyau et la croûte se meuvent indépendamment l'un de l'autre; dans les mouvements à période moyenne^ on peut considérer les deux parties comme s'entrainant partielle-- ment y et il y a, en outre, généralement une variation de phase dans l'action des forces.
Il y a une remarque à faire au sujet de cet énoncé en ce qui concerne les mouvements à période moyenne.
Si l'on ne tient compte que du frottement, il résulte, en effet, de ce que nous avons vu précédemment^ que Ton peut, généralement, considérer les deux parties comme s'entrainant partiellement, la masse entraînée par la croûte dans son mouvement étant une fraction déterminée de la masse du noyau et vice versa (*). Si, au contraire, on tient compte seulement des actions mutuelles entre le noyau et l'écorce, il en est un peu différemment. Ces actions mutuelles, si elles agissent seules, tendent, pour un déplacement relatif inilial quelconque, à amener un balancement de l'écorce sur le noyau. Si, en outre, des forces extérieures périodiques agissent sur l'écorce, celle-ci peut être considérée comme entraînant une certaine masse qui, en réalité, dans la
(') Nous l'avons démontré pour le cas où les coefficients de frottement sont constants.
U SUR L'INFLUENCE DU FROTTEMENT, etc.,
plupart des cas, dépend de la masse du noyau, mais qui n^en est pas toujours une fraction déterminée. Si nous nous reportons à ce que nous avons dit au § 2, nous savons que, suivant le rapport qui existe entre la période de la force extérieure et celle qui tend à résulter de Taction intérieure, la masse additionnelle varie beaucoup; elle peut être tantôt supérieure à celle du noyau, tantôt même négative, auquel cas, en vertu de Taction de la force intérieure^ le coefficient de Taction de la force extérieure parait renforcé. Néanmoins pour les cas limites, où T esl très grand ou très petit, Ténoncé précédent reste strictement vrai. Quant au cas où Ton tient compte à la fois du frotte- ment et des actions intérieures, il résulte d'abord de ce que nous avons vu que le frottement tend à faire disparaître avec le temps le mouvement de balancement dû aux actions intérieures, tout en altérant sa période; en ce qui concerne la masse entraînée, elle varie aussi beaucoup dans ce cas; mais^ dans les cas extrêmes, Ténoncé précédent est encore vrai.
Signalons encore un cas qui peut se présenter.
Si nous prenons deux forces de même période dans le mouvement de Técorce et du noyau, il peut se faire qu^en vertu de ces forces, ces parties des sphéroïdes prennent des mouvements concordants (c'est-à-dire ne donnant lieu à aucun déplacement relatif des points), lorsqu'on les considère comme indépendantes. Il est clair que, pour un tel groupe de termes, on doit pouvoir considérer à volonté les deux parties, ou comme réellement indépendantes, ou comme invariablement reliées entre elles, quelle que soit la période.
Pour le mieux faire voir, prenons simplement deux points et soit :
F, es rm C08 -— - et F, = cm cos -— • T T
Si Ton considérait les deux points comme indépendants, les termes pério- diques, dans le mouvement parallèle à Taxe des x, seraient les mêmes pour les deux |)oints.
En vertu de quoi, on peut nécessairement, quand il peut se produire des frottements ou quand il y a des actions mutuelles, considérer, quant à ces
DANS LES MOUVEMENTS PÉRIODIQUES D'UN SYSTÈME. SS
termes périodiques, les points comme indépendants ou comme invariablement reliés entre eux.
Si l'on se reporte^ en effets à la formule (2), page 5, quant au frottement, les deux termes correspondants donnent, puisqu'ici :
a =^ cm el a = cm' : dx' dx
Pour les forces intérieures, il en est de même, si nous nous reportons à la formule de la page 33.
Du reste, ce résultat était à peu près évident par lui-même.
Le 5 janvier 1888.
c'h
0
NOUVEAUX ÉLÉMENTS
DE
L'ORBITE DE LA PLANETE (181) EDCHARIS,
PAR
L. DE BALL,
DOCTEUR EN PHILOSOPHIE, PRËPAHATisSUR DBS COURS D*ASTRONOMIE ET DE GÉODÂSIB
A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE.
(Présenté à la Qasse des sciences dans la séance du 7 avril 1888.)
Tome LI. 1
NOUVEAUX ÉLÉMENTS
DE
L'ORBITE DE LA PLANÈTE (181) EUCHARIS,
L'aunée dernière j'ai eu Thonneur de présenter à TÂcadémie un mémoire intitulé : Recherches sur l'orbite de la planète (181) Eucharis. Dans ce mémoire j'ai en premier lieu fait connailre les perturbations exercées sur la planète Eucharis par Jupiter et Saturne. Pour le calcul de ces perturbations je m'étais servi d'un système d'éléments (I) que voici :
ÉLÉUENTS (I) D'EUCHARIS.
Osculation et époque: 1881 août 31.0, temps moyen de Berlin.
M = 264o3r46".l
(0 = 310 51 39 .1 )
Û « 144 45 57 .9 [ Ëquinoxe moyen 1880 0
t =r 18 35 S7 .5 )
<p = 12 43 58.8
(JL — 644".4903
J'ai donné ensuite des éléments corrigés^ savoir :
ÉLÉUENTS (II) D'EUCHARIS.
Osculation et époque : 1881 août 31.0, temps moyen de Berlin.
M = 2640 38' 3r'.l
0) = 310 51 10 .3
Û =: 144 46 0 .8 \ Ëquinoxe moyen 1880.0
t = 18 35 30 .1
<p «r 12 44 4.6
(JL = 6U'\5034
4 NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
A Taide de ces éléments (II) et des anciennes valeurs des perturbations^ des éphémérides ont été déduites pour toutes les apparitions d'Eucharis qu'on avait pu observer jusqu'en 4886. La comparaison de ces éphémérides aux observations avait fourni 8 positions normales de la planète et c'est à leur aide que j'avais calculé les éléments finaux :
ÉLËMENTS (III) D'ECCHARIS.
Osculation et époque : 1881 août 31.0, temps moyen de Berlin.
M
(I)
Û
1
?
264û38'31".06 ÎIO 51 7 .89 144 46 3 .25 18 35 28 .38 12 44 4.16 644^.50284
Ëquinoxe moyen 1880 0
Partant de ces éléments (III) j'ai repris plus tard l'étude du mouvement d'Eucharis. Et d'abord les perturbations dues à l'action de Jupiter ont été calculées de nouveau. En outre, j'ai eu égard aux perturbations causées par Mars et négligées auparavant. Celles qu'a exercées Saturne ont pu être adoptées d'après les recherches antérieures. Je donnerai plus tard les pertur- bations totales des coordonnées polaires de la planète Eucharis. En comparant ces valeurs avec celles données dans les Recherches, on remarquera que les nouveaux résultats s'écartent en partie d'une manière assez sensible des anciens — ce qui tient surtout aux perturbations exercées par Mars. Voici les quantités à ajouter aux anciennes valeurs pour avoir les nouvelles (l'unité des (/y et dz est la septième décimale) :
|
DATES. |
d(AM) |
d(A(o) |
d>é |
dx |
|
1878 février 11.5 — mars 29.5 1879 juin 1.5 1880 juin 12.5 1881 septembre ... 17.5 1883 janvier 5.5 1885 juiUet 3.5 1886 juin 27.5 |
- 2".27 - 2.13 - 1 .02 - 0 25 0.00 + 0.23 •f 3 36 •1- 4.01 |
♦ 0".ld + 0.16 + 0.17 + 0.02 0.00 - 0.28 - 0.60 - 0.74 |
- 20 - 21 - 19 - 11 0 - 11 - 24 - 3 |
- 1 0 •f 3 + 2 0 - 2 - 1 - 5 |
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS. 8
Ces corrections sont assez considérables pour imposer une nouvelle déter- mination de Forbite d'Eucharis. Ce qui m'a engagé encore davantage d'entre- prendre ce travail c'est qu'aujourd'hui je dispose d'observations à la fois plus nombreuses et plus exactes qu'auparavant. Dans mes Recherches j'avais basé la position normale d'Eucharis correspondant à l'apparition en 1881 sur quatre observations faites à Palerme au moyen d'un micromètre circulaire. Plus tard mon attention a été appelée à quatre autres observations faites lors de cette apparition à Berlin et à Leipzig. Ces observations^ faites au moyen de micromètres filaires et émanant d'astronomes dont on connaît la haute exactitude dans les mesures^ ont permis de remplacer l'ancienne position normale pour 1881 par une nouvelle beaucoup plus exacte que la première et assez différente d'elle. Les autres positions normales ont subi des change- ments plus ou moins importants par l'emploi d'un nombre très considérable de nouvelles positions des étoiles de comparaison. EnOn, en me servant de toutes les observations d'Eucharis faites en 1886 et encore de celles faites en 1887^ j'ai pu former des positions normales pour deux nouveaux termes : le nombre des équations de condition s'est donc accru de quatre et s'élève actuellement à vingt. — En résumé, dans le travail présent, les bases pour le calcul de l'orbite d'Eucharis sont beaucoup plus solidement établies qu'elles ne l'étaient dans mes Recherches.
Avant de faire connaître plus exactement ces bases ainsi que le système d'éléments fondés sur elles, j'adresse mes remerciements bien sincères aux astronomes qui, en observant de nouveau soit la planète Eucharis^ soit les étoiles de comparaison, ont pris une large part dans le succès de mon entre- prise : de déterminer aussi exactement que possible l'orbite d'Eucharis. Ces astronomes sont : M'"'' Lamb-Updegraff, MM. Charlois, Herz, Kûstner, Rnorre, J. Palisa, Peter, Pomerantzeff, Romberg et Schnauder. Je suis en outre très obligé à MM. Bossert et Rayet d'avoir bien voulu me donner connaissance de quelques observations d'étoiles de comparaison qui ne sont pas encore publiées.
6
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
PERTURBATIONS d'eUCHÂRIS DUES AUX ACTIONS RÉUNIES
DE JUPITER^ SATURNE ET MARS.
Pour la signification des AiM^ Au^ v et z, voir : Oppolzer, Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Cometen und Planelen, II Band, pp. 139-162. Les aM el Ao) ont été calculées jusqu'à un millième de seconde^ les v et z jusqu'à la neuvième décimale^ Tunilé des v et :3 qui suivent est la septième décimale. — Les masses de Jupiter et de Saturne ont été adoptées d'après les recherches de Bessel^ celle de Mars d'après M. Hall.
DATES.
1877 décembre 30
1878 février 8. . mars 20 . . avril 29 . . juin 8. . . juillet 18 . août 27 . . octobre 6* . novembre 15
1878 décembre 25
1879 février 3. . mars 15. . avril 24 . . juin 5 . . juillet 13. . août 22 . . octobre 1 . novembre 10
1870 décembre 20
1880 janvier 20 . mars 0 . . avril 18 . . mai 28 . . juillet 7 . .
|
AM. |
i |
\cu. |
V. |
2. |
|
|
+ 0' 26".57 |
- 4' |
33"19 |
■1- |
12459 |
- 377 |
|
- 0 31.70 |
- 4 |
6.45 |
+ |
10213 |
- 713 |
|
- 1 18.91 |
- 3 |
41.48 |
+ |
8156 |
- 1009 |
|
- 1 56.06 |
- 3 |
18.39 |
+ |
6305 |
- 1261 |
|
- 2 24 22 |
- 2 |
57.20 |
•»• |
4664 |
- 1467 |
|
- 2 44 47 |
• 2 |
37.85 |
+ |
3229 |
- 1627 |
|
- 2 57.84 |
- 2 |
20.26 |
+ |
1991 |
- 1742 |
|
- 3 5.31 |
- 2 |
4.30 |
■1- |
936 |
- 1816 |
|
- 3 7.79 |
- 1 |
49.84 |
+ |
52 |
- 1851 |
|
- 3 6.11 |
- 1 |
36.77 |
- |
678 |
- 1852 |
|
- 3 1.03 |
- 1 |
24 96 |
- |
1269 |
- 1821 |
|
- 2 53.24 |
- 1 |
14.30 |
- |
1733 |
- 1764 |
|
- 2 43.35 |
- 1 |
4.68 |
- |
2085 |
- 1685 |
|
-2 31.90 |
- 0 |
56.02 |
- |
2337 |
- 1587 |
|
- 2 19.39 |
- 0 |
48 23 |
- |
2502 |
- 1474 |
|
- 2 6.23 |
- 0 |
41.24 |
- |
2590 |
- 1351 |
|
- 1 52.79 |
- 0 |
34.99 |
- |
2611 |
- 1220 |
|
- 1 39.39 |
- 0 |
29.41 |
- |
2574 |
- 1080 |
|
- 1 26.32 |
- 0 |
24.45 |
- |
2488 |
- 051 |
|
-1 13.80 |
- 0 |
20.07 |
- |
2362 |
- 819 |
|
- 1 2.01 |
- 0 |
16.23 |
- |
2203 |
- 691 |
|
-0 51.12 |
- 0 |
12.88 |
• |
2018 |
- 570 |
|
- 0 41.23 |
- 0 |
10.00 |
- |
1814 |
- 458 |
|
- 0 32.42 |
- 6 |
7.55 |
• |
1598 |
- 356 |
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS
DATES.
août 16 . . septembre 25 novembre 4.
1880 décembre 14
1881 janvier 23 . mars 4 . . avril 13 . . mai 23 . . juillet 2 . . août 11 . . sçptembre 20 octobre 30 .
1881 décembre 9.
1882 janvier 18 . février 27 . avril 8 . . mai 18 . . juin 27 . . août 6 . . septembre 15 octobre 25 .
1882 décembre 4.
1883 janvier 13 . février 22 . avrit 3 . . mai 13 . . juin 22 . . août 1 . . septembre 10 octobre 20 .
1883 novembre î9
1884 janvier 8. . février 17 . mars 28 . . mai 7. . . juin 16 . . juillet 26. . septembre 4 octobre 14 . novembre 23
AM.
- 0' 24".75
- 0 18.23
- 0 12.85
- 0 8.56
+ + +
■I- + + + + + + +
0 0 0 0 0 0 0 0 0
5.30 2.06 1.41 0.52 0.11 0.00 0.00 0.11 0.52
0 1.38
0 2.84
0 4.95
0 7.63
0 10.67
0 13.62
0 15.72
0 15.89
0 12.67
+ 0 4.32
- 0 11.08
- 0 35.30
- 1 9.72
- 1 55.09
- 2 51.47
- 3 58.25
- 5 14.31
- 6 38.19
. 8 8.2f
- 9 42.60
- 11 19.61
- 12 57.55
- 14 34.83
- 16 9.99
- 17 41.71
- 19 8.81
- 20 30 27
Aui.
- 0' 5".50
- 0 3.83
- 0 2.50 -0 1.49
- 0
- 0
- 0
4^ 0
+ 0
-I- 0
4- 0
•f 0
+ 0
-I- 0
^ 0
•F 0
+ 0
0.77 0.30 0.03 0.07 0.06 0.01 0.02 0.18 0.65
1.60 3.24 5.85 9.73
4- 0 15.22
•I- 0 22.68
+ 0 32.36
^ 0 44.39
4- 0 58.55
^ 1 14.22
^ 1 30.43
^ 1 46.04
A- 2 0.06
+ 2 11.94
4-2 21.50
¥ 2 28.93
•I- 2 34.56
+ 2 38.79
^ 2 41.99
+ 2 44.47
+ 2 46.51
-I- 2 48.31
+ 2 50.02
4-2 51.76
* 2 53.63
4- 2 55.69
4- 2 57.98
V.
%,
4- 4-
4- 4- 4i 4- 4-
1376
1153
936
730
540
372
231
120
44
5
5
44
118
345 469 566 599 518 261 242 1061
2243 3791 5656 7734 9891 4- 11993 4^ 13924 4- 15599 4^ 16963
4^ 17989 4- 18670 4- 1901S 4- 19034 4^ 18759 4^ 18212 4^ 17422 4- 16417 + 15225
4- 4- 4- 4- 4- 4-
4- 4-
267
190
127
77
40 16 2 3 3 1 1
10 34
82 164
4- 292
4- 4-
478 738
4- 1086 4^ 1540 4^ 2113 + 2812
+ 3632 + 4551 + 5527 + 6505 4. 7427 4- 8239 + 8903 + 9395 + 9703
+ 9825 + 9768 + 9543 + 9162 + 8641 + 7996 + 7243 + 6398 + 5475
8
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
DATES.
1885 janvier 2. . février 11 mars 23 . . mai 2. . . juin 11.. juillet 21. . août 50 . . octobre 9 . novembre 18 décembre 28
1886 février 6. . mars 18 . . avril 27 . juin 6. . . juillet 16. . août 25 . . octobre 4 . novembre 13 décembre 23
1887 février I. . mars 13 . *. avril 22 . . juin 1. . . juillet 11. . août 20 . . septembre 29 novembre 8, décembre 18
AM.
21' 45"18
22 52.80
23 52.48
24 45.74
25 26.18
25 59.54
26 23.66 26 38.48 26 44.06 26 40.56
26 28.25
26 7.50
25 38 77
25 2.67
24 19.87
23 31.19
22 37.55
21 40.01
20 39.73
19 38.03
18 36.36
17 36.29
16 39.56
15 48.04
15 3.71
14 28.69
14 5.17
13 55.38
Ad).
+ 3' 0"56
•i- 3 3.44
•1^ 3 6.66
•h 3 10.23
^ 3 14.18
+ 3 18.53
+ 3 23.29
-1^ 3 28.49
+ 3 34.14
•f 3 40.27
+ 3 46.91
4- 3 54.08
* 4 1.82 + 4 10.16 4- 4 19.14 •I- 4 28.82
* 4 39.25 -1^ 4 50.47 ^ 5 2.57
+ 5 15.61
* 5 29.69 ■¥ 5 44 88
* 6 1.29 •i- 6 19.02 ^ 6 38.18 ^ 6 58.86 + 7 21.15 ^ 7 45.10
V.
«.
* 13873 + 12386 + 10791 •h 9109 + 7366 i- 5581 + 3777 + 1975 + 195
- 1543
- 3218
- 4811
- 6301
- 7667
- 8887 " 9939
- 10800
- 11446
- 11852
- 11991
- 11838
- 11365
- 10544
- 9348
- 7755
- 5744
- 3301
- 426
+ +
4490 3455 2385 1291 187
- 917
- 2009
- 3079
- 4115
- 5106
- 6044
- 6916
- 7714
- 8428
- 9046
- 9560
- 9960
- 10235
- 10376
- 10374
- 10221
- 9908
- 9429
- 8778
- 7954
- 6956
- 5791
- 4470
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON. OBSERVATIONS d'eUCHARIS ET COMPARAISON DE CES OBSERVATIONS AUX ÉPHÉMÉRIDES.
Dans mon premier travail sur Porbile d'Eucharis je m'étais servi de toutes les positions connues des étoiles de comparaison. Aujourd'hui, après avoir reçu un grand nombre de positions nouvelles, j'ai presque exclusivement fait usage des observations plus modernes. Les observations de Lamonl ont été
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS. 9
négligées^ leur relation au système du A6G ' ne pouvant être déterminée d'une manière suffisante. J'ai encore négligé les positions déterminées par Argelander^ sauf une seule^ ces positions se rapportant à de faibles étoiles observées beaucoup plus exactement dans les derniers temps.
Les positions des étoiles de comparaison qui suivent sont déjà réduites au système du AGC \ les corrections à ajouter à cette fin aux positions prises des catalogues se trouvent indiquées dans mes Recherches sur l'orbite d^Eucharis. Les observations nouvelles sont basées en grande majorité sur le AGC; les quelques exceptions seront citées plus tard.
Aussi dans le travail présent^ pour déduire les positions probables des étoiles de comparaison^ j'ai donné aux diverses positions d'une même étoile des poids plus ou moins arbitraires^ me réservant de les évaluer plus rigoureusement à l'avenir. Aujourd'hui pour bon nombre d'autorités il nous manque encore des dates indispensables pour ce genre de recherches. Voici les abréviations dont je me servirai pour désigner les diverses autorités :
(N7YC) et (9YC) = New 7 Year et 9 Year Catalogue ;(BB VI) = Bonner Beobachtungen^ VL Band; (Y) = Yarnall, II édition; (Schj) = Schjellerup ; (Gôtt.) = Catalogue de Borgen et Copeland; (Gl.) = Glasgow Catalogue; (Br.) = Catalogue général des étoiles observées à l'Observatoire de Bruxelles^ de 4857 à 1878; (P) = Observations faites à l'Observatoire de Paris; (Z — ) = Observations de zones faites à Berlin (ZB.), Leipzig (ZL.) et à Nicolajew (ZN.); (Rr.) = Kustner; (Pr.) = Peter; (M.) =Bauschinger; (Bi.)=:^ Bigourdan ; (Bord.) = Rayet ; (Lb.)= Lamb-Updegraff; (H.)= Herz ; (R.) = Romberg; (S.) = Schnauder; (Cord.) =^ Gould, Argentine General Catalogue ; (AN) = Astronomische Nachrichten ; (T.) = Pomerantzefif.
Les observations de la planète Eucharis ont été comparées aux éphémé- rides calculées ou à l'aide des éléments (II) et en tenant compte des perturba- tions exercées par Jupiter et Saturne^ ou à l'aide des éléments (III) et en tenant compte des perturbations exercées par Jupiter^ Saturne et Mars. Suivant que le premier ou le second cas a eu lieu^ je dirai que les observa-
* AGC signifie le « Fundamental-Catalog fur die Zonenbeobachtungen der Astronomi- schen Gesellschaft (deux parties). »
TOBIE Ll. 2
40
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
lions ont été comparées aux éléments (II) respectivemenl aux éléments (III). Quant aux poids attribués aux diverses différences : observatiourcalcul, je renvoie aux remarques faites à ce sujet dans mes Recherches. Du reste^ je ferai sur ces poids les mêmes réserves que sur ceux attribués aux positions des étoiles de comparaison, intimement liés les uns aux autres.
OBSERVATIONS d'eUGHARIS FAITES EN 1878.
|
Temps moyen de Berlin — Temps de l'aberration. |
Observatoire. |
éb l'étoUt. |
a (181) obs. |
â (181) obs. |
|
|
février • |
. . 3.5873 |
Beriin . . . |
21 |
iOh im 47i.l7 |
+ ll« 20' 49"4 |
|
» .... |
. . 3.8115 |
Clinton. . . |
19 |
10 1 38.25 |
+ 11 23 31.7 |
|
1) .... |
. . . 4.3644 |
Pola . . . |
17 |
10 1 16 33 |
+ 11 30 4.3 |
|
» . . . • |
. . 5.652â |
Clinton . . |
18 |
10 0 23.37 |
+ 11 45 25.2 |
|
» .... |
. . 7.4820 |
Strasbourg. . |
15 |
9 59 6.74 |
+ 12 7 20.6 |
|
» .... |
. . 7 5552 |
Leipzig. . . |
20 |
9 59 3.49 |
+ 12 8 15.4 |
|
» . . . • |
. . 7.7406 |
Clinton. . . |
15 |
9 58 !i5.86 |
+ 12 10 28:6 |
|
» .... |
. . 11 5657 |
Berlin . . . |
13 |
9 56 11.37 |
+ 12 56 40.2 |
|
» .- . . . |
. . 12.5061 |
Pola , . . |
M. |
9 55 30.72 |
+ 13 8 2.3 |
|
» . . . • |
. . . 12.5744 |
Leipzig. . . |
16 |
9 55 27.87 |
+ 13 8 51.0 |
|
. » .... |
. . 14.7247 |
Clinton. • . |
14 |
9 53 53.70 |
+ 13 34 45«2 |
|
» .... |
. . 18.3604 |
Leipzig. . . |
10 |
9 51 15.44 |
+ 14 18 8.1 |
|
» .... |
. . 19.3093 |
» |
i> |
9 50 31.35 |
+ 14 30 13.9 |
|
» .... |
, . 19 5765 |
Clinton . . |
9 |
9 50 23.74 |
+ 14 32 18.0' |
|
» .... |
. . . 20.3763 |
Bilk. . . . |
7 |
0 49 50.04 |
+ 14 41 37.1 > |
|
» .... |
. . . 20.4630 |
Leipzig. . . |
12 |
9 49 46.15 |
+ 14 42 37.6 |
|
mars .... |
. . . 3.4438 |
Leipzig. . . |
5 |
9 42 34.70 |
+ 16 42 37.5 |
|
» • .. . • |
. . 4 4211 |
Marseille . . |
6 |
9 42 1.09 |
+ 16 52 22.1 |
|
» .... |
. . 5.4399 |
» |
» |
9 41 26.77 |
+ 17 2 27.2 |
|
» .... |
. . 19.3623 |
Berlin . . .* |
1 |
9 35 49.58 |
+ 18 58 22.0 |
|
» .... |
. . 19.4623 |
Leipzig . . |
» |
9 35 47.78 |
+ 18 59 1.8 |
|
» • • . • |
. . 22.3014 |
Berlin . . . |
2 |
9 35 12.26 |
+ 19 17 37.0» |
|
avril .... |
. . 7.4858 |
» |
3 |
9 55 36 41 |
4^20 50 50.2 |
|
» .... |
. . 21.3985 |
» |
4 |
9 40 55.12 |
+ 20 53 38.8 |
|
» .... |
. . 22.3948 |
» |
• » |
9 41 27.37 |
+ 20 54 1.2 |
|
» . • • • |
. . 29.4152 |
Leipzig. . . |
8 |
9 45 47.49 |
+ 20 59 12 9 > |
|
mai .... |
. . 6.4350 |
Berlin . . . |
11 |
9 51 0.02 |
+ 20 43 26.4 |
|
i> .... |
. . 7.4088 |
» |
» |
9 51 47.09 |
+ 20 41 41.5 |
* L'étoile de com)nrtison n*a été observée qu'une seule fois. — * Obserration fsite an moyen d'un micromètre circulaire. — s Air mauTais.
DE LA PLANÈTE (18i) EVCHARIS.
il
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
|
No dil'éteUe. |
Autorités. • |
a (1878.0). |
§ (1878.0). |
Époques. |
Nombre dHobiOfttioiii. |
Poids. |
|
Kr. |
9>> 33» 58«.33 |
+ 18* 56' 40".8 |
86.3 |
2 |
1 |
|
|
Pr. . |
58.61 |
40.9 |
86.9 |
3 |
1 |
|
|
S. |
38.61 |
41.6 |
87.2 |
4 |
1 |
|
|
1 |
9 33 38.58 |
•1- 18 56 41.1 |
||||
|
3 |
Kr. |
9 35 35.18 |
-1-19 19 42.9 |
85.3 |
1 |
|
|
3 m |
Kr. |
9 35 45.10 |
4^30 31 20.7 |
87.2 |
2 |
|
|
4 |
Kr. |
9 38 47.66 |
+ 20 52 3.8 |
87.2 |
2 |
|
|
Pr. |
9 42 6.74 |
-f 16 40 48.0 |
86 9 |
3 |
1 |
|
|
S. |
6.72 |
49.1 |
87.2 |
4 |
1 |
|
|
5 |
9 43 6.73 |
^ 16 40 48.6 |
||||
|
6 |
ZB. |
9 43 50.13 |
^ 16 52 54.3 |
70.3 |
2 |
|
|
Y. |
9 44 12.99 |
♦ 14 41 19.7 |
fti.2 67.3 |
8.2 |
2ll |
|
|
ZL. |
13.03 |
20.0 |
69 6 |
2 ■ |
1 |
|
|
7 |
9 44 13.00 |
^ 14 41 19.9 |
• |
|||
|
Pr. |
9 46 24 13 |
+ 20 50 19.5 |
87.2 |
2 |
2 |
|
|
S. |
24.09 |
21.2 |
87.2 |
4 |
3 |
|
|
• |
21.1 |
86.4 |
1 |
|||
|
8 |
9 46 24.11 |
+ 20 50 20.6 |
« |
|||
|
9 |
Scly\ |
9 49 50.97 |
+ 14 35 36.1 |
62.2 |
1 |
|
|
AN. |
9 50 0.75 |
+ 14 24 53.4 |
62.3 |
1 |
1 |
|
|
ZL. |
0.76 |
51.8 |
69.6 |
2 |
2 |
|
|
Pr. |
0.93 |
51.6 |
.87.2 |
2 |
2 |
|
|
S. |
0.94 |
50.3 |
87.2 |
4 |
3 |
|
|
10 |
- |
9 50 0.87 |
+ 14 24 51.4 |
* Rapportée aa n«ll.
i2
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
|
No de l'étoile. |
Autorités. |
a (1878.0). |
5(1878.0). |
Époques. |
Nombre dei obwrrations. |
Poids. |
|
P. |
9h 80» 56».96 |
+ 20» 45' 5".l |
74.5 75.3 |
4.3 |
1 |
|
|
ZB. |
56.93 |
4.9 |
80.8 |
2 |
1 |
|
|
11 |
9 50 56.95 |
+ 20 45 5.0 |
||||
|
Pr. |
9 51 35 15 |
4- 14 39 15.5 |
86.9 |
3 |
1 |
|
|
S. |
35.14 |
16.6 |
87.2 |
4 |
1 |
|
|
12 |
9 51 35.14 |
+ 14 39 16.1 |
• |
|||
|
Dr. |
9 51 39.64 |
4- 13 1 33.8 |
60.3 64.5 |
5.4 |
1 |
|
|
N7YC. |
39.55 |
33.8 |
2 |
|||
|
Y. |
39.61 |
32. 8 |
61.2 56.2 |
9.6 |
2.1 |
|
|
P. |
39.55 |
34.0 |
64.6 65.5 |
5.6 |
2 |
|
|
ZL. |
39.62 |
34 0 |
69.2 |
2 |
1 |
|
|
9YC. |
39.57 |
33.4 |
69.9 69.4 |
8 |
3 |
|
|
GL |
39.60 |
33.6 |
74.4 73.7 |
5.4 |
1 |
|
|
AN. |
39.54 |
* 33.7 |
86.4 |
3 |
1 |
|
|
13 |
9 51 39.58 |
^ 13 1 53.6 |
Cette étoile a été aussi observée par Schj.
|
14 |
Kr. |
9 |
53 |
34.95 |
+ 13 |
34 |
53.8 |
87.2 |
2 |
|
|
Br. |
9 |
57 |
36.46 |
+ 12 |
13 |
4.2 |
65.5 71.5 |
4.3 |
1 |
|
|
P. |
36.38 |
3.9 |
66.9 64.3 |
3 2 |
1 |
|||||
|
ZL. |
36.35 |
3.0 |
69.2 |
2 |
1 |
|||||
|
Gl. |
36 42 |
2.8 |
71.0 |
4 |
1 |
|||||
|
15 |
9 |
57 |
36.40 |
-1^ 12 |
13 |
3.5 |
||||
|
BBVL |
9 |
58 |
55.53 |
+ 13 |
7 |
51.5 |
62.2 |
1 |
1 |
|
|
AN. |
55.94 |
50.8 |
62.3 |
1 |
1 |
|||||
|
Y. |
55.84 |
52.0 |
62.7 65.3 |
2 |
. 1 |
|||||
|
ZL. |
55.85 |
53.6 |
69.2. |
2 |
2 |
|||||
|
16 |
9 |
58 |
55.81 |
+ 13 |
7 |
52.3 |
||||
|
ZL. |
9 |
59 |
6.48 |
+ 11 |
29 |
28.0 |
68.7 |
2 |
1 |
|
|
GL |
6.23 |
28.3 |
74.2 76.7 |
3 5 |
1.2 |
|||||
|
Pr. |
6.44 |
27.1 |
87.2 |
2 |
1 |
|||||
|
S. |
6.45 |
27.3 |
87.2 |
4 |
2 |
|||||
|
17 |
9 |
59 |
6.41 |
+ 11 |
29 |
27.7 |
DE LA PLANÈTE (481) EVCHARIS.
43
|
N« |
Autorités. |
a (1878.0). |
5(1878.0). |
Époques. |
Nombre dMobnrratioDi. |
||
|
ZL. |
lOt» |
0" 13>.23 |
+ HO 46' 16".5 |
68.7 |
2 |
1 |
|
|
Pr. |
13.21 |
.17.2 |
87.2 |
2 |
1 |
||
|
S. |
13.21 |
16.8 |
87.2 |
4.3 |
2 |
||
|
t8 |
10 |
0 13.21 |
4^ 11 46 16.8 |
||||
|
19 |
ZL. |
10 |
1 20.03 |
•1- 11 25 50.1 |
68.2 |
2 |
|
|
SO |
Kr. |
10 |
1 42 00 |
^12 5 53.9 |
87.2 |
2 |
|
|
ZL. |
10 |
2 48.57 |
^ Il 16 51.0 |
68 2 |
2 |
1 |
|
|
GL |
48.50 |
50.1 |
75.2 78.7 |
2.4 |
1.2 |
||
|
Pr. |
48.46 |
49.9 |
87.2 |
2 |
1 |
||
|
S. |
48.46 |
60.7 |
87.2 |
4 |
2 |
||
|
2i |
10 |
2 48.49 |
+ 11 16 50.4 |
Les observalioDS d'Eucharis faites en i878 ont été comparées aux éléments (11). En réunissant dans une moyenne les différences : observation- calcul^ qui se rapportent à une même étoile de comparaison^ j'ai trouvé :
|
DATES. |
Observ.-calc. • Aa cos 5 AS |
Étoile. |
Nombre des différ. |
Poids. |
||||
|
1878 février 3.6 |
+ 0«.03 |
-r'.o |
21 |
1.0 |
||||
|
» |
3.8 |
^ 0.09 |
+ 1.3 |
19 |
0.75 |
|||
|
» |
4.4 |
•!• 0.22 |
+ 0.8 |
17 |
1.0 |
|||
|
» |
5.7 |
•1- 0.02 |
+ 0.1 |
18 |
1.0 |
|||
|
» |
7.6 |
- 0.04 |
- 1.5 |
15 |
2 |
1.5 |
||
|
» . |
7.6 |
- 0.12 |
- 1.8 |
20 |
1.0 |
|||
|
» |
11.6 |
- 0.13 |
. - 0.7 |
13 |
1 0 |
|||
|
» |
. 12.5 |
+ 0.04 |
- 0.7 |
H |
1.5 |
|||
|
» |
12.6 |
+ 0 24 |
- 1.0 |
16 |
1.0 |
|||
|
» |
14.7 |
- 0.26 |
- 0.9 |
14 |
0.75 |
|||
|
» |
18.9 |
- 0.18 |
- 0 6 |
10 |
2 |
1.5 |
||
|
» |
19.6 |
- 0.20 |
- 1.3 |
9 |
0.5 |
|||
|
» |
. 20.4 |
+ 0.27 |
- 1.0 |
7 |
0.75 |
|||
|
» |
. 20.5 |
+ 0.24 |
- 1.8 |
12 |
1.0 |
|||
|
mars . |
3.4 |
- 0.06 |
+ 0.2 |
5 |
4 |
1.0 |
||
|
» |
4.9 |
-0.21 |
- 0.3 |
6 |
2 |
1.0 |
14
NOUVEAUX ÉLËMEINTS DE L'ORBITE
DATES.
1878 mars. 19 4
» «2.3
avriL 7.5
» 21.9
» 29.4
mai 6.9
Observ.-calc. Aa CCS 8 I A8
Étoile.
Nombre des diflér.
Poids.
- 0».15
- 0.18 4- 0.02 -0.10 + 0.05 + 0.05
- 2"1
- 1.5
- 0.7
- 1.8 [. 5.2] -2.6
1 2
3
4
8
11
1 1 1 2 1 2
1.5
0.75
1.0
1.5
1.5,0
1.5
De Pensemble des observations faites au mois de février ^, il résulte pour
1878 février 11 .5 : Aa cos $ « + 0«.0i4, AS «s - 0''.75; poids 14.25.
Les autres observations donnent pour
1878 mars 31 .5 : Aa cos 9 » — 0*.075, AS « — 1".42; poids 8.75.
Voici maintenant la comparaison des observations méridiennes faites en 1878 à TObservatoire de Washington (Voir: Washington observations 1878, p. U5) aux éléments (llj :
|
Observ.-calc. | |
Observ.-calc. |
||||||
|
DATBS. |
Aacos $ |
A$ |
DATES. |
Aacos S |
A$ |
||
|
Février |
4.8 |
+ 0«.10 |
-0".5 |
Mars . • . |
. . . 13.7 |
•1- 0«.14 |
-2".2 |
|
» |
28.7 |
f 0.22 |
- 0.1 |
»... |
. . . 20 6 |
+ 0.26 |
+ 0.4 |
|
• Mars |
1.7 |
- 0.01 |
-3.2 |
»... |
. . . 23.6 |
-0.06 |
- 4.0 |
|
» |
4 7 |
4- 0.29 |
- 1.5 |
»... |
. . . 25.6 |
4-0.24 |
+ 3.2 |
|
» |
5.7 |
+ 0.18 |
-3.3 |
Avril . . . |
. . . 2.6 |
+ 0.23 |
-10.5 |
|
» • |
9.7 |
4- 0.06 |
- 3.1 |
»... |
. . . 5.0 |
- 0.11 |
- 5.1 |
Avant de comparer ces observations à l'éphéméride, elles ont été réduites au système du ÂGG. A cette fin les quantités suivantes ont été ajoutées aux positions de la planète prises des Annales de TObservaloire de Washington : A« = — 0».01, àf= + 0".2. Mais en comparant les corrections de Téphémé-
^ 7 Observations faites à TObservatoire de Marseille ont été rejetées. (Voir Recherchée, pp. 30-32.)
J
DE LA PLANÈTE (181) EU CHERIS.
iS
ride résullant de ces observations avec celles données plus baut^ on remar- quera que raccord entre elles est loin d'être satisfaisant.
Il parait que les corrections à apporter aux positions observées à Was- hington^ tout en gardant les signes ci-devant indiqués^ doivent être considé- rablement augmentées. La moyenne des différences : observalion-calcui résultant des observation faites à Washington est
1878 mars 12.6 : Aa cos 8 = -»- 0» 12, A§ == — 2".5.
Pour juger à quoi tient la grande différence entre cette correction et celles indiquées plus haut, il sera nécessaire de discuter aussi les autres observa- lions de planètes faites à Washington à peu près en même temps que celles d'Eucharis. Pour le moment je négligerai ces dernières observations. Nous avons donc :
«
1878 février ll.S ; Aa = h- 0".22; A8 = — 0".75 » mars 31.5 : Aa=: - 1".20; AS = - 1".42.
D'après les éléments (II) les positions d'Eucharis correspondant à ces dates sont (Équinoxe moyen 1880.0):
1878iévrier 11 .5 : a = 149o 4' 55".02 S = -+- 12» 55' 24".60 » mars 29.5:a = 143 39 59.75 8 = + 19 56 32.31
En ajoutant à ces positions les corrections données ci -dessus^ il résulte les positions normales (Équinoxe moyen 1880.0) :
1878févrierll .5 : a = 149» 4' 55".24 5 = + 12* 55' 23".85 » mars 29.5: a =143 39 58.55Ss-i-i9 56 30.89
OBSERVATIONS D EOGHARIS FAITES EN 4879.
Temps moyen de Berlin — Temps de Taberration.
Observatoire.
de l'étoUe.
a((181)0bs.
S(181)obs.
Mai 24.5449
Juin 9.4832
Berlin. Leipzig
23
22
15i> 23B34«.85 15 13 36.06
+ 7» 43' 12''.3 ^ 7 29 55.8
i6
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
|
No de l'étoile. |
Autorité. |
«(1879 0) |
8(1879,0) |
Époques. |
Nombre des observations. |
Poids. |
|
P. |
is»» 13™ ai.34 |
+ 70 25' 50".7 |
73.6 |
5 |
2 |
|
|
ZL. |
5.27 |
50.4 |
83.5 |
2 |
1 |
|
|
R. |
3.^0 |
50.0 |
87.4 |
5.3 |
1 |
|
|
Lb. |
5.33 |
50.0 |
87.4 |
6 |
2 |
|
|
ti |
15 13 5.30 |
+ 7 25 50.3 |
||||
|
AN. |
15 2â 49.04 |
+ 7 44 32.4 |
80 4 |
3 |
2 |
|
|
R. |
49.88 |
33 1 |
87.4 |
2 |
1.2 |
|
|
Lb. |
50.00 |
34 3 |
87.4 |
2.3 |
2 |
|
|
23 |
15 22 49.95 |
+ 7 44 33 3 |
Les observations d'Eucharis faites en 1879 ont été comparées aux élé- ments (II). On trouve :
DATES.
Obsei-v. -calcul. Aa cos $ I Aa
Étoile.
1879 mai 24.5
» juin 9.5
+ 0«.07 -1^ 0.13
- 4".4
- 1.8
23 22
et la moyenne
1879 juin 1.5 Aa == -h r'.5l, A$ = — 3'MO
D'après les éléments (II) la position d'Eucharis correspondant à cette date est(Êquinoxe moyen 1880.0) :
1 879 juin 1 . 5 a = 2290 33' 55".40 8 = -♦- 7» 42' 1 2".93
En ajoutant à cette position les corrections données ci-dessus, on trouve la position normale
1879 juin 1.5 a = 2290 s.y 56".91 8 = -4- 7» 42' 9". 83 (Équinoxe moyen 1880.0).
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS.
17
OBSERVATIONS 0 EUGHARIS FAITES EN 1880.
Temps moyen de Berlin — Temps de Taberration.
Juin 10.5180
» U.5225
|
Observatoire. |
N« de l'étoile. |
a(181)obs. |
a(181)obs. |
|
Berlin » |
24 » |
19*» 6«32'.56 19 4 3.29 |
- 40 56' 43".6 - 5 0 24.9 |
POSITION DE l'étoile DE COMPARAISON.
|
No de l'étoile. |
Autorité. |
«(1880.0) |
0 (1880.0) |
Époque. |
Nombre desobserrations. |
|
24 |
Kr |
19»» 4» 3».33 |
- 40 56' 28".2 |
85 7 |
2 |
Les observations d'Eucharis faites en 1880 ont été comparées aux élé- ments (II). Il résulte de ces observations
|
DATES. |
Observ.-calc. Aa cos 8 a8 |
Étoile. |
|||
|
1880 juin . |
. . 10.5 |
- 0».04 - 0.26 |
- 0".5 + 2.6 |
24 |
|
|
» |
. . 14,5 |
» |
|||
D'après les éléments (II) on a pour (Équinoxe moyeu 1880.0) :
1880 juin 12.5 a = 286» 19* 24^'. 97 8 = — 4o58'22".10.
En ajoutant à celte posilion la moyenne des corrections données ci-dessus^ savoir :
Aa = - 2".26, AS = -*- 1".05
on trouve la position normale^ rapportée à Téquinoxe moyen 1880.0 :
1880 juin 12.5 a = 286o|9' 22".71 8 = — 4» 58' 21".05.
Tome LI.
18
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
OBSERVATIONS D EUCHARIS FAITES EN 1881.
|
Temps moyen de Berlin — Temps de l'aberration. |
Observatoire. |
No de rétoile. |
a(181)obs. |
S(181)obs. |
|
Août 29.4611 |
Leipzig Berlin .... » » |
28 27 26 23 |
22»» 34m36>.97 22 19 38.92 22 19 8.83 |
- 14» 26' 24"! |
|
» 31.4661 |
- 14 43 26.6 |
|||
|
Septembre 23.3913 » 24.3332 |
- 17 34 23.8 - 17 40 4.3 |
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
|
No de rétoile. |
Autorité |
a (1881.0) |
8(1881.0) |
Époque. |
Nombre dMobgenitioiu, |
Poids. |
|
AN. H. |
22»» 18" 26» 09 26.11 |
- 17» 40' 37".3 39.4 |
83.9 87.8 |
1 3 |
1 2 |
|
|
23 |
AN. • H. |
22 18 26.10 22 19 48.64 48.43 |
- 17 40 38.7 - 17 34 38.3 38.0 |
83.9 87.8 |
2.3 |
1 1 |
|
26 |
AN. S. |
22 19 48.43 22 32 13.83 13 83 |
- 17 34 38.1 - 14 41 3.4 7.4 |
87.8 |
4 4 |
1 1 |
|
27 28 |
S. |
22 32 13.83 • 22 39 47.44 |
- 14 41 6.4 - 14 27 41.3 |
87.8 |
4 |
* L'étoile a été comparée an n* 25.
Les observalions d'Eucharis faites en 1881 onl été comparées aux éléments (III); il résulte de ces observations :
DATES.
Observ.-calc.
Aa cos S I A^
Étoile.
1881 août 29.3
31.5
» »
))
»
septembre 23.4
» 24.3
- 0M2
- 0.03
- 0.09
- 3".7 + 07
- 0,^
- 2 1
28 27 26 23
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS. 19
En ajoutant la moyenne de ces corrections, savoir :
Aa = — r.28, A5 = — 1"50
à la position calculée pour 1881, septembre 17.5, à Taide des éléments (III) (Équinoxe moyen 1880.0):
1881 septembre 17 .5 a = 335o 44' 14'M 1 S = - 16*56' 32".41 ,
on trouve la position normale rapportée à Féquinoxe moyen 1880.0 :
1881 septembre 17 .5 a = 335» 44' 12''.86 5 = — 16» »6' 33".91
4 observations faites à TObservaloire de Palerme au moyen d'un micro- mètre circulaire ont été rejetées. (« Recherches », p. 35.)
OBSERVATIONS MÉRIDIENNES d'eUCHARIS FAITES EN 4883.
|
Temps moyen de Berlin — Temps de l'aberration. |
Observatoire. |
a(181)obs. |
S(181)obs. |
|
Janvier 2.4443 |
Paris |
4h 37«n29«.99 4 34 28.82 |
- 2o 33' 9".9 |
|
— 8.4236 |
- 1 39 36 6 |
||
En comparant ces observations aux éléments (11), on trouve :
DATES.
Observ.-calc. Aa cos S I A^
1883 janvier 2.4
- 8.4
- 0«.04
- 0 03
+ 1".4 '+ 3.2
La moyenne de ces corrections : Aa = — 0".68, M= + 2". 3, ajoutée à la position résultant des éléments (II), 1 883, janvier 5.5 : « = 73*'55'1 7".86, d= — 2^27'49".03 donne la position normale, rapportée à Féquinoxe moyen 1880.0:
1883janvier3.3a«:73o33'17".18 S = - 2o 27' 46".73
20
NOUVEAUX ÉLÉMENTS DE L'ORBITE
OBSERVATIONS D EUCHARIS FAITES EN I88S.
|
Temps moyen de Berlin — Temps de Taberration. |
Observatoire. |
de l'étoile. |
a[(181)obs. |
S(18l)obs. |
|
Juin 19.4i94 |
Nice |
31 |
nh 5"» 6».98 |
+ 0» 17' ir'.2 |
|
» 20.4271 |
» |
a> |
17 4 24.43 |
+ 0 15 13.0 |
|
JuiUct 10.4743 |
» |
30 |
16 52 13.37 |
- 0 49 10.0 |
|
» 15.4396 |
» |
29 |
16 50 2 08 |
- 1 11 39.7 |
POSITIONS DES ÉTOILES OË COMPARAISON.
|
N» de l'étoile. |
Autorité. |
a (1883.0). |
0(1885.0). |
Ëpoques. |
Nombre desobKmtioDs. • |
Poids. |
|
Schj. |
16»» 51" 0-.40 |
- lo 3' 38".9 |
63.4 |
2 |
0,1 |
|
|
Gôtt. |
0.29 |
39.3 |
67.9 |
2 |
0,1 |
|
|
ZN. |
0.38 |
38.0 |
83.5 |
2 |
1 |
|
|
R. |
0.38 |
39.0 |
87.4 |
3.2 |
i.l |
|
|
S. |
0.49 |
38.0 |
87.5 |
4 |
2 |
|
|
Lb. |
0.45 |
37.4 |
87 5 |
5.3 |
2 |
|
|
29 |
16 51 0 44 |
- 1 3 38.2 |
Peut-être existe-t-il un faible mouvement propre en ascension droite; par ce molif^ j^ai rejeté les observations anciennes. L'AR observée par Bessel est (1822.9)a=46>»51"0*.20; Lamont donne 0\25.
|
Gôtt. |
16»» 52" 5'.90 |
- 0 57 |
53.7 |
67.9 |
2 |
1 |
|
|
ZN. |
5.83 |
53.7 |
83.5 |
2 |
1 |
||
|
R. |
5.73 |
55.1 |
87.4 |
3.2 |
i.l |
||
|
s. • |
5.96 . |
b4.0 |
87.5 |
6 |
2 |
||
|
30 |
16 52 5.89 |
- 0 57 |
54.1 |
2 |
|||
|
Schj. |
17 2 54.99 |
4 0 11 |
1.1 |
63.5 |
1 |
0.4 |
|
|
ZN. m |
54.46 |
4.8 |
83.5 |
2 |
1 |
||
|
R. |
54.36 |
3.8 |
87.4 |
3 |
i.l |
||
|
S. |
54.57 |
3.7 |
87.5 |
6 |
2 |
||
|
Lb. |
54.56 |
3.7 |
87.5 |
4.6 |
2 |
||
|
31 |
17 2 54.53 |
+ 0 11 |
3.7 |
DE LA PLANÈTE (181) EVCHARIS.
21
Les observations d^Eucharis faites en 1885 ont été comparées aux éléments (II). En réunissant dans une moyenne les difTérences : observa- tion-calcul^ qui résultent des deux premières observations^ on trouve :
DATES.
Observ.-calc. Aot cos $. I AS.
1885 juin 19.9
» juillet 10.5
» .> 15 4
-0M35 - 0.11 4- 0.18
- 0".2
- 1.0
- 1.8
Étoile.
31 30 â9
Poids.
1 4 1
1
Diaprés les éléments (II) la position d'Eucharis rapportée à Péquinoxe moyen 1890.0 est pour
1883 juillet. . . 3.5 a = 234o2'18".92 5 = — 0«22'6".48.
En ajoutant à cette position la moyenne des corrections données ci-dessus Aa = — 0".56, tki= — 0".89, on trouve la position normale rapportée à Téquinoxe moyen 1 890.0 :
1885 juillet. . . 3.5 a = 254o2'l8".36 8 = — .0o22T'.37. OBSERVATIONS d'eUCHARIS FAITES EN 1886.
Temps moyqn de Berlin — Temps de Taberration.
Juin 22.4676
j) 25.4711
» 25.5060
» 26.4884
» 27.4665
» 28.4783
» 28.5369
» 29.5530
Août 6.4562
» 20.3972
» 25.4468
» 28.4151
Observatoire.
N« de l'étoile.
(x(181)obs.
$(181)obs.
Nice
» Alger Nice
» Alger Paris
»
» Berlin
» Nice .
42 43 40 43 41 40 40 39 38 36 37 35
20h 52»
20 51
20 51
20 51
20 50
20 50
20 50
20 49
20 24
20 15
20 12
20 11
43>.20 34.16 33.38
8.64 43.16 16.31 14.22 45.69 47.74 28.60 36.76
5.97
7ô 55'
8 3
8 3
8 6
8 9
8 12
8 12
8 15
11 27
12 55
13 26 13 44
16".9 15.6 21.1 10.5 4.0 12.1 24 2 38.9 47.3 31.2 33.1 22.2
23
INOUVEAUX ÉLÉMEINTS DE L'ORBITE
Temps moyen de Berlin — Temps de Taberration.
Observatoire.
No de l'étoile.
a(181)0bs.
S(l81)obs.
Août 29.3786
» 3i.3990
Sept i .3340
» 2.3259
Nice . . Vienne .
»
»
a • ■
33 33 32 34
20>' 10" 38i.09
20 9 42.93
20 9 19.10
20 8 54.65
13 50 5.6 U 1 53.2*
14 7 17.4* 14 12 59.1*
* Observations faites an moyen d'un micromètre circulaire. — Le 2 septembre l'observation a été tronblée par une petite étoile qui se trouvait dans le voisinage de la planète.
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPARAISON.
|
N» de l'étoile. |
Autorités. |
0 |
t(l880.0). |
5(1886.0). |
Époques. |
Nombre deiobienratieitt. |
Poids. |
|
AN. |
20b |
6» 25*06 |
- 14» 7' 50".2 |
60.7 |
2 |
1 |
|
|
P. |
24.91 |
51.7 |
67.2 65.0 |
2.3 |
1 |
||
|
Y. |
25.00 |
52.7 |
71.9 66.2 |
8 |
2 |
||
|
T. |
25.08 |
53.6 |
86.7 |
3 |
2 |
||
|
S. |
24.93 |
52.8 |
87.7 |
1 |
1 |
||
|
32 |
20 |
6 25.01 |
- 14 7 52.5 |
||||
|
Y. |
20 |
6 57.72 |
- 14 1 16.4 |
69.3 56.4 |
3 |
||
|
T. |
57.77 |
11.7 |
86.7 |
2 |
1 |
||
|
S. |
57.70 |
14.9 |
87.7 |
5 |
2 |
||
|
33 |
20 |
6 57.72 |
- 14 1 14.5 |
||||
|
Schj. |
20 |
7 47.33 |
- 14 14 8.2 |
1 |
1 |
||
|
T. |
47.14 |
10.2 |
86.7 |
3 |
2 |
||
|
S. |
47.12 |
10.0 |
87.7 |
7 |
4 |
||
|
34 |
20 |
7 47.16 |
- 14 14 9.8 |
||||
|
Schj. |
20 |
8 45.95 |
. - 13 43 43.3 |
1 |
1 |
||
|
P. |
45.86 |
43.4 |
64.4 65.7 |
4.3 |
2 |
||
|
Y. |
45.68 |
42.0 |
68.8 61.2 |
2 |
1 |
||
|
Cord. |
45.81 |
45.3 |
77.8 |
4 |
2 |
||
|
T. |
45.88 |
43.6 |
86 7 |
3 |
2 |
||
|
S. |
45.80 |
43.3 |
87 7 |
9 |
4 |
||
|
35 |
20 |
8 45.83 |
- 13 43 43.3 |
m
DE LA PLANÈTE (184) EVCHARIS.
33
de l'étoile.
36
Autorités.
«(1886.0).
3(1886.0).
Époques.
Nombre detobienationi.
«a Capricorni (Berliner astron. Jahrbuch).
Poids.
|
37 |
Kr. |
20»» 13» |
20i.04 |
- 130 âO' i4".o |
86.7 |
2 |
|
|
Kr. |
âO 22 |
22.02 |
- 11 27 54.4 |
86.7 |
2 |
1 |
|
|
T. |
22.02 |
54.8 |
86.7 |
5 |
1 |
||
|
38 |
. |
20 32 |
22.02 |
- 11 27 54.6 |
|||
|
M. |
20 48 |
53.11 |
- 8 14 3.5 |
1 |
1 |
||
|
Bi» |
53.22 |
2.5 |
1 |
||||
|
Kr. |
53.21 |
2.6 |
86.7 |
2 |
2 |
||
|
T. |
53.22 |
2.0 |
86.7 |
3 |
2 |
||
|
39 |
20 48 |
53.20 |
- 8 14 2.5 |
||||
|
Schj. |
20 30 |
1.09 |
- 8 9 2.5 |
1 |
1 |
||
|
1 |
1.23 |
4.9 |
86.7 |
2 |
|||
|
T. |
1.15 |
4.7 |
86.7 |
4.3 |
3 |
||
|
S. |
1.23 |
5.0 |
87.7 |
. 5.9 |
4,5 |
||
|
40 |
20 50 |
1.19 |
- 8 9 4.7 |
||||
|
P. |
20 51 |
34.35 |
- 8 9 6.2 |
65.2 |
2 |
2 |
|
|
Schj. |
34.30 |
6.1 |
1 |
1 |
|||
|
T. |
34.40 |
7.0 |
86.7 |
4 |
3 |
||
|
41 |
20 51 |
34.37 |
-8 9 6.6 |
||||
|
43 |
s |
20 52 |
50.33 |
- 7 54 21.0 |
|||
|
Schj. |
20 53 |
21.61 |
- 8 3 58.0 |
1 |
1 |
||
|
T. |
21.58 |
61.1 |
86.7 |
4 |
3 |
||
|
. |
S. |
21.52 |
61.1 |
87.7 |
5.9 |
4.5 |
|
|
43 |
20 53 |
21.55 |
- 8 4 0.8 |
< L'étoile a été comparée au o* 40. * L'étoile a été comparée aa n« 41. > L'étoile a été comparée au ii« 43.
Les observations d'Eucharis faites en 1886 ont été comparées aux éléments (II). En réunissant dans une moyenne les différences : observa-
u
NOUVEAUX ELEMENTS DE L'ORBITE
lion-calcul^ qui se rapportent à une même étoile de comparaison^ on trouve :
DATES.
1886 juin 22.5
» » 25.5
» » 27.0
» » 27.5
I) » 29.5
D août 6.5
» » 20.4
» » 25. i
» » 28.9
» ....... 51.4
» sept 1 .3
n » 2.3
|
Observ.-calcul. Aa cos 0. AS. |
Étoile. |
Nombre des différ. |
Poi |
|
|
- 0».i8 |
[i- 7".7] |
42 |
1 |
h |
|
+ 0.015 |
f 0.8 |
43 |
2 |
1 |
|
* 0.06 |
4- 0.6 |
40 |
3 |
2 |
|
-OU |
+ 0.5 |
41 |
||
|
- 0.37 |
+ 1.4 |
39 |
||
|
- 0.07 |
- 0.8 |
38 |
||
|
-0.15 |
- 2.2 |
36 |
||
|
- 0.08 |
- 0.4 |
37 |
||
|
- 0.095 |
- 0.65 |
35 |
2 |
|
|
- 0.10 |
-0.1 |
33 |
||
|
-1^ 0.16 |
- 0.6 |
32 |
||
|
+ 0.33 |
- 2.0 |
34 |
X
t
La moyenne des corrections résultant des observations faites au mois de juin est A«= — 1".09, A(J= +0''.78.
Les autres observations donnent Aa = — 0".88, A(J= — 0".90. Diaprés les éléments (11) les coordonnées d'Eucharis rapportées à Téquinoxe moyen 1890.0 sont pour
1886 juin 27.5 <x«312o43'29".67 5 = — 8» 8'26".73, » août 26.5 a =r 303 3 50.46 5s — 13 32 20. 76.
m
En ajoutant à la première position les corrections résultant des observa- tions faites au mois de juin et à la seconde les corrections déduites des observations faites aux mois d'août et de septembre^ on trouve les positions normales d'Eucharis^ rapportées à Péquinoxe moyen 1890.0:
1886 juin 27.5 a = 312o43'28".58 $=- 8«> 8'23".95, » août 26.5 a == 303 3 49 . 58 S = — 13 32 21 . 66.
Par suite de renseignements donnés par M. Trépied, deux observations faites à PObservatoire d'Alger au mois de septembre ont dû être rejetées.
DE LA PLANÈTE (i8l) ËUCHARIS.
25
OBSERVATIONS D EUCUARIS FAITES EN 1887.
|
TtMHps moyen de Berlin — Temps (le l'aberration. |
i Observatoires. |
Numéro de rétoile. |
a(l8l)0bs. |
o(l81)obs. |
|
Oct 21.4563 |
Berlin .... |
47 |
1»» 32n. 3l».0i |
- 16<> 21' 44"2 |
|
» âo.i605 |
» .... |
i^ |
l 9 46.23 |
- 16 42 38.2 |
|
)» -26.5162 |
Vienne .... |
)) |
1 9 5.51 |
- 16 47 17.4 |
|
Nov 5.3860 |
Ni(M' |
15 |
1 5 10.73 |
- 17 17 31.4 |
|
» «.3157 |
» |
)) |
1 1 15.40 |
- 17 22 5.6 |
|
>' 10.3397 |
» |
» |
1 0 47.93 |
- 17 22 52.3 |
|
» 11.3118 |
» |
il |
1 0 25.11 |
- 17 22 46.9 |
POSITIONS DES ÉTOILES DE COMPAHAISON.
|
> <ie l'étoile. |
Autorités. |
a (1887.0). |
0(1887 |
.0). |
Époques. |
Nombre tlesobsenations. |
Poids. |
|
Bord. » |
(>•• 57»» 57».88 |
- 17» ir |
10".2 |
83.3 |
2 |
2 |
|
|
S. |
57.99 |
8 7 |
87.9 |
1 |
1 |
||
|
14 |
0 57 57.92 |
- 17 11 |
9.7 |
||||
|
Bord. * |
1 0 5.06 |
- 17 12 |
24.9 |
82.8 |
r |
1 |
|
|
S. |
4.98 |
25.6 |
87.9 |
2.1 |
2.1 |
||
|
4:» |
1 0 5.01 |
- 17 12 |
25.2 |
||||
|
46 |
S. |
1 H 58 21 |
- !0 45 |
46.7 |
87.9 |
1.2 |
|
|
Br. ^ |
1 14 24 53 |
- 16 24 |
16.2 |
70 6 67.9 |
3.2 |
1 |
|
|
Cord. |
24.40 |
16.4 |
77.4 |
5 |
2 |
||
|
47 |
1 14 24.38 |
- 16 24 |
16.3 |
1 M. Rayeta bien voulu me faire connaitre les étoiles fondamentales, dont il s'est servi pour déterminer les positions des deux étoiles. Afin que ces dernières se rapportent au système du ACCII je les ai corrigées de A« *■ -♦-O'.Oi, A^ — -— 0"5 - La moyenne des différences AGCII —Br pour les sept étoiles communes à ces deux catalogues entre 0^ et 3* est \% = -f-OHK). a5 = --0".8; ces quantités ont été ajoutées aux positions prises du nouveau catalogue de Bruxelles.
Les observîjlioiis trEucharis faites en 1887 ont été comparées aux élé- ToHE Ll. 4
26
r *
NOUVEAUX ELEMENTS DE L'ORBITE
menis (III). En réunissanl dans une moyenne les diiïérences : observation calcul^ qui se rapportent à une même étoile^ on trouve :
|
DATES. |
Obscrv. A X cos 5. |
-calcul. A5. |
Étoile. |
Nombre des diffêr. |
|
|
1888 oct |
. 21.5 |
- G». 50 - 0.30 - 0.45 - 0.57 |
- 2".6 - 4.4 - 3.0 - 3.7 |
i7 46 45 14 |
1 |
|
^> » .... )) nov » » . . . . |
. 56.0 8.3 . 11.3 |
3 1 |
Poids.
1
1 i
5
1
D'après les éléments (III) la position d'Eucharis rapportée à Téquinoxe moyen i 890.0 est pour
1887 nov. 5.5 3c = ICo I5'18'M7 o = — 17« I0'35".40.
En ajoutant à celte position la moyenne des corrections données ci-dessus A« = — 7".38, A^« — 3". 70, on aura la position normale d'Eucliaris rapportée à Téquinoxe moyen 1890.0.
IHH7 nov. 5.5 a = 10" 13' 10". 70 o « — 17" 10' 50 ".55.
CORRECTION DE8 KLÉNËNTS (lit).
Dans ce qui précède nous avons déterminé dix positions normales d'Eucliaris^ les voici :
T(Mnps nioypn de Berlin.
1887 février 11.5
» mars 31). 3
1879 juin 1.5
1880 juin 12.5
1881 septembre 17.5
1883 janvier 5.5
|
Equinoxe moyen : 1880.0 |
||||||
|
2 |
1 |
|||||
|
i4ro |
4' |
55".24 |
+ 12o |
35' |
23" 85 |
|
|
143 |
39 |
58.25 |
+ 19 |
36 |
30.89 |
|
|
220 |
33 |
56.91 |
+ 7 |
42 |
9.83 |
|
|
286 |
19 |
22.71 |
- 4 |
58 |
21.03 |
|
|
335 |
44 |
12.86 |
- 16 |
56 |
33.91 |
|
|
73 |
17.18 |
- 2 |
27 |
46.73 |
DE LA PLANÈTE (ISl) EVCHARIS.
27
Temps moyen do Berlin.
l*)quinoxe moyen : 4890.0
a.
4885 juillet 3.3
1886 juin i7.5
» août i6.5
4887 novembre 2.5
234« 2'
312 43
503 3
16 43
18".36 28.58 49.58 10.70
|
0. |
|||
|
- 0" |
22' |
7".57 |
|
|
- 8 |
8 |
25.95 |
|
|
- 13 |
32 |
21.06 |
|
|
- 47 |
40 |
36.25 |
Ces positions normales dilTèrenl des positions d'Eucharis^ calculées à Paide des éléments (III) el en tenant compte des perturbations exercées par Jupiter, Saturne et Alars^ des quanlilés qui suivent :
DATES.
KLKNEillTS III.
Observ.-calcul.
acoso.
A-:.
ELEMENTS IV.
Ohserv.-caïcul. Aotcesd. I Ao.
4878 février 11.5
» mars ' 2î).5
1879 juin 1.5
4880 juin 42.5
4881 septembre 47.5
1883 janvier 5.5
4885 juillet 3.5
4888 juin 27.5
» août 26.5
4887 novembre 2.5
+ 4".$« + 2.08 4 3.34
- 2.15
- 1.20
- 0.04
- 1.10
- 3.31
- 3.06
- 7.05
f 0".41 + 0.16
- 4.31 + 4.8?>
- 1.30 -I 0.68 + 0.80 + 0.79 + 1.11
- 5.70
4 0".23
- 1.48 4 I 96
- 1.68 ^ 0.42 1 1.68 4 0.66 + 0.09 + 0.24
- 0.97
- 0".22
- 0.80
- 1.95 4 4.53
- 0.57 4^ 1.77
- 0.22 4 0.85
- 4.08
- 1.63
Les coedlcients des équations de condition ont élé calculées au moyen des formules déduites par iM. Sclionfeld. Posons :
ilk = Um -h cos idU ,
(/Aj= dk ■+■ sec* ©«/Mo , iCa r= sin oxli — cos to sin idù , f/v = cos (tw/t -4- sin (0 sin idÙ ,
les équations de condition sont de la forme :
A « cos 0 ou . ^ J -f V Ao
= Adki 4- B t^ç 'i(/Mo 4- VaIix -f- D</v -h KdA -4- Ft/v
28
.NOLVEALX ELEMENTS DE LORBITE
Voici les logarillimes des coeflicienls ainsi c|iie ceux des différoncos ^a cos<? et My ces diiïérences prises dans le sens : observalion-calcul :
Log A.
8 5884«,
9,4577„
8.77»9
».4<97„
9.0474.
1. Ascensions droites.
|
l^A. |
UgB. |
Loge. |
Log D. |
LogE. |
Log F. |
Ia^Axcoso |
|
0.3069 |
0.3618 |
3.464i„ |
0.4360 |
8 4000 |
8.4742 |
0.6922 |
|
0.1282 |
0.2372 " |
3.3797„ |
0.3688 |
7.2228 |
7.480i |
0.42T9 |
|
o.i(m7 |
0.2426„ |
2.9248„ |
0.2382 |
9.3488. |
9.3!83 |
0.5237 |
|
0.1128 |
0.3«>0^ |
2.. 5436. |
«.3885„ |
9.2373. |
8.0195. |
0.3329. |
|
U.1432 |
0.1340„ |
1.00I2„ |
0.3744. |
8.4988 |
K.8018 |
0.077G. |
|
0.1016 |
0.ri096 |
3.0271 |
0.0127. |
9.3050. |
8.8136 |
8.6017. |
|
0.1005 |
0.3403„ |
3.0648 |
9.8806 |
0.4268. |
8.8Î>28 |
0.0414. |
|
0.1 (m?i |
0 32?>4,. |
3.2162 |
0.08IHI. |
8 6802. |
8.3767. |
0.5193. |
|
0.1172 |
0.3302^ |
3.2l:i0 |
O.OÎM)!. |
8.95r>7„ |
8.76:i4„ |
0.4860. |
|
0.1444 |
n. 7.^97 |
3..'i616 |
0.4612. |
8.8238. |
0.4018 |
0.8481. |
Log B.
Log C.
2. Déclinaisons.
Log 1).
8.6372.
9 0694.
9.4676
9.5633
9.1503.
9.7542
9.6460
9.1940
9.2162
9.1813.
1.8190 1.1531 2.3791
1 9017
1 .3320.
2 19Ô0 2.3379. 1.6775. 2.1569. 2.6253
8.8r>92„
9.2010
9 6869.
8.8427.
8.7964.
9.6404.
9.3796.
8.2668.
9.0688
9.7296.
Poids.
9 6 1 1
4 4 4
|
Log E. |
l-og F. |
Log Ao. |
Poids. |
|
0.0162 |
0 0904 |
9.6128 |
18 |
|
9.8252 |
0.0828 |
9 2041 |
12 |
|
9 9727. |
9.9421 |
0.1173. |
4 |
|
0.1122, |
8.8744. |
0.2G72 |
j |
|
9.7934. |
0.0965. |
0.1761. |
4 |
|
0.1586 |
9.4672. |
9.8323 |
4 |
|
0 0846. |
9.3505 |
9.i)031 |
4 |
|
0.0648„ |
9.7614. |
9.8976 |
8 |
|
0.0403. |
9.8700. |
0.0453. |
8 |
|
9.rv4H8 |
0.1278. |
O.Î^>752„ |
8 |
En Irailanl ces équations de condition d'après la méthode des moindres carrés, on trouvera les corrections suivantes des éléments (111) :
|
rfMo=-t-0".62 |
erreur niovenne |
=tr'.2o, |
|
rfo) =-4-0.31 |
» |
ztl.77, |
|
rfû- 1.42 |
)) |
:t1.17, |
|
di =-4-0.85 |
» |
±0.38, |
|
ih =^0.46 |
» |
rb 0 . 58, |
|
(/a = — 0.00126 |
» |
zfc0.0(Mi:i:i |
DE LA PLANETK (18i) EVCIIAIUS. liln njoulaiU ces corrections aux cléments (III), on aura les
:29
> r
ELEMENTS (IV) DE LA PL4nETE EUCIIAUI8.
Osculation et époque : 1881 août 31.0 temps moyen de Berlin.
M = 264«38'3r'.7
(ossSIO 51 8.2
Û — 144 46 i . 8 ^ Équiiioxe moyen 1880.0.
î = 18 5:> 29.2
'^= 12 44 4".6,
ijL = Ca4".:i0158,
iog« = 0 . 4a">8ri?Ji .
(0 = r>io«îHMrr.37
11 = 144 54 17.43 ;= 18 3:> 2i.m)
Équinoxo moyen 181)0.(».
J'ai déjà fin'l connaîlre pour les dix positions normales les erreurs : obser- valion-calcul, correspondant aux élémenls (IV). Voici encore les conslanles dont on a besoin pour calculer les coordonnées reclangulaires de la planéle rapportées à Téqualeur (Oppoizer, /. c, p, 462).
|
Équinoxe moyen 1880.(1 |
. |
Éqninoxe moyen 1890.0. |
|
A = 230M2' 2" |
M |
A =2300 20' 7".94 |
|
B^-. 147 41 5;i. |
02 |
B = 147 49 24.90 |
|
C= 93 54 17. |
14 |
C = 94 2 54 57 |
|
logsina=9.9«2527l |
sin 0 5= 9.5:925797 |
|
|
. logsin/; =0.9958029 |
sin h = 9.99B8279 |
|
|
log sine =9.3020224 |
sinr =9.3603938 |
|
|
logcosa =9.2046434 |
en 0=9.2631357 |
|
|
lo«[cos^ = 9.1410050„ |
en /;=9.1397159„ |
|
|
logcosf =9.9881815 |
en f= 9.9882612 |
• •
o
,:'II'J
DiiSTRAÏIi PRAÎ
l
DE
f
n DE U NIJTITION
PAR
L. NIESTEN,
ASTRONOME A L OBSERVATOnB KOYAL DB BRUXELLES.
( Présenté à la Classe des sciences dans la séance du 5 mars 1887. )
ToMi LI.
\
DÉMONSTRATION PRATlOll
DE
L'EXISTENCE DE LA NUTATION DITJEM.
Malgré la précision avec laquelle les observations méridiennes se font de nos jours et malgré le soin avec lequel ces observations sont réduites, il existe, dans les principaux catalogues d'étoiles, des différences considérables pour les étoiles circompolaires, entre les positions observées et celles qu'in- dique le calcul. La nutation diurne étant prouvée théoriquement dans le savant mémoire de M. Folie : Théorie des mouvements diurne y annuel et séculaire de l*axe du monde, il était du plus grand intérêt de rechercher si ces différences, qui se montent à plusieurs secondes pour les étoiles voisines du pôle, ne pouvaient s'expliquer par le fait de termes dépendant de la nutation diurne et dont jusqu'ici les astronomes n'avaient pas tenu compte dans la réduction de la position apparente des astres à leur position moyenne.
C'est dans ce but qu'a été entrepris le travail que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie.
Si la valeur obtenue pour le coefficient de la nutation diurne doit être considérée comme une valeur approchée qu'une longue série d'observations, faites dans le but spécial de la mettre en évidence, viendra améliorer, toutefois la concordance des diverses valeurs trouvées pour ce coefiGcient, par des séries d'observations faites dans différents observatoires^ doit permettre de conclure avec une très grande probabilité à la réalité de l'existence de la nutation diurne.
4 DÉMONSTRATION PRATIQUE
Daos le mémoire cité plus haut^ M. Folie est conduit aux formules sui- vantes, pour les variations apparentes du lieu d^un astre produites par le mouvement diurne de Taxe du monde :
(!) Ac^sssin aAoi -t- cosasiaaA^.
(3) àa='COS «Af H- tg (? (sin a sin caà^ — COS alto).
où a et (^sont Tascension droite et la déclinaison de Pastre^ àa et àâles variations apparentes de ces coordonnées dues au mouvement de Taxe du monde^ et dans lesquelles
rco8(A-4-2D-2f) cos(A-2D-2yn rcos(AV2P'-gy) cos(A'— 2D^~2y)1
^^^^"^^ L («.-P)(«.-i) ^ (r,-p\r,-i) J" 1 (,;-p)(,;-i) ~(rî~^,':rî) y
iL^ . ^r8in(A^2D-2f) 6in(A-2D~2^)l ^sîn(A^f.îD^-2^) sin(A'-.2D^-2?)1
Dans les formules (3) et (i)
A et D = ascension et déclinaison du Soleil.
A'etD'= ascension et déclinaison de la Lune.
f = Tangle que l'axe des x fait, dans le sens du mouvement de rotation de la Terre, avec la ligne équinoxiale, ou réduit en temps, Theure sidérale du premier méridien, en prenant pour premier méridien celui qui passe par Taxe des x.
h p=«-. = 0,0033 cl f^%{%. A
/ a, rapport du mouvement en ascension droite du Soleil
n pendant 1 jour sidéral à 360*".
<r,
r, = a, — 2(1; — 1 [ <^, = - rapport du mouvement en déclinaison.
\ n
8f s= Of -i- 2^1 — i )
\ rapport pour les mouvements de la Lune.
La formule (2)^ que nous emploierons particulièrement dans cette étude^
DE L'EXISTEiNCE DE LA MUTATION DIURNE. {
devient en y remplaçant A&) et At// par leurs valeurs (3) et (4) et en rem plaçant S par (s^ — jS) («â — i) et R par (r^ — /3) (r^ — 1 )
cos ^ ^ ( sîn (A -H 2D — 2?) sin (A — 2D — 2?)
9in » ( S R
cos (A -^ 2D — a — if) C08 (A — 2D — a — 2f )
(5) . . . .
KtgJ
pi col a
S R
sin (A' -^ 2D' — 2?)) sin (A' — 2D' — 2f )
flii^S
S' R'
cos(A^-h2D^ — g — 2y) cos(A' — iD' — 2^) S' R^
Dans cette expression, outre Pinconnue K, il existe une autre inconnue renfermée dans 9, c'est L, la longitude orientale du lieu d'observation par rapport au premier méridien.
En effet, à Pheure y correspond Theure sidérale 9 + L = T, pour un lieu d'observation dont la longitude orientale est L par rapport au premier méridien. Remplaçant dans (5) y par T — L
i Tsin (A + 2D — 2T) sin (A — 2D - ST)! A a = co l « K cos 2L 1
, ^ rcos(A 2D — 2T) cos(A — 21) — •âTnj
-H K sin 2L ^ )
[S K J»
. ( -, .., r^^os ( A H- 2D — a — 2T) cos (A — 2D — a — 2T)1 -4- iaê\K cos 2L ^ -' î^ ^
- .r . ^. rsi"(A-^2D — a-2T) C05(A— 2D — a — 2T)1 ) _ K «n 2L [^-i ^ 1 ^ ^^J j
. Fcos (A^ — 2D' — 2T) cos (A^ - 2D^ — 2T)1 )
. . 1 .r «. fcos (A' 4- 2D' — « — 2T) cos (A'— 2D'— a — 2Tn 4./-lg<ï JKco8 2L|^— i ^; L i « J
„ . ,rs«n(A'-^2D'— a— 2T) sin(A — 2D'— a — 2T)'| J -.Ks.n2L[-l g; ^ /J(.
DÉMONSTRATION PRATIQUE
Si Ton pose j^ » K cos 2L et x^=^K sin 2L, on aura :
Aa = y U sin (A -+- 2D — 2T) — - sin (A — 2D— 2T) 1 col « -4- X I R cos(A + 20 — 2T) — ^ sin (A — 2D — 2T) 1 col «| ^ y j ri sin (A' -«- 2D' — 2T) — 1 sin (A' — 2D' — 2T)1 fcoi « j 4- flp I jl cos (A' -h 2D' — 2T) — 1; sin (A' — 2D' — 2T)1 fcoi » -^- y L cos ( A -♦- 2D — a — 2T) — - C08 (A — 2D — a — 2T) fg .J |
— X I [i sin (A -+- 2D — « — 2T) — g sin (A — 2D - a — 2T) 1 Ig cT |
-f. y j fi cos(A' + 2D' - « - 2Tj - 1 cos (A' - 2D' - « - 2T)1 fi^â\^
— X j [i sin (A' H- 2D' — « — 2T) — i sin (A' — 2D' - « - 2T)1 /"ig ^j
Si dans une série d'observations^ on compare Tobservation de Fascension droite moyenne calculée A à Fascension droite observée Aq^ on pourra former autant d'équations de condition de la forme
A -♦- (Aoe) y -♦- [àa] x — Aq =» 0,
qu'on aura d'observations^ d'où Fon pourra tirer la valeur de^^ = R cos 2L et or » K sin SL^ et par suite les valeurs de K et de L.
DE L'EXISTENCE DE LA MUTATION DIURNE. 7
Si Tou applique les formules précédentes, on trouve :
l*» Par 38 obsen'ations de la Polarissime faites à K. l.
Kiew en 1870, on trouve —0*209 42«32' W. deGreenwich.
2® Par 63 observations de a Ursae majoris faites à
Pulkowa en 1861, 1862, 1868, 1869 et 1870. — 0,181 6« —
3® Par 73 observations de a Ursae majoris faites à
Greenwich en 1869 —0,124 28» —
4/^ Par 57 observations de a Ursae majoris faites à
Washington en 1870 —0,175 8« E. de Greenwich.
5® Par 16 observations de S Ursae majoris faites à
Pulkowa en 1869 -0,321 52« W. de Greenwich.
6« Par 22 observations de X Ursae minoris faites à
Bruxelles en 1861 et 1862 — 0,100 26* —
7<» Par 12 observations de a Octantis faites à Cor-
dobaenl874 —0,110 26« —
8<' Par les observations de R Cephei faites à Bonn
en 1863 et 1864 -0,136 17» —
La moyenne de ces déterminations donnerait :
K = — 0'M69 et L « 24" W. de Greenwich.
POLARISSIME (Kiew, 1870).
Dans le vol. II des Annales de l'Observatoire de Kiew se trouvent rensei- gnées les observations de la Polarissime dont Tascension droite moyenne au l*' janvier 1886 est 18**li"14' et dont la distance polaire est0^5'41",10. Les différences entre les positions observées et celles calculées sont données en coordonnées rectilignes. Nous avons donc dû, en premier lieu, convertir en coordonnées polaires les valeurs observées et les valeurs calculées, données en coordonnées rectilignes. Le détail des calculs se trouve renseigné au tableau A.
8 DEMONSTRATION PRATIQUE
De toutes les observations qui ont été faites dans une même soirée, nous n^avons utilisé que celles qui correspondaient au passage au méridien.
Le tableau B donne les détails du calcul des termes relatifs au Soleil et à la Lune :
et
R==(..-0(r._i).
Le tableau C donne les valeurs des ascensions droites et des déclinaisons du Soleil et de la Lune pour les instants des observations et celles des valeurs des termes
sio (A -♦- 2D — 2T) sin (A — 2D — 2T)
cos (A' -♦- 2D' — 2T) ®^ cos (A' — 2D' — 2T)
sin (A -♦- 2D — « — 2T) sin (A — 2D — a — 2T)
cos(A'^-2D'— a — 2T) ^^ cos(A'— 2D' — a— 2T)
et aussi celles de
sin (A -♦- 2D — 2T) sin (A — 2D — 2T)
cotu
coto
s R
cos (A — 2D — 2T) cos (A — 2D — 2T)
S R
et
sin (A ^ 2D — « — 2T) sin (A — 2D — a— .2T)
Ig^
ig$
S R
^cos(A-*-2D — « — 2T) cos(A — 2D -a-2T)
i s R
et les termes analogues relatifs à la Lune.
Le tableau D donne enfin la formation des coefficients de or et de ^ dans les équations de condition correspondantes aux observations.
N. B. — Nous avons donné en détail les calculs relatifs à la Polarissime ; pour les autres étoiles^ nous n'avons transcrit que les éléments qui servent de baseau calcul.
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
Équation* de e*nditioii.
|
A+1118.006 |
y — 598.513 |
X -+- 63=0. |
A+ 290.766 |
y —1311.921 |
X + 122=0. |
|
771.237 |
—1057.142 |
+ 86 |
255.774 |
— 774.876 |
-+- 423 |
|
439.287 |
—1134.771 |
+ 318 |
570.307 |
— 763.996 |
+ 456 |
|
348.028 |
—1060.645 |
-H 199 |
453.781 |
— 549.034 |
-»- 434 |
|
1298.262 |
-h 270.495 |
-+- 173 |
674.328 |
-+- 30.670 |
-4- 357 |
|
1374.067 |
-*- 52.431 |
H- 417 |
896.050 |
-t- 7.573 |
-+- 50 |
|
1202.247 |
— 515.499 |
-+- 346 |
1060.770 |
+ 203.956 |
-+- 823 |
|
700.85S |
—1935.064 |
•» 391 |
1358.928 |
+ 70.286 |
-»- 489 |
|
832.092 |
+ 167.490 |
- 49 |
842.000 |
-♦. 68.970 |
-*-1134 |
|
430.594 |
— 540.887 |
-t- 33 |
239.527 |
— 658.033 |
-*- 85 |
|
328.065 |
935.665 |
-4- 321 |
364.016 |
— 287.772 |
90 |
|
1272.918 |
'■*- 477.079 |
— 62 |
65.470 |
— 181.819 |
-t- 90 |
|
234.909 |
1591.973 |
■*- 362 |
617.774 |
420.511 |
-1- 402 |
|
1683.494 |
— 596.190 |
— 269 |
856.130 |
— 124.904 |
-♦- 470 |
|
480.363 |
— 0.182 |
+ 665 |
1093.660 |
— 452.930 |
+ 665 |
|
601.721 |
+ 384.753 |
+ 6 |
495.600 |
— 562.518 |
+ 575 |
|
821.161 |
-t- 417.250 |
-H 801 |
316.609 |
— 505.638 |
-4- 314 |
|
1027.975 |
H- 345.637 |
-f- 443 |
177.553 |
450.021 |
+1027 |
|
A+1312.707 |
•*- 162.174 |
■*- 449=0. |
Ah 358.781 |
+ 223.233 |
-H 578=0. |
Avec ces équations de condition on peut former les équations normales suivantes :
38 A + 27325.75 y — 14120.40 x -t- 13079 = 0
27.32575 A -^ 24336 y — 6375 x + 9015 = 0
— 14.12040 A — 6375 y + 19351 x — 3951 = 0.
qui donneront les valeurs suivantes :
A = - 31 ',9
log x «= ï.0497451„ log y =. 1 .2465724,
d*où Ton déduit :
K = - 0",209 et L = 73o 46' 50" W. de Kiew.
= 42» 32' W. de Greenwich.
Tome LL
2
10
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABLEAV A.
Valeurs de ObservtUion — Ckileul en Ascension droite.
|
No d'ordre. 1 |
1879. Mai Juin Juillet • • Août |
AIES. 91 . . |
|
|
9 3 |
6 . . 14 . . |
||
|
4 |
15 . . |
• |
|
|
5 |
17 . . |
||
|
0 |
18 . . |
||
|
7 8 |
90 . . 91 . . |
||
|
0 |
99 . . |
||
|
10 |
94 . . |
||
|
11 |
95 . . |
||
|
13 13 |
1 . . 9 . . |
||
|
14 |
4 . . |
||
|
15 |
7 . . |
||
|
10 17 |
11 . . 19 . . |
||
|
18 |
13 . . |
||
|
19 |
15 . . |
||
|
90 91 |
18 . . 19 . . |
||
|
92 |
90 . . |
||
|
93 94 |
91 . . 95 . . |
||
|
95 99 97 |
96 . . 97 . . 30 . . |
||
|
98 |
1 . . |
||
|
99 |
3 . . |
||
|
80 81 39 33 |
4 . . 6 . . 8 . . 9 . . |
||
|
34 |
19 . . |
||
|
85 |
10 . . |
||
|
36 |
17 , . |
||
|
37 88 |
18 . . 91 . . |
|
OBSERVATION |
- CALCUL. |
|
Coordonnée |
Coordonnée |
|
rectiligne. |
polaire. |
|
- o;i9 |
- 65" |
|
- 0,16 |
- 86 |
|
- 0,59 |
- 318 |
|
- 0,37 |
- 199 |
|
- 0,59 |
- 173 |
|
- 0,77 |
- 417 |
|
- 0,04 |
- 346 |
|
- 0,79 |
- 391 |
|
•1^ 0,09 |
* 49 |
|
- 0,06 |
- 33 |
|
- 0,S9 |
- 891 |
|
+ 0,09 |
•1- 69 |
|
- 0,66 |
- 369 |
|
+ 0,49 |
4- 969 |
|
- 1,21 |
- 665 |
|
- 0,01 |
6 |
|
- 1,45 |
- 801 |
|
- 0,80 |
- 445 |
|
- 0,81 |
- 449 |
|
- 0,92 |
- 199 |
|
- 0,76 |
- 493 |
|
- 0,89 |
- 456 |
|
- 0,78 |
- 434 |
|
- 0,04 |
- 357 |
|
- 0,09 |
- 50 |
|
- 1.47 |
- 893 |
|
- 0,87 |
- 480 |
|
- 1,98 |
- 1134 |
|
- 0,15 |
- 85 |
|
+ 0,16 |
+ 90 |
|
- 0,16 |
- 90 |
|
- 0,71 |
- 409 |
|
- 0,83 |
- 470 |
|
- 1,17 |
- 665 |
|
- 1,01 |
- 675 |
|
> 0,55 |
- 314 |
|
- 1,80 |
- 1027 |
|
- 1,01 |
. 578 |
DE L'EXISTENCE DE LA ^UTA^ION DIURNE. H
TABULAI! B.
d*ordre.
Valeurs de
R.= (r.^l)(r,-|)
DATES. di
1 1879. Mai 91 ^ 10;015
9 Juin 6 10,300
3 14 10,383
4 15 10,300
5 17 10,399
0 18 10,409
7 90 10,404
8 91 10,404
9 99 10,409
10 94 10,395
11 95 10,390
19 Juillet 1 10,340
13 9 10,399
14 4 10,504
15 7 10,969
16 11 10,197
17 19 10,179
18 13 10,161
19 15 10,191
90 18 10,058
91 19 10,030
99 90 10,013
93 91 9,989
94 95 9,890
95 96 9,864
96 97 9,839
97 30 9,769
98 Août 1 9,710
99 3 9,660
30 4 9,635
SI 5 9,610
89 8 9,538
33 9 9,515
34 19 9,445
35 16 9,357
36 17 9,335
37 18 9,314
38 91 ..... . 9,959
|
n |
îrfi |
2d| n |
|
0,00 |
0,00 |
|
|
977 |
^ 6i;i9 |
115 |
|
985 |
+ 31,98 |
058 |
|
987 |
+ 15,19 |
098 |
|
988 |
^ 13,06 |
094 |
|
988 |
+ 8,99 |
016 |
|
988 |
+ 6,86 |
013 |
|
988 |
+ 9,79 |
005 |
|
988 |
- 0,66 |
001 |
|
988 |
- l.« |
003 |
|
988 |
- 3,54 |
007 |
|
988 |
- 7,60 |
014 |
|
986 |
- 19,84 |
037 |
|
986 |
- 91,86 |
040 |
|
985 |
- 95,86 |
048 |
|
984 |
- 31,80 |
059 |
|
989 |
- 39,54 |
075 |
|
989 |
- 41,44 |
076 |
|
989 |
- 43,39 |
080 |
|
980 |
-47,06 |
087 |
|
979 |
-59,50 |
007 |
|
978 |
- 54,98 |
100 |
|
977 |
- 56,09 |
103 |
|
977 |
- 57,74 |
107 |
|
974 |
- 64,46 |
119 |
|
975 |
- 66,08 |
199 |
|
973 |
- 67,68 |
195 |
|
970 |
- 79,39 |
133 |
|
969 |
- 75,39 |
159 |
|
968 |
- 78,99 |
144 |
|
967 |
- 79,64 |
147 |
|
966 |
-.81,04 |
149 |
|
964 |
- 85,08 |
157 |
|
964 |
- 86,38 |
159 |
|
969 |
- 90,19 |
166 |
|
959 |
- 94,79 |
174 |
|
959 |
- 95,89 |
177 |
|
958 |
- 96,88 |
179 |
|
956 |
- 09,86 |
184 |
12
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABUBAV B {suite).
Valeurs de
S. = (s, - 1) («. - ^) R.=(r,-l)(r,-|)
|
No d'ordre. |
DATES. |
5,-i |
b |
log.S, |
r,-l |
log. Rj |
|
|
1 |
1879. Mai 31. |
-1,90610 |
- 0,99938 |
•f 0,3999130 |
-1,99836 |
- 1,00164 |
+ 0,3013767 |
|
2 |
JuJu 6. |
1,09657 |
0,99975 |
0,3001835 |
1,99773 |
1,00101 |
0,3009644 |
|
3 |
14. |
1,90685 |
1,00013 |
0,3005997 |
1,99741 |
1 ,00069 |
7689 |
|
4 |
15. |
1,99688 |
1,00016 |
0 3004432 |
1,99736 |
1,00064 |
7255 |
|
5 |
17. |
1,99696 |
1,00024 |
0,3004650 |
1,99728 |
1,00056 |
7038 |
|
6 |
18. |
1,99699 |
1,00027 |
0,3005984 |
1,99725 |
1,00053 |
6604 |
|
7 |
30. |
1 ,99707 |
1,00035 |
0,3005735 |
1,99717 |
1,00045 |
6387 |
|
8 |
31. |
1,99713 |
1,00041 |
0,3005735 |
1,99711 |
1,00039 |
5735 |
|
9 |
32. |
1,99715 |
1,00043 |
0,3005953 |
1,99709 |
1,00037 |
5755 |
|
10 |
34. |
1,90719 |
1,00047 |
0,3006387 |
1 ,99705 |
1,00033 |
5501 |
|
11 |
25. |
1,99726 |
1,00054 |
0,3006604 |
1,99697 |
1,00035 |
5084 |
|
19 |
Juillet 1 . |
1,99751 |
1,00079 |
0,3008341 |
1,99677 |
1,00005 |
3780 |
|
13 |
2. |
1,99754 |
1,00082 |
0,3008341 |
1,99674 |
1,00002 |
5546 |
|
M |
4. |
1,99765 |
1,00091 |
0,3008993 |
1,99667 |
0,99995 |
2911 |
|
15 |
7. |
1,99775 |
1,00102 |
0,5000861 |
1,99657 |
0,99985 |
2260 |
|
16 |
11. |
1,99791 |
1,00119 |
0,3010945 |
1,99645 |
0,99973 |
1520 |
|
17 |
13. |
1,99794 |
1,00122 |
0,3010945 |
1,99642 |
0,09970 |
0,3001175 |
|
18 |
13. |
1,99798 |
1,00126 |
0,3011597 |
1,99638 |
0,99966 |
0999 |
|
10 |
15. |
1,99807 |
1,00155 |
0,3013348 |
1,99633 |
0,99961 |
0564 |
|
30 |
18. |
1,99818 |
1,00140 |
0,3013900 |
1,99624 |
0,99952 |
0,2099956 |
|
31 |
10. |
1,99833 |
1,00150 |
0,3013900 |
1,99622 |
0,99950 |
9869 |
|
33 |
30. |
1,99836 |
1,00154 |
0,3015117 |
1,90620 |
0,99948 |
9782 |
|
33 |
31. |
1,99830 |
1,00158 |
0,3013550 |
1,00616 |
0,99944 |
9608 |
|
34 |
35. |
1,99845 |
1,00172 |
0,3014419 |
1,00607 |
0,99935 |
8999 |
|
35 |
36. |
1,99.S49 |
1,00177 |
0,3014852 |
1.00605 |
0,99935 |
8912 |
|
36 |
37. |
1,99853 |
r,00180 |
0,3014852 |
1,00602 |
0,99930 |
8564 |
|
37 |
30. |
1,99863 |
1,00191 |
0,3015303 |
1,00507 |
0,99925 |
8547 |
|
28 |
Août 1 . |
1,99870 |
1,00198 |
0,3016155 |
1,09592 |
0,99920 |
7912 |
|
39 |
3. |
1,99876 |
1,00204 |
0,3016370 |
1.99588 |
0,99916 |
7758 |
|
30 |
4. |
1 ,99880 |
1,00208 |
0,3016804 |
1,99586 |
0,99914 |
7651 |
|
31 |
.5. |
1,99883 |
1,00211 |
0,3016804 |
1,99585 |
0,99915 |
7608 |
|
83 |
8. |
1,99893 |
1,00221 |
0,3017455 |
1,99579 |
0,99907 |
7550 |
|
33 |
0. |
1,99895 |
1,00233 |
0,3017672 |
1,99577 |
0,99905 |
7042 |
|
84 |
12. |
1 ,99904 |
1,00333 |
0,3018105 |
1,99572 |
0,99900 |
6608 |
|
35 |
U. |
1,99915 |
1,00343 |
0,3018973 |
1 ,90567 |
0,99895 |
6301 |
|
30 |
17. |
1,99918 |
1,00346 |
0,3019406 |
1,99564 |
0,99893 |
6042 |
|
37 |
18. |
1,99931 |
1,00349 |
0,3019406 |
1,9(HS65 |
0,99891 |
5000 |
|
38 |
21. |
-1,99938 |
- 1 ,00î56 |
+ 0,3020057 |
-1,99560 |
- 0,99888 |
^ 0,2005868 |
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE. 13
TABUBAV B [suite).
R,«(r.-l)(r."-^)
Valeurs de
DATES. a\ -f d'ordre. ^
+ 0,0
1 1S79. Mai 91 9,211 5675
9 Juin 6 9,485 4180
3 14 1,906 8168
4 15 9,009 8339
5 17 9,909 8660
6 18 9,964 5768
7 90 9,958 8753
8 91 9,903 8069
9 99 9,189 8544
10 94 9,049 8394
11 95 9,048 8404
19 Juillet 1 9,700 4505
13 9 9,694 4478
14 4 ' 9,450 4079
15 7 1,938 8991
16 11 1,900 8158
17 19 1,976 8984
18 18 9,071 8449
19 15 9,947 8735
90 16 9,955 3748
91 10 9,190 3040
99 90 9,196 3534
93 91 9,078 8454
94 95 9,957 8751
95 96 9,589 8971
96 97 9,595 4194
97 80 9,564 4969
98 Août 1 9,966 8766
99 3 . 9,004 3331
30 4 9,193 8599
81 5 1,879 8111
39 8 1,949 8998
33 9 9,095 3366
34 19 9,961 8758
85 16 9,180 3695
56 17 9J55 5549
57 18 9,115 5519
58 91 9,960 5756
|
2d', |
n' |
|
0,0 |
|
|
+ 5,86 |
+ 0649 |
|
-15,99 |
- 1764 |
|
+ 91,98 |
+ 9558 |
|
+ 17,94 |
+ 1910 |
|
+ 7,40 |
+ 0890 |
|
+ 1,54 |
+ 0148 |
|
-11,56 |
- 1959 |
|
- 17,04 |
- 1888 |
|
- 99,04 |
- 9449 |
|
-98,60 |
- 3169 |
|
- 50,04 |
- 8399 |
|
+ 5,86 |
+ 0498 |
|
- 5,44 |
- 0389 |
|
-17,90 |
- 1983 |
|
- 97,58 |
- 8056 |
|
+ 29,10 |
+ 9449 |
|
+ 18,66 |
+ 9068 |
|
+ 14,50 |
+ 1607 |
|
+ 5,60 |
+ 0399 |
|
- 15,04 |
- 1667 |
|
-9038 |
- 9314 |
|
- 95,96 |
- 9799 |
|
- 98,36 |
- 3149 |
|
+ 96,30 |
+ 9914 |
|
+ 91,68 |
+ 9409 |
|
+ 15,14 |
+ 1678 |
|
+ 9,74 |
+ 1079 |
|
- 99,39 |
- 2473 |
|
- 97,88 |
- 3034 |
|
- 25,54 |
- 2830 |
|
+ 97,3i |
+ 3097 |
|
+ 90,50 |
+ 9279 |
|
+ 16,50 |
+ 1898 |
|
+ 0,16 |
+ 0018 |
|
- 93,78 |
- 9635 |
|
- 97,70 |
- 3069 |
|
-50,90 |
- 3346 |
|
+ 97,64 |
+ 3068 |
14
DÉMONSTRATION PRATIQUE
TABIiEAV B (suite).
Vtdeurs de
S,=(»,-l)(»,-|) R.=(r«-l)(r.-^)
|
NO d*ordr6« |
DATES. |
(*.-1) |
{'-{) |
log. S, |
(r, - 1) |
i'-i) |
log. Ri |
|
1 |
1879. Mai 91. |
-1,95676 |
- 0,96004 |
+ 0,9738357 |
- 1,96974 |
- 0,97509 |
+ 0,9895919 |
|
2 |
Join 6. |
1,97654 |
0,97969 |
0,9869105 |
1,94106 |
0,94454 |
0,9651765 |
|
3 |
14. |
1,94474 |
0,94809 |
0,9656701 |
1,99190 |
0,99518 |
0,9971691 |
|
4 |
15. |
1,94751 |
0,95079 |
0,9665691 |
1,99571 |
0,99899 |
0,9996564 |
|
5 |
17. |
1,95590 |
0,95848 |
0,9797743 |
1,97150 |
0,97478 |
0,9857054 |
|
0 |
18. |
1,96089 |
0,06417 |
0,9766090 |
4,96385 |
0,96715 |
0,9786045 |
|
7 |
90. |
1,97506 |
0,97854 |
0,9860789 |
1,94988 |
0,95516 |
0,9691781 |
|
8 |
91. |
1,98996 |
0,98554 |
0,9908437 |
1,94450 |
0,94778 |
0,9755154 |
|
9 |
99. |
1,98898 |
0,99996 |
0,9959603 |
1,94014 |
0,94349 |
0,9695999 |
|
10 |
94. |
1.99775 |
1,00103 |
0,3009496 |
1,93437 |
0,95765 |
0,9585871 |
|
11 |
95. |
1,99995 |
1,00958 |
0,3019594 |
1,93967 |
0,95595 |
0,9564170 |
|
13 |
Jaillel 1 . |
1,95069 |
0,95397 |
0,9697959 |
1,95995 |
0,96955 |
0,9755159 |
|
15 |
9. |
1,95904 |
0,96959 |
0,9753584 |
1,95140 |
0,95468 |
0,9709041 |
|
14 |
4. |
1,97911 |
0.98939 |
0,9887516 |
1,95945 |
0,94975 |
0,9620771 |
|
15 |
7. |
1,99835 |
1,00165 |
0,8013767 |
],937i3 |
0,94151 |
0,9609994 |
|
16 |
11. |
1,94393 |
0,94791 |
0,9651909 |
1,99991 |
0;90619 |
. 0,9978977 |
|
17 |
19. |
1,94648 |
0,94976 |
0,9668688 |
1,98784 |
0,99119 |
0,9944989 |
|
18 |
18. |
1,94951 |
0,95979 |
0,9689904 |
1,98165 |
0,98495 |
0,9904914 |
|
19 |
15. |
1,95866 |
0,96194 |
0,9751 159 |
1,96664 |
0,96999 |
0,9804510 |
|
SO |
18. |
1,97919 |
0,98947 |
0,9888090 |
1,94585 |
0,94915 |
0,9664469 |
|
91 |
19. |
1,98674 |
0,99009 |
0,9937763 |
1,94046 |
0,94574 |
0.9697060 |
|
99 |
90. |
1,99965 |
0,99595 |
0,9976707 |
1,93667 |
0,93995 |
0,9601679 |
|
93 |
91. |
1,99688 |
1,00016 |
0,3004439 |
1,93404 |
9,95759 |
0,9585444 |
|
94 |
95. |
1,93335 |
0,93663 |
0,9578898 |
1,99163 |
0,99491 |
0,9969859 |
|
95 |
96. |
1,93697 |
0,93955 |
0,9598995 |
1,98451 |
0,98759 |
0,9999140 |
|
96 |
97. |
1,94198 |
0,94456 |
0,9636995 |
1,97484 |
0,97819 |
0,9859159 |
|
97 |
80. |
1,94659 |
0,94987 |
0,9669409 |
1,96817 |
0,97145 |
0,9814897 |
|
98 |
Août 1 . |
1,98707 |
0,99035 |
0,9940084 |
1,95761 |
0,94089 |
0,9608050 |
|
99 |
3. |
1,99703 |
1,00031 |
0,8005084 |
1,95655 |
0,95965 |
0,9599590 |
|
80 |
4 |
1,99301 |
0,99699 |
0,9978931 |
1,95641 |
0,93969 |
0,9599797 |
|
81 |
5. |
1,93869 |
0,94190 |
0,9614930 |
1,99916 |
1,00344 |
0,5018756 |
|
89 |
8. |
1,94500 |
0,94898 |
0,9658569 |
1.99044 |
0,99379 |
0,9969044 |
|
83 |
9. |
1,94806 |
* 0,95134 |
0,9679470 |
1,98469 |
0,98790 |
0,9995860 |
|
84 |
19. |
1,96994 |
0,90559 |
0,9775046 |
1,96950 |
0,96578 |
0,9774665 |
|
85 |
16. |
1,99019 |
0,99340 |
0,9959991 |
1,95749 |
0,94070 |
0,9606704 |
|
86 |
17. |
1,99590 |
0,99848 |
0,9999958 |
1,95589 |
0,93710 |
0,9581075 |
|
87 |
18. |
1,99834 |
1,00169 |
0,8013550 |
1,95149 |
0,95470 |
0.9565444 |
|
38 |
91. |
-1,93181 |
-0,93509 |
0,9568156 |
-1,99507 |
0,99655 |
0,9979410 |
DE L'EXISTENCE DE LA NUTATION DIURNE.
IS
TABUBAV C.
|
1 sin (A |
-f- 2D — 2T) |
Sin (A ■ ®' /A' cos(A - |
- 2D — 2T) |
|||||
|
\ cos(A' |
+ 2D — 2T) |
- 2D' 2T) |
||||||
|
Valeurs |
de l |
\ |
||||||
|
1 sin (A |
-4-2D— a |
— 2T) |
sin (A - ^t /A f cos(A - |
2D a |
2T) |
|||
|
( cos(A' |
+ 20'-. a |
— 2T) |
-2D'— a- |
■2T) |
||||
|
N» |
DATES. |
Temps sid. |
Teaps Mjei |
L |
UNE |
SOLEIL |
||
|
d'ordre. |
de Kiew. |
4e fireeewicb. |
Asc. dr. moy. |
^ |
Asc. dr. moy. |
^ |
a |
|
|
1 |
1879. Mai 31. |
18»i93-55;7 |
13ii34->49;8 |
4»'36-56« |
485«38'18" |
3>*53-86:68 |
+15» 9* 8 4^4 |
894*38' 0" |
|
S |
Juin 6. |
18 40 48,3 |
11 88 46,4 |
19 21 16 |
-83 83 19 |
4 58 86,64 |
88 48 8,0 |
894 53 45 |
|
S |
14. |
16 17 30,1 |
8 44 84,4 |
1 37 6 |
+15 41 11 |
5 31 3.68 |
83 17 83,8 |
805 8 15 |
|
4 |
15. |
19 48 51,3 |
18 11 15,1 |
2 30 53 |
+30 6 44 |
5 35 48,77 |
33 30 36,8 |
895 3 50 |
|
5 |
17, |
19 51 54,8 |
18 6 36,3 |
4 11 56 |
+85 9 8 |
5 44 6,93 |
83 84 83,4 |
895 5 80 |
|
6 |
18. |
19 53 58,0 |
18 3 33,4 |
5 5 80 |
426 1 55 |
5 48 16,00 |
33 85 46,5 |
895 6 15 |
|
7 |
30. |
19 43 43,6 |
11 45 28,9 |
6 54 3 |
+34 0 57 |
5 56 58.18 |
33 87 16,8 |
895 7 15 |
|
8 |
31. |
19 flO 8,4 |
11 8 57,1 |
7 46 16 |
+81 13 45 |
6 0 35,47 |
83 87 16,8 |
395 7 80 |
|
.9 |
33. |
19 51 84,5 |
11 46 16,5 |
8 39 38 |
+17 11 85 |
6 4 51,63 |
83 87 7,6 |
895 7 45 |
|
10 |
34. |
19 56 34,0 |
11 43 33.3 |
10 10 17 |
+ 6 53 87 |
6 13 10,83 |
85 85 80,1 |
895 8 45 |
|
11 |
85. |
19 55 15,4 |
11 58 19.0 |
11 8 7 |
+ 1 1 14 |
6 i7 18,63 |
83 85 49,5 |
895 9 15 |
|
1S |
Juillet 1 . |
80 31 33,1 |
11 50 44,8 |
16 48 35 |
-35 54 45 |
6 43 18,90 |
83 6 6,8 |
895 13 0 |
|
15 |
5. |
16 30 58,3 |
7 53 3,0 |
17 48 38 |
-35 55 48 |
6 45 39,84 |
83 8 88,0 |
895 11 45 |
|
14 |
4. |
19 56 15,3 |
11 3 55.5 |
19 53 48 |
-30 43 38 |
6 54 37,50 |
38 51 58,5 |
895 11 0 |
|
15 |
7. |
19 54 35,9 |
10 50 28,7 |
38 87 38 |
- 5 53 0 |
7 6 45,09 |
88 54 11,5 |
895 10 15 |
|
16 |
. 11. |
19 55 44,3 |
10 35 53,2 |
1 36 54 |
+14 44 30 |
7 33 4,00 |
88 5 1,0 |
895 10 50 |
|
17 |
13. |
19 51 53,7 |
10 88 7,4 |
8 18 37 |
+18 48 85 |
7 87 6,97 |
81 56 48,3 |
895 10 15 |
|
18 |
13. |
19 53 57,2 |
10 85 14,7 |
S 1 8 |
+83 8 40 |
7 81 10,35 |
81 48 11,0 |
893 10 0 |
|
19 |
15. |
30 13 13,3 |
10 37 34,7 |
4 45 86 |
+35 53 8 |
7 39 18,77 |
81 89 43,1 |
895 9 15 |
|
so |
18. |
18 33 0,4 |
8 35 53,1 |
7 85 3 |
+33 30 16 |
7 51 4,33 |
81 0 14,3 |
395 6 30 |
|
?1 |
19. |
19 54 43,9 |
10 3 84,7 |
8 81 59 |
+18 40 14 |
7 55 19,88 |
80 48 46,6 |
895 5 15 |
|
SS |
30. |
19 61 45,4 |
9 56 31,7 |
0 13 10 |
+14 3 44 |
7 59 18,94 |
80 37 59,3 |
895 4 80 |
|
33 |
31. |
30 10 47,7 |
10 11 35,1 |
10 4 6 |
+ 8 36 59 |
8 3 81,27 |
80 86 0,9 |
895 3 15 |
|
94 |
35. |
19 9 19,5 |
8 54 33,2 |
13 84 83 |
-14 33 38 |
8 19 1,76 |
19 37 13,9 |
295 0 30 |
|
Î5 |
86. |
19 18 31,3 |
8 53 48,7 |
14 80 14 |
-19 33 83 |
8 83 58,43 |
19 84 3,8 |
294 59 45 |
|
M |
37. |
19 51 1,8 |
9 88 16,9 |
15 80 88 |
-83 11 33 |
8 87 0,34 |
19 10 14,9 |
294 58 45 |
|
27 |
30. |
30 48 33,8 |
10 13 4T,8 |
18 30 1 |
-34 54 45 |
8 38 53,61 |
18 87 85,1 |
294 54 0 |
|
58 |
Août 1 . |
31 30 15,7 |
10 46 35,2 |
20 37 43 |
-18 10 54 |
8 46 44,75 |
17 57 17,8 |
294 50 15 |
|
39 |
8. |
1987 33,6 |
8 37 11,3 |
38 5 16 |
- 8 28 38 |
8 54 8,80 |
17 87 45,4 |
294 47 30 |
|
SO |
4. |
30 35 34,1 |
9 31 10,3 |
88 53 58 |
- 8 44 14 |
8 58 8,35 |
17 11 14,5 |
294 46 0 |
|
31 |
5. |
19 7 35,8 |
8 9 32,2 |
83 36 46 |
+ 8 89 5 |
9 1 45,93 |
16 55 58,7 |
294 44 30 |
|
33 |
8. |
17 40 31,0 |
6 50 57,2 |
1 49 19 |
+16 50 6 |
9 18 59,05 |
16 7 1.4 |
294 40 50 |
|
33 |
0. |
18 50 0,1 |
7 36 18,4 |
8 39 4 |
+30 42 47 |
9 16 57,94 |
15 49 1,3 |
294 89 0 |
|
34 |
13. |
19 38 |