BERKEI

LIBR A

UNJVERSITY OF \CAUFORNJA

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6

MATH.- ST AT.

GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE

VON

Dr. DAVID HILBERT,

O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT GÖTTINGEN.

ZWEITE, DURCH ZUSÄTZE VERMEHRTE UND MIT FÜNF ANHÄNGEN VERSEHENE AUFLAGE.

MIT ZAHLREICHEN IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN.

LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. ö. TEUBNER.

1903.

MATH-STAT.

ALLE EECHTE, EINSCHLIESZLICH DBS ÜBEESETZUNGSEECHTS, VOBBEHALTEN.

TU,.

.T. L132ARY

Inhalt.

Grundlagen der Geometrie.

Aus der Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauß -Weber - Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899.

Seite

Einleitung 1

Kapitel I. Die fünf Axiomgruppen.

§ 1. Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen 2

§ 2. Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung 2

§ 3. Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung 4

§ 4. Folgerungen aus den Axiomen der Verknüpfung und der Anordnung . . 5

§ 5. Die Axiompruppe III: Axiome der Kongruenz 7

§ 6. Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz 10

§ 7. Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen (Euklidisches Axiom) ... 15

§ 8. Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit 16

Kapitel IL Die Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit

der Axiome.

§ 9. Die Widerspruchslosigkeit der Axiome 18

§ 10. Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische Geometrie) . 20

§ 11. Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome 20

§ 12. Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome V (Nicht - Archimedische

Geometrie) 22

Kapitel III. Die Lehre von den Proportionen.

§ 13. Komplexe Zahlensysteme 24

§ 14. Beweis des Pascalschen Satzes 26

§ 15. Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes 31

§ 16. Die Proportionen und die Ähnlichkeitssätze 35

§ 17. Die Gleichungen der Geraden und Ebenen 36

Kapitel IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene.

§ 18. Die Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit von Polygonen 39

§ 19. Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe .... 41

§ 20. Das Inhaltsmaß von Dreiecken und Polygonen 42

§ 21. Die Inhaltsgleichheit und das Inhaltsmaß 45

Kapitel V. Der Desarguessche Satz. § 22. Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene mit Hilfe

der Kongruenzaxiome 47

§ 23. Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene ohne

Hilfe der Kongruenzaxiome 49

M775838

IV Inhalt.

Seite

§ 24. Einführung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongruenzaxiome auf

Grund des Desarguesschen Satzes 53

§ 25. Das kommutative und assoziative Gesetz der Addition in der neuen

Streckenrechnung 55

§ 26. Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden distributiven

Gesetze in der neuen Streckenrechnung 56

§ 27. Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung ... 60 § 28. Der Inbegriff der Strecken aufgefaßt als komplexes Zahlensystem .... 63 § 29. Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hilfe eines Desarguesschen

Zahlensystems 64

§ 30. Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes 66

Kapitel VI. Der Pascalsche Satz.

§ 31. Zwei Sätze über die Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes 67

§ 32. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedischen Zahlen- system 68

§ 33. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht -Archimedischen

Zahlensystem 69

§ 34. Beweis der beiden Sätze über den Pascalschen Satz (Nicht -Pascalsche

Geometrie) 71

§ 35. Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Desarguesschen

und des Pascalschen Satzes 72

Kapitel VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I— IV. § 36. Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und Eichmaßes .... 73 § 37. Analytische Darstellung der Koordinaten konstruierbarer Punkte .... 76 § 38. Die Darstellung algebraischer Zahlen und ganzer rationaler Funktionen

als Summe von Quadraten 78

§ 39. Kriterium für die Ausführbarkeit geometrischer Konstruktionen mittels

Lineals und Eichmaßes 79

Schlußwort 82

Anhang I.

Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte, aus Math.

Ann. Bd. 46 83

Anhang II. Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck,

aus den Proceedings of the London Math. Society Vol. 35 88

Anhang III. Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefsky sehen Geometrie, aus Math. Ann.

Bd. 57 1903 107

Anhang IV. Über die Grundlagen der Geometrie, aus Math. Ann. Bd. 56 1902 121

Anhang V. Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung, aus den Transactions of the

Americain Math. Society Vol. 2 1901 162

Verzeichnis der Begriffsnamen.

Verzeichnis der Begriffsnamen.

Die den Begriffsnamen beigefügten Zahlen bezeichnen diejenigen Seiten des Buches, auf denen der

Begriff erklärt ist.

Axiom der Abgeschlossenheit des Systems der Bewegungen 125.

— Archimedisches 16, 92.

— der Gruppeneigenschaft des Systems der Bewegungen 124.

— der Dreiv ikskongruenz 9.

— der Dreieckskongruenz in engerer Fas- sung 91.

— der Nachbarschaft 92.

— Parallelen- 15, 92.

— sich schneidender und nicht schnei- dender Geraden 109.

— der unendlichen Anzahl der Drehungen 124.

— Vollständigkeits- 16.

Axiome der Anordnung 4, 83, 89, 108.

— der Kongruenz 7, 90, 108.

— der Stetigkeit 16, 84, 92.

— der Verknüpfung 2, 83, 89, 107.

Bewegung 124.

Desarguesscher Satz (Satz 33) 48. Drehung 124.

Ebene 2, 122, 123.

— Zahlen- 122. Eichmaß 74.

Elemente der linearen Geometrie 2.

— — ebenen Geometrie 2.

räumlichen Geometrie 2.

Ende einer Halbgeraden 110.

Figur 14.

Geometrie, Nicht-Archimedische 22.

— Nicht-Desarguessche 49.

— Nicht-Euklidische 20.

— Nicht-Pascalsche 71.

— Nicht-Pythagoräische 102* Gerade 2.

— wahre 158.

Halbdrehung 150.

Inhaltsgleichheit 39, 101. Inhaltsmaß des Dreiecks 43. Polygons 44.

Jordansche Kurve 122. Jordansches Gebiet 122.

Kongruenz von Strecken 7.

Winkeln 8.

■*- — Dreiecken 10.

Figuren 14.

Kreis 16.

— wahrer 124.

— Zahlen- 128.

Nebenwinkel 10.

Parallelenaxiom 15, 92. Pascalscher Satz (Satz 21) 27. Polygon 6.

— Zerfallen und Zusammensetzen 39. Punkt 2, 123.

Rechter Winkel 10.

Scheitelwinkel 10.

Seite eines Punktes auf einer Geraden 6.

— einer Geraden in einer Ebene 6.

— einer Ebene 7. Spiegelbild 110. Strecke 4.

Streckenprodukt 32. Streckenzug 6.

Winkel 8.

Zahlenebene 122. Zahlenkreis 128. Zahlensystem, komplexes 26.

— Archimedisches 26.

— Nicht-Archimedisches 26.

— Desarguessches 64. Zerlegungsgleichheit 39, 101. Zwischen 4.

So fängt denn alle menschliche Erkenntnis mit Anschauungen an, geht von da zu Begriffen und endigt mit Ideen.

Kant, Kritik der reinen Vernunft, Elementarlehre 2. T. 2. Abt.

Einleitung.

Die Geometrie bedarf — ebenso wie die Arithmetik — zu ihrem folgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze. Diese Grund- sätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung der Axiome der Geometrie und die Erforschung ihres Zusammenhanges ist eine Aufgabe, die seit Euklid in zahlreichen vortrefflichen Abhandlungen der mathe- matischen Literatur1) sich erörtert findet. Die bezeichnete Aufgabe läuft auf die logische Analyse unserer räumlichen Anschauung hinaus.

Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomen auf- zustellen und aus denselben die wichtigsten geometrischen Sätze in der Weise abzuleiten, daß dabei die Bedeutung der verschiedenen Axiom- gruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen möglichst klar zu Tage tritt.

1) Man vergleiche die zusammenfassenden und erläuternden Berichte von G. Veronese, „Grundzüge der Geometrie", deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894 (An- hang), und F. Klein, „Zur ersten Verteilung des Lobatschefsky-Vreisea", Math. Ann. Bd. 50.

Hilbert, Grundlagen der Geometrie.

Kapitel I. Die fünf Axiomgruppen.

§ 1.

Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen.

Erklärung. Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen: die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit A, B, Ct ...; die Dinge des zweiten Systems nennen wir Gerade und bezeichnen sie mit a,b,c,...; die Dinge des dritten Systems nennen wir Ebenen und bezeichnen sie mit a, ß, f, . . ; ; die Punkte heißen auch die Elemente der linearen Geometrie, die Punkte und Geraden heißen die Elemente der ebenen Geometrie und die Punkte, Geraden und Ebenen heißen die Elemente der räumlichen Geometrie oder des Raumes.

Wir denken die Punkte, Geraden, Ebenen in gewissen gegenseitigen Beziehungen und bezeichnen diese Beziehungen durch Worte wie „liegen", „zwischen", „parallel", „kongruent", „stetig"; die genaue und voll- ständige Beschreibung dieser Beziehungen erfolgt durch die Axiome der Geometrie.

Die Axiome der Geometrie gliedern sich in fünf Gruppen; jede ein- zelne dieser Gruppen drückt gewisse zusammengehörige Grundtatsachen unserer Anschauung aus. Wir benennen diese Gruppen von Axiomen in folgender Weise:

I 1 — 8. Axiome der Verknüpfung, II 1 — 4. Axiome der Anordnung,

EU 1 — 6. Axiome der Kongruenz,

IV. Axiom der Parallelen,

V 1 — 2. Axiome der Stetigheit.

§ 2. Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung.

Die Axiome dieser Gruppe stellen zwischen den oben erklärten Be- griffen Punkte, Geraden und Ebenen eine Verknüpfung her und lauten wie folgt:

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 2. 3

I 1. Zwei von einander verschiedene Punkte A, B bestimmen stets eine Gerade a.

Statt „bestimmen" werden wir auch andere Wendungen gebrauchen, z. B. a „geht durch" A „und durch" B, a „verbindet" A „und" oder „mit" B. Wenn A ein Punkt ist, der mit einem anderen Punkte zusammen die Gerade a bestimmt, so gebrauchen wir auch die Wen- dungen: A „liegt auf" a, A „ist ein Punkt von" a, „es gibt den Punkt" A „auf" a u. s. w. Wenn A auf der Geraden a und außerdem auf einer anderen Geraden b liegt, so gebrauchen wir auch die Wendung: „die Geraden" a „und" b „haben den Punkt A gemein" u. s. w.

I 2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden be- stimmen diese Gerade.

I 3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.

I 4. Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte A, B, C bestimmen stets eine Ebene cc.

Wir gebrauchen auch die Wendungen: A, B, C „liegen in" cc; A, B, C „sind Punkte von" cc u. s. w.

I 5. Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen die Ebene cc.

I 6. Wenn zwei Punkte A, B einer Geraden a in einer Ebene cc liegen, so liegt jeder Punkt von a in der Ebene cc.

In diesem Falle sagen wir: die Gerade a liegt in der Ebene cc u. s. w.

I 7. Wenn zwei Ebenen cc, ß einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein.

18. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

Die Axiome I 1 — 3 mögen die ebenen Axiome der Gruppe I heißen zum Unterschied von den Axiomen I 4 — 8, die ich als die räumlichen Axiome der Gruppe I bezeichne.

Von den Sätzen, die aus den Axiomen I 1 — 8 folgen, erwähne ich nur diese beiden:

Satz 1. Zwei Geraden einer Ebene haben einen oder keinen Punkt gemein; zwei Ebenen haben keinen Punkt oder eine Gerade gemein; eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben keinen oder einen Punkt gemein.

Satz 2. Durch eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt, sowie auch durch zwei verschiedene Geraden mit einem gemeinsamen Punkt gibt es stets eine und nur eine Ebene.

1*

4 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 3.

§ 3. Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung1).

Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff „zwischen" und er- möglichen auf Grund dieses Begriffes die Anordnung der Punkte auf einer Geraden, in einer Ebene und im Räume.

Erklärung. Die Punkte einer Geraden stehen in gewissen Be- ziehungen zueinander, zu deren Beschreibung uns insbesondere das Wort ^wischen" dient.

II 1. Wenn A, B, C Funkte

A 7? C

-f: ~ einer Geraden sind, und B zwi-

schen A und C liegt, so liegt B

auch zwischen C und A.

II 2. Wenn A und C zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es

stets wenigstens einen Punkt

■A JB C D B, der zwischen A und C 1 i 1 1

liegt, und ivenigstens einen Punkt D, so daß C zwischen A und T> liegt.

II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen, der zwischen den beiden andern liegt.

Erklärung. Wir betrachten auf einer Geraden a zwei Punkte A und 2?; wir nennen das System der beiden Punkte A und B eine Strecke und bezeichnen dieselbe mit AB oder mit BA. Die Punkte zwischen A und B heißen Punkte der Strecke AB oder auch innerhalb der Strecke AB gelegen; die Punkte A, B heißen Endpunkte der Strecke AB. Alle übrigen Punkte der Geraden a heißen außerhalb der Strecke AB gelegen. II 4. Es seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte

und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen der Punkte A, B, C trifft: wenn dann die Gerade a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.

Die Axiome II 1 — 3 enthalten nur Aus- sagen über die Punkte auf einer Geraden und mögen daher die linearen Axiome der

1) Diese Axiome hat zuerst M. Pasch in seinen Vorlesungen über neuere Geo- metrie, Leipzig 1882, ausführlich untersucht. Insbesondere rührt das Axiom II 4 in- haltlich von M. Pasch her.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 3, 4. 5

Gruppe II heißen; das Axiom II 4 enthält eine Aussage über die Elemente der ebenen Geometrie und heiße daher das ebene Axiom der Gruppe II.

§4. Folgerungen ans den Axiomen der Verknüpfung und der Anordnung.

Aus den Axiomen I und II folgen die nachstehenden Sätze:

Satz 3. Zwischen irgend zwei Punkten einer Geraden gibt es stets unbegrenzt viele Punkte.

Satz 4. Sind irgend vier Punkte einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C, D bezeichnen, daß der mit B bezeichnete Punkt zwischen A und C und auch zwischen A und D und ferner der mit C bezeichnete Punkt zwischen A und _D und auch zwischen B und D liegt1).

Satz 5 (Verallgemeinerung von Satz 4). Sind irgend eine endliche Anzahl von Punkten einer Geraden gegeben, so lassen sich dieselben stets in der Weise mit A, B, C, B, E, . . . , K bezeichnen, daß der mit B be- zeichnete Punkt zwischen A einerseits und C, B, E, . . . , K andererseits,

A B C D E K

*■ »- — . — h — i 1 1 > —

ferner C zwischen A, B einerseits und D, E, . . . , K andererseits, sodann B zwischen A, B, C einerseits und E, . . . , K andererseits u. s. w. liegt. Außer dieser Bezeichnungsweise gibt es nur noch die umgekehrte Be- zeichnungsweise K, . . . , E, B, C, B, A, die von der nämlichen Beschaffen- heit ist.

Satz 6. Jede Gerade a, welche in einer Ebene a liegt, trennt die nicht auf ihr liegenden Punkte dieser Ebene a in zwei Gebiete, von folgender Be- schaffenheit: ein jeder Punkt A des einen Gebietes bestimmt mit jedem Punkt B des an- deren Gebietes eine Strecke

AB, innerhalb derer ein „^ **L

Punkt der Geraden a liegt; dagegen bestimmen irgend zwei Punkte A und A' ein und desselben Gebietes eine Strecke AA', welche keinen Punkt von a enthält2).

1) Dieser in der ersten Auflage als Axiom bezeichnete Satz ist von E. H. Moore, Transactions of the American Mathematical Society 1902, als eine Folge der auf- gestellten ebenen Axiome der Verknüpfung und der Anordnung erkannt worden.

2) Vgl. den Beweis bei M. Pasch 1. c. S. 25.

B

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 4.

Erklärung. Es seien A, A', 0, B vier Punkte einer Geraden a, so daß 0 zwischen A und B, aber nicht zwischen A und A' liegt; dann sagen wir: die Punkte A, A' liegen in der Geraden a auf ein und der- selben Seite vom Punkte 0>

-4 A O Jß und die Punkte A, B liegen

4 1 — , 1 &

in der Geraden a auf ver- schiedenen Seiten vom Punkte 0. Die sämtlichen auf ein und derselben Seite von 0 gelegenen Punkte der Geraden a heißen auch ein von 0 ausgehender HaTbstrahl; somit teilt jeder Punkt einer Geraden diese in zwei Halbstrahlen.

Erklärung. Indem wir die Bezeichnungen des Satzes 6 benutzen, sagen wir: die Punkte A, A' liegen in der Ebene a auf ein und derselben Seite von der Geraden a und die Punkte A, B liegen in der Ebene a auf verschiedenen Seiten von der Geraden a.

Erklärung. Ein System von Strecken AB, BC, CD, . .., KL heißt ein Streckenzug, der die Punkte A und L miteinander verbindet; dieser Streckenzug wird auch kurz mit AB CD . . . KL bezeichnet. Die Punkte innerhalb der Strecken AB,BC,CD,. . ,KL, sowie die Punkte A,B,C,D, . . ., K, L heißen insgesamt die Punkte des Streckenzuges. Fällt insbeson- dere der Punkt L mit dem Punkt A zusammen, so wird der Streckenzug ein Polygon genannt und als Polygon ABCD . . . K bezeichnet. Die Strecken AB, BC, CD, . . . , KA heißen auch die Seiten des Polygons. Die Punkte A, B, C, D, . . . , K heißen die Ecken des Polygons. Polygone mit 3, 4, . . . , n Ecken heißen bez. Dreiecke, Vierecke, . . ., n-Ecke.

Erklärung. Wenn die Ecken eines Polygons sämtlich voneinander verschieden sind und keine Ecke des Polygons in eine Seite fällt und endlich irgend zwei Seiten eines Polygons keinen Punkt miteinander gemein haben, so heißt das Polygon einfach.

Mit Zuhilfenahme des Satzes 6 gelangen wir jetzt ohne erhebliche Schwierigkeit zu folgenden Sätzen:

Satz 7. Ein jedes einfache Po- lygon, dessen Ecken sämtlich in einer Ebene a liegen, trennt die Punkte dieser Ebene a, die nicht dem Strecken- zuge des Polygons angehören, in zwei Gebiete, ein Inneres und ein Äußeres, von folgender Beschaffenheit: ist A ein Punkt des Inneren (innerer Punkt) und B ein Punkt des Äuße- ren (äußerer Punkt), so hat jeder Streckenzug, der A mit B verbindet,

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 4, 5. 7

mindestens einen Punkt mit dem Polygon gemein; sind dagegen A, A' zwei Punkte des Inneren und B, B' zwei Punkte des Äußeren, so gibt es stets Streckenzüge, die A mit Ä und B mit B' verbinden und keinen Punkt mit dem Polygon gemein haben. Es gibt Gerade in cc, die ganz im Äußeren des Polygons verlaufen, dagegen keine solche Gerade, die ganz im Inneren des Polygons verläuft.

Satz 8. Jede Ebene a trennt die übrigen Punkte des Raumes in zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: jeder Punkt A des einen Ge- bietes bestimmt mit jedem Punkt B des andern Gebietes eine Strecke AB, innerhalb derer ein Punkt von a liegt; dagegen bestimmen irgend zwei Punkte von A und A eines und desselben Gebietes stets eine Strecke A Ä, die keinen Punkt von a enthält.

Erklärung, Indem wir die Bezeichnungen dieses Satzes 8 benutzen, sagen wir: die Punkte A, Ä liegen im Räume auf ein und derselben Seite von der Ebene a und die Punkte A, B liegen im Räume auf verschiedenen Seiten von der Ebene a.

Der Satz 8 bringt die wichtigsten Tatsachen betreffs der Anordnung der Elemente im Räume zum Ausdruck; diese Tatsachen sind daher lediglich Folgerungen aus den bisher behandelten Axiomen und es be- durfte in der Gruppe II keines neuen räumlichen Axioms.

§ 5- Die Axiomgruppe III: Axiome der Kongruenz.

Die Axiome dieser Gruppe definieren den Begriff der Kongruenz und damit auch den der Bewegung.

Erklärung. Die Strecken stehen in gewissen Beziehungen zu- einander, zu deren Beschreibung uns die Worte „kongruent" oder „gleich" dienen.

III. 1. Wenn A, B zwei Tunkte auf einer Geraden a und ferner Ä ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden a ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der Geraden a von Ä stets einen und nur eitlen Punkt B' finden, so daß die Strecke AB der Strecke AB' kongruent oder gleich ist, in Zeichen:

AB = ÄB.

Jede Strecke ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets:

AB = AB und AB = BA.

Wir sagen auch kürzer: eine jede Strecke kann auf einer gegebenen Seite einer gegebenen Geraden von einem gegebenen Punkte in eindeutig bestimmter Weise abgetragen werden.

8 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

III. 2. Wenn eine Strecke AB soivohl der Strecke A'B' als auch der Strecke A"B" kongruent ist, so ist auch A'B' der Strecke A"B" kon- gruent, d. h. wenn

AB = A'B und AB = A"B", so ist auch

A'B' = A"B".

III. 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf der Geraden a und ferner A'B' und B'C zwei Strecken auf der-

A. B C cu

— . — f — i ■ » —

A' B' C a'

1 1 1 1

selben oder einer anderen Geraden a ebenfalls ohne gemeinsame Punkte; wenn dann ,

AB = A'B und BC=B'C ist, so ist auch stets

AC=A'C.

Erklärung. Es sei cc eine beliebige Ebene und h, k seien irgend zwei verschiedene von einem Punkte 0 ausgehende Halbstrahlen in a, die verschiedenen Geraden angehören. Das System dieser beiden Halb- strahlen h, k nennen wir einen Winkel und bezeichnen denselben mit <^ (]i, k) oder mit <^ (k, h). Aus den Axiomen II 1 — 4 kann leicht ge- schlossen werden, daß die Halbstrahlen h und k, zusammengenommen mit dem Punkte 0 die übrigen Punkte der Ebene a in zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit teilen: Ist A ein Punkt des einen und B ein Punkt des anderen Gebietes, so geht jeder Streckenzug, der A mit B verbindet, entweder durch 0 oder hat mit h oder k wenigstens einen Punkt gemein; sind dagegen A, AI Punkte desselben Gebietes, so gibt es stets einen Streckenzug, der A mit Ä verbindet und weder durch 0, noch durch einen Punkt der Halbstrahlen h, k hindurchläuft. Eines dieser beiden Gebiete ist vor dem anderen ausgezeichnet, indem jede Strecke, die irgend zwei Punkte dieses ausgezeichneten Gebietes ver- bindet, stets ganz in demselben liegt; dieses ausgezeichnete Gebiet heiße das Innere des Winkels (h, k) zum Unterschiede von dem anderen Ge- biete, welches das Äußere des Winkels (h, k) genannt werden möge. Die Halbstrahlen h, k heißen Schenkel des Winkels und der Punkt 0 heißt der Scheitel des Winkels.

Erklärung. Die Winkel stehen in gewissen Beziehungen zueinander, zu deren Bezeichnung uns ebenfalls die Worte „kongruentf1 oder „gleich11 dienen.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 5. 9

III. 4. Es sei ein Winkel «$C (h, &) w* ***«" -E&ewß « und eine Gerade a in einer Ebene a, sowie eine bestimmte Seite von a auf a ge- geben. Es bedeute h' einen Halbstrahl der Geraden a, der vom Punkte 0' ausgeht: dann gibt es in der Ebene a einen und nur einen Halb- strahl k', so daß der Winkel (h, k) kongruent oder gleich dem Winkel (Ji, kf) ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels (Ji, k') auf der gegebenen Seite von a liegen, in Zeichen:

^{h}k)^^{h',kr).

Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets

-£(Ä, *)==«£(*,*) und ^(h,k) = ^C(k,h).

Wir sagen auch kurz: ein jeder Winkel kann in einer gegebenen Ebene nach einer gegebenen Seite an einen gegebenen Halbstrahl auf eine eindeutig bestimmte Weise abgetragen werden.

III. 5. Wenn ein Winkel (h, k) sowohl dem Winkel (Ji, V) als auch dem Winkel (h", k") kongruent ist, so ist auch der Winkel (Ji, k') dem Winkel (h", k") kongruent, d. h. wenn

^(h,k) = ^(h',k') und ^Qi,k) = ^(h",k")

ist, so ist auch stets

^:{hf,k')^^{h",k").

Erklärung. Es sei ein Dreieck ABC vorgelegt; wir bezeichnen die beiden von A ausgehenden durch B und C laufenden Halbstrahlen mit h und k. Der Winkel (h, k) heißt dann der von den Seiten AB und AC eingeschlossene oder der der Seite BC gegenüberliegende Winkel des Dreieckes ABC] er enthält in seinem Inneren sämtliche innere Punkte des Dreieckes ABC und wird mit ^BAC oder <£ A bezeichnet.

III. 6. Wenn für zwei Breiecke ABC und ÄHC die Kongruenzen AB = ÄB, AC = A'C, ^BAC = ^B'A'C gelten, so sind auch stets die Kongruenzen

^ABC = ^A'BC und ^ACB = ^ÄC'B'

erfüllt.

Die Axiome III 1 — 3 enthalten nur Aussagen über die Kongruenz von Strecken; sie mögen daher die linearen Axiome der Gruppe III heißen. Die Axiome III 4, 5 enthalten Aussagen über die Kongruenz von Winkeln. Das Axiom III 6 knüpft das Band zwischen den Begriffen der Kongruenz von Strecken und von Winkeln. Die Axiome III 4—6 enthalten Aus- sagen über die Elemente der ebenen Geometrie und mögen daher die ebenen Axiome der Gruppe HI heißen.

10 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

§ 6. Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz.

Erklärung. Es sei die Strecke AB kongruent der Strecke A'B '. Da nach Axiom III 1 auch die Strecke AB kongruent AB ist, so ist nach Axiom III 2 auch AB' kongruent AB; wir sagen: die beiden Strecken AB und A'B sind untereinander kongruent.

Erklärung. Sind A, B, C, D} . . . , K, L auf a und Ä, B', G, D', . . . , IC, L' auf a zwei Reihen von Punkten, so daß die sämtlichen entsprechenden Strecken AB und AB', AG und A'C, BC und B'C',..., KL und K' L' bez. einander kongruent sind, so heißen die beiden Reihen von Punkten untereinander kongruent; A und Ä, B und B, . . . , L und L' heißen die entsprechenden Punkte der kongruenten Punktreihen.

Aus den linearen Axiomen III 1 — 3 schließen wir leicht fol- gende Sätze:

Satz 9. Ist von zwei kongruenten Punktreihen A, B, . . . , K, L und Af, B, . . . , K', L' die erste so geordnet, daß B zwischen A einerseits und C, D, . . . , K, L andererseits, C zwischen A, B einerseits und I), . . . , K, L andererseits, u. s. w. liegt, so sind die Punkte A', B , . . . . , K', L' auf die gleiche Weise geordnet, d. h. B' liegt zwischen A' einerseits und C, D'} . . . , K', L' andererseits, G zwischen A , B' einerseits und U, . . . , IT, 1! andererseits u. s. w.

Erklärung. Es sei Winkel Qi, k) kongruent dem Winkel (Ji, k'). Da nach Axiom III 4 der Winkel Qi, k) kongruent ^£i(h,k) ist, so folgt aus Axiom III 5, daß -^ (Ji, k') kongruent <£ (h, k) ist; wir sagen: die beiden Winkel (h, k) und (Ji, 1c) sind untereinander kongruent.

Erklärung. Zwei Winkel, die den Scheitel und einen Schenkel gemein haben und deren nicht gemeinsame Schenkel eine gerade Linie bilden, heißen Nebenwinkel. Zwei Winkel mit gemeinsamem Scheitel, deren Schenkel je eine Gerade bilden, heißen Scheitelwinkel. Ein Winkel, welcher einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, heißt ein rechter Winkel.

Zwei Dreiecke ABC und A'B'G heißen einander kongruent, wenn sämtliche Kongruenzen

AB = ÄB, ac-äg, bc=bc, ^:a = ^:ä, <£# = <£#, «£c = ^c

erfüllt sind.

Satz 10 (Erster Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn für zwei Dreiecke ABC und A'B G die Kongruenzen

AB=AB, AC~A'G, <£A = <$:A' gelten, so sind die beiden Dreiecke einander kongruent.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6. 11

Beweis. Nach Axiom III 6 sind die Kongruenzen

$:B = $:B' und ^c = ^.c

erfüllt und es bedarf somit nur des Nachweises , daß die Seiten BC und B'C einander kongruent sind. Nehmen wir nun im Gegenteil an, es wäre etwa BC nicht kongruent B'C, und bestimmen auf B'C den

c c

Punkt IX, so daß BC = B'D' wird, so stimmen die beiden Dreiecke ABC und A'B'D' in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein; nach Axiom III 6 sind mithin insbesondere die beiden Winkel ^BAC und <£ B'A'D' einander kongruent. Nach Axiom III 5 müßten mithin auch die beiden Winkel ^fiB'A'C und ^ZB'A'D' einander kon- gruent ausfallen; dies ist nicht möglich, da nach Axiom III 4 ein jeder Winkel an einen gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise abgetragen werden kann. Damit ist der Beweis für Satz 10 vollständig erbracht.

Ebenso leicht beweisen wir die weitere Tatsache:

Satz 11 (Zweiter Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn in zwei Dreiecken je eine Seite und die beiden anliegenden Winkel kongruent ausfallen, so sind die Dreiecke stets kongruent.

Wir sind nunmehr im stände, die folgenden wichtigen Tatsachen zu beweisen:

Satz 12. Wenn zwei Winkel ^C ABC und ^A'B'C einander kongruent sind, so sind auch ihre Nebenwinkel <£; CBD und ^C CB D einander kongruent.

c

B

D

A'

B'

B'

Beweis. Wir wählen die Punkte A, C, D' auf den durch B' gehenden Schenkel derart, daß

ÄB' = AB, C'B' = CB, D'B' = DB wird. In den beiden Dreiecken ABC und A'B'C sind dann die

a.

Im*J ''l'^xl^. II ^" t-W^* <\A^-4XA*A-^ L^Xf £ )X*~uJlX Zu>- f- <~ <Xa.<*,L. (Li*.

12

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

Seiten AB und CB bez. den Seiten AB' und C'B' kongruent und, da überdies die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel nach Voraus- setzung kongruent sein sollen, so folgt nach Satz 10 die Kongruenz jener Dreiecke, d. h. es gelten die Kongruenzen

AC=A'C und $:BÄC und ^B'A'C.

Da andererseits nach Axiom III 3 die Strecken AB und AB' einander kongruent sind, so folgt wiederum aus Satz 10 die Kongruenz der Drei- ecke CAB und C AB', d. h. es gelten die Kongruenzen

CB-C'B' und ^ABC=3zÄB'C

und hieraus folgt mittels Betrachtung der Dreiecke BGB und B'C'B' nach Axiom III 6 die Kongruenz der Winkel <^ CBB und ^ G'B'B'.

Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 12 ist der Satz von der Kon- gruenz der Scheitelwinkel.

Satz 13. Es sei der Wickel (h, jfc) in der Ebene cc dem Winkel (Ji, Je) in der Ebene cc kongruent und ferner sei l ein Halbstrahl der Ebene cc, der vom Scheitel des Winkels (Ji, Je) ausgeht und im Inneren dieses Winkels verläuft: dann gibt es stets einen Halbstrahl V in der Ebene cc', der vom

Scheitel des Winkels (Ji, Je) ausgeht^und im Inneren dieses Winkels (Ji, Je) verläuft, so daß

wird.

Beweis. Wir bezeichnen die Scheitel der Winkel (h, Je) und Qi, Je) bez. mit 0, 0' und bestimmen dann auf den Schenkeln h,k,Ji',Je die Punkte A, B, Ä, B' derart, daß die Kongruenzen

OA=0'Ä und OB~0'B'

erfüllt sind. Wegen der Kongruenz der Dreiecke OAB und O'A'B' wird

AB = A'B', <£ 0 AB = £ O'A'B', «£ OBA = <£ O'B'Ä.

Die Gerade AB schneide l in (7; bestimmen wir dann auf der Strecke AB' den Punkt C, so daß A'C' = AC wird, so ist O'C der gesuchte Halbstrahl V. In der Tat, aus AC=A'C und AB= AB' kann mittels

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

13

Axiom III 3 leicht die Kongruenz BC = B'C geschlossen werden; nun- mehr erweisen sich die Dreiecke OAC und O'A'C, sowie ferner die Dreiecke OBC und O'B'C untereinander kongruent; hieraus ergeben sich die Behauptungen des Satzes 13.

Auf ähnliche Art gelangen wir zu folgender Tatsache: Satz 14. Es seien einerseits h,k,l und andererseits h',k',V je drei von einem Punkte ausgehende und je in einer Ebene gelegene Halb- strahlen: wenn dann die Kongruenzen

£(A,0==3:(Ä',r) und £(*, 0=^(^0

erfüllt sind, so ist stets auch

^(h,k)^^(h',k').

Auf Grund der Sätze 12 und 13 gelingt der Nachweis des folgenden einfachen Satzes, den Euklid — meiner Meinung nach mit Unrecht — unter die Axiome gestellt hat:

Satz 15. Alle rechten Winkel sind einander kongruent.

Beweis. Der Winkel BAD sei seinem Nebenwinkel CAD kongruent und desgleichen sei der Winkel B'A'D' seinem Nebenwinkel C'A'D' kon- gruent; es sind dann <£ BAD, <£ CAD, <£ B'A'D', <£ C'A'D' sämtlich rechte Winkel. Wir nehmen im Gegensatz zu unserer Behauptung an, es wäre der rechte Winkel B'A'D' nicht kongruent dem rechten

B" $ D

i

B

B'

\U

C B'

Ä

C

Winkel BAD, und tragen dann <£; B'A'D' an)[den Halbstrahl AB an, so daß der entstehende Schenkel AD" entweder in das Innere des Winkels BAD oder des Winkels CAD fällt; es treffe etwa die erstere Möglichkeit zu. Wegen der Kongruenz der Winkel B'A'D' und BAD" folgt nach Satz 12, daß auch der Winkel C'A'D' dem Winkel CAD" kongruent ist, und da die Winkel B'A'D' und C'A'D' einander kon- gruent sein sollen, so lehrt Axiom IV 5, daß auch der Winkel BAD'' dem Winkel CAD" kongruent sein muß. Da ferner <C BAD kongruent 4£ CAD ist, so können wir nach Satz 13 innerhalb des Winkels CAD einen von A ausgehenden Halbstrahl AD'" finden, so daß <£ BAD" kon-

14 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 6.

gruent ^C CAD'" und zugleich <^C DAD" kongruent <£ BAD'" wird. Nun war aber <C BAD" kongruent <£ CAD" und somit müßte nach Axiom III 5 auch <^ CAD" kongruent CAD" sein; das ist nicht möglich, weil nach Axiom III 4 ein jeder Winkel an einen gegebenen Halbstrahl nach einer gegebenen Seite in einer Ebene nur auf eine Weise abgetragen werden kann; hiermit ist der Beweis für Satz 15 erbracht.

Wir können jetzt die Bezeichnungen „spitzer Winkel" und „stumpfer Winkel" in bekannter Weise einführen.

Der Satz von der Kongruenz der Basiswinkel <^C A und <^ B im gleichschenkligen Dreieck ABC folgt unmittelbar durch Anwendung des Axioms III 6 auf Dreieck ABC und Dreieck BAC. Mit Hilfe dieses Satzes und unter Hinzuziehung des Satzes 14 beweisen wir dann leicht in bekannter Weise die folgende Tatsache:

Satz 16 (Dritter Kongruenzsatz für Dreiecke). Wenn in zwei Dreiecken die drei Seiten entsprechend kongruent ausfallen, so sind die Dreiecke kongruent.

Erklärung. Irgend eine endliche Anzahl von Punkten heißt eine Figur; liegen alle Punkte der Figur in einer Ebene, so heißt sie eine ebene Figur.

Zwei Figuren heißen kongruent, wenn ihre Punkte sich paarweise einander so zuordnen lassen, daß die auf diese Weise einander zugeord- neten Strecken und Winkel sämtlich einander kongruent sind.

Kongruente Figuren haben, wie man aus den Sätzen 12 und 9 er- kennt, folgende Eigenschaften: Drei Punkte einer Geraden liegen auch in jeder kongruenten Figur auf einer Geraden. Die Anordnung der Punkte in entsprechenden Ebenen in Bezug auf entsprechende Gerade ist in kon- gruenten Figuren die nämliche; das gleiche gilt von der Reihenfolge ent- sprechender Punkte in entsprechenden Geraden.

Der allgemeinste Kongruenzsatz für die Ebene und für den Raum drückt sich wie folgt aus:

Satz 17. Wenn (A, B,C,.. .) und (Ä, B', C , . . .) kongruente ebene Figuren sind und P einen Punkt in der Ebene der ersten bedeutet, so läßt sich in der Ebene der zweiten Figur stets ein Punkt P' finden derart, daß (A, B, C, . . . , P) und (Ä, B', C", . . . , P') wieder kongruente Figuren sind. Enthält die Figur (A, B, C, . . .) wenigstens drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte, so ist die Konstruktion von P' nur auf eine Weise möglich.

Satz 18. Wenn (A, B, C, . . .) und (A', B', C, . . .) kongruente Figuren sind und P einen beliebigen Punkt bedeutet, so läßt sich stets ein Punkt P' finden, so daß die Figuren (A, B, C, . . . , P) und

?

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 7. 15

(A'f B', C, . . . , P') kongruent sind. Enthält die Figur (A,B,C,.. .) mindestens vier nicht in einer Ebene liegende Punkte, so ist die Kon- struktion von P' nur auf eine Weise möglich.

Der Satz 18 spricht das wichtige Resultat aus, daß die sämtlichen räumlichen Tatsachen der Kongruenz und mithin der Bewegung im Räume — unter Hinzuziehung der Axiomgruppen I und II — Folge- rungen aus den sechs oben aufgestellten linearen und ebenen Axiomen der Kongruenz sind.

§ 7. Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen.

Aus den bisherigen Axiomen folgt in bekannter Weise der Euklidische Satz, daß der Außenwinkel eines Dreieckes stets größer ist, als jeder der beiden inneren Winkel.

Es sei nun a eine beliebige Ebene, a eine beliebige Gerade in a und A ein Punkt in a und außerhalb a. Ziehen wir dann in a eine Gerade c, die durch A geht und a schneidet, und sodann in a eine Gerade b durch A, so daß die Gerade c die Geraden a, b unter gleichen Gegenwinkeln schneidet, so folgt leicht aus dem erwähnten Satze vom Außenwinkel, daß die Geraden a, b keinen Punkt miteinander gemein haben, d. h. in einer Ebene a läßt sich durch einen Punkt A außer einer Geraden a stets eine Gerade ziehen, welche jene Gerade a nicht schneidet.

Das Parallelenaxiom lautet nun:

IV (Euklidisches Axiom). Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt außerhalb a: dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene a nur eine Gerade b, die durch A läuft und a nicht schneidet; die- selbe heißt die Parallele zu a durch A.

Das Parallelenaxiom IV ist gleichbedeutend mit der folgenden Forderung:

Wenn zwei Geraden a, b in einer Ebene eine dritte Gerade c der- selben Ebene nicht treffen, so treffen sie sich auch einander nicht.

In der Tat, hätten a, b einen Punkt A gemein, so würden durch A in derselben Ebene die beiden Geraden a, b möglich sein, die c nicht treffen; dieser Umstand widerspräche dem Parallelenaxiom IV. Ebenso leicht folgt umgekehrt das Parallelenaxiom IV aus der genannten Forderung.

Das Parallelenaxiom IV ist ein ebenes Axiom.

Die Einführung des Parallelenaxioms vereinfacht die Grundlagen und erleichtert den Aufbau der Geometrie in erheblichem Maße.

Nehmen wir nämlich zu den Kongruenzaxiomen das Parallelenaxiom hinzu, so gelangen wir leicht zu den bekannten Tatsachen:

Satz 19. Wenn zwei Parallelen von einer dritten Geraden ge- schnitten werden, so sind die Gegenwinkel und Wechselwinkel kongruent,

16 Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. § 7, 8.

und umgekehrt: die Kongruenz der Gegen- und Wechselwinkel hat zur Folge, daß die Geraden parallel sind.

Satz 20. Die Winkel eines Dreiecks machen zusammen zwei Rechte aus1).

Erklärung. Wenn M ein beliebiger Punkt in einer Ebene a ist, so heißt die Gesamtheit aller Punkte A, für welche die Strecken MA einander kongruent sind, ein Kreis; M heißt der Mittelpunkt des Kreises.

Auf Grund dieser Erklärung folgen mit Hilfe der Axiomgruppen III — IV leicht die bekannten Sätze über den Kreis, insbesondere die Mög- lichkeit der Konstruktion eines Kreises durch irgend drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte sowie der Satz über die Kongruenz aller Peripheriewinkel über der nämlichen Sehne und der Satz von den Winkeln im Kreisviereck.

§ 8. Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit.

V 1 (Axiom des Messens oder Archimedisches Axiom). Es sei At ein beliebiger Punkt auf einer Geraden zwischen den beliebig ge- gebenen Punkten A und B; man konstruiere dann die Punkte A%, Aä, Ai} ..., so daß A1 zwischen A und A%, ferner A2 zwischen Ax und A3, ferner A3 zwischen A% und A± u. s. w. liegt und überdies die Strecken

AAX, A1A%, A2A3, A3Ai} . . .

A A, Az A3 A^ An.tBAw

— , . 1 1 , . 1 . — .

einander gleich sind: dann gibt es in der Beihe der Punkte A2, A3, A± . . . stets einen solchen Punkt An, daß B zwischen A und An liegt.

V 2 (Axiom der Vollständigkeit). Die Elemente (Punkte, Ge- raden, Ebenen) der Geometrie bilden ein System von Bingen, welches bei Aufrechterhaltung sämtlicher genannten Axiome keiner Erweiterung mehr fähig ist, d. h.: zu dem System der Punkte, Geraden, Ebenen ist es nicht möglich, ein anderes System von Dingen hinzuzufügen, so daß in dem durch Zusammensetzung entstehenden System sämtliche aufgeführten Axiome I — IV, V 1 erfüllt sind.

Das Archimedische Axiom V 1 ist ein lineares Axiom.

1) Betreffs der Frage, inwieweit dieser Satz umgekehrt das Parallelenaxiom zu ersetzen vermag, vergleiche man die Bemerkungen am Schluß von Kap. II § 12.

Kap. I. Die fünf Axiomgruppen. §8. 17

Hinsichtlich des Axioms der Vollständigkeit V 2 füge ich hier folgende Bemerkungen hinzu.

Die Aufrechterhaltung sämtlicher Axiome, von der in diesem Axiom die Rede ist, hat man so zu verstehen, daß nach der Erweiterung sämtliche früheren Axiome in der früheren Weise gültig bleiben sollen, d. h. sofern man die vorhandenen Beziehungen der Elemente, nämlich die vor- handene Anordnung und Kongruenz der Strecken und Winkel nirgends stört, also z. B. ein Punkt, der vor der Erweiterung zwischen zwei Punkten liegt, dies auch nach der Erweiterung tut, Strecken und Winkel, die vorher einander kongruent sind, dies auch nach der Erweiterung bleiben.

Die Erfüllbarkeit des Vollständigkeitsaxioms ist wesentlich durch die Voranstellung des Archimedischen Axioms bedingt; in der Tat läßt sich zeigen, daß zu einem System von Punkten, Geraden und Ebenen, welche die Axiome I — IV erfüllen, stets noch auf mannig- fache Weise solche Elemente hinzugefügt werden können, daß in dem durch Zusammensetzung entstehenden Systeme die Axiome I — IV ebenfalls sämtlich gültig sind; d. h. das Vollständigkeitsaxiom würde einen Wider- spruch einschließen, wenn man den Axiomen I — IV nicht noch das Archi- medische Axiom hinzufügt.

Das Vollständigkeitsaxiom ist nicht eine Folge des Archi. medischen Axioms. In der Tat reicht das Archimedische Axiom allein nicht aus, um mit Benutzung der Axiome I — IV unsere Geometrie als iden- tisch mit der gewöhnlichen analytischen „Cartesischen" Geometrie nachzu- weisen (vgl. § 9 und § 12). Dagegen gelingt es unter Hinzunahme des Vollständigkeitsaxioms — obwohl dieses Axiom unmittelbar keine Aussage über den Begriff der Konvergenz enthält — , die Existenz der einem Dede- kindschen Schnitte entsprechenden Grenze und den Bolzanoschen Satz vom Vorhandensein der Verdi chtungs stellen nachzuweisen, womit dann unsere Geometrie sich als identisch mit der Cartesischen Geometrie erweist.

Durch die vorstehende Betrachtungsweise ist die Forderung der Stetig- keit in zwei wesentlich verschiedene Bestandteile zerlegt worden, nämlich in das Archimedische Axiom, dem zugleich die Rolle zukommt, die Forderung der Stetigkeit vorzubereiten, und in das Voll- ständigkeitsaxiom, das den Schlußstein des ganzen Axiomen- systems bildet1).

In den nachfolgenden Untersuchungen stützen wir uns wesentlich nur auf das Archimedische Axiom und setzen im allgemeinen das Vollständig- keitsaxiom nicht voraus.

1) Man vergleiche auch die Bemerkungen am Schluß von § 17 sowie meinen Vor- trag über den Zahlbegriff: Berichte der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, 1900. — Bei der Untersuchung des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich-

Hilbert, Grundlagen der Geometrie. 2

18 Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. §9.

Kapitel IL

Die Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit

der Axiome.

§ 9. Die Widerspruchslosigkeit der Axiome.

Die Axiome der fünf in Kapitel I aufgestellten Axiomgruppen stehen miteinander nicht in Widerspruch, d. h. es ist nicht möglich, durch logische Schlüsse aus denselben eine Tatsache abzuleiten, welche einem der auf- gestellten Axiome widerspricht. Um dies einzusehen, genügt es, eine Geo- metrie anzugeben, in der sämtliche Axiome der fünf Gruppen erfüllt sind.

Man betrachte zunächst den Bereich £1 aller derjenigen algebraischen Zahlen, welche hervorgehen, indem man von der Zahl 1 ausgeht und eine endliche Anzahl von Malen die vier Rechnungsoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und die fünfte Operation | yl -j- c2 1 anwendet, wobei ra jedesmal eine Zahl bedeuten kann, die vermöge jener fünf Operationen bereits entstanden ist.

Wir denken uns ein Paar von Zahlen (x, y) des Bereiches £1 als einen Punkt und die Verhältnisse von irgend drei Zahlen (u : v : w) aus £1, falls u, v nicht beide Null sind, als eine Gerade; ferner möge das Be- stehen der Gleichung

ux + vy + w — 0

ausdrücken, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden (u : v : w) liegt; damit sind, wie man leicht sieht, die Axiome I 1 — 3 und IV erfüllt. Die Zahlen des Bereiches £1 sind sämtlich reell; indem wir berücksichtigen, daß dieselben sich ihrer Größe nach anordnen lassen, können wir leicht solche Festsetzungen für unsere Punkte und Geraden treffen, daß auch die Axiome II der Anordnung sämtlich gültig sind. In der Tat, sind (xt, yj, (x2> Vi)> (x3) y$)> • • • irgend welche Punkte auf einer Geraden, so möge dies ihre Reihenfolge auf der Geraden sein, wenn die Zahlen xlf Xi) x3, . . . oder y1}y2, y3 . . . in dieser Reihenfolge entweder beständig abnehmen oder wachsen; um ferner die Forderung des Axioms II 4 zu erfüllen, haben wir nur nötig festzusetzen, daß alle Punkte {x, y), für die ux -\- vy -\- w kleiner oder größer als 0 ausfällt, auf der einen bez. auf der anderen

schenkligen Dreieck bin ich anf ein weiteres Stetigkeitsaxiom geführt worden, das ich Axiom der Nachbarschaft genannt habe; man sehe meine im Anhang ab- gedruckte Abhandlung „Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleich- schenkligen Dreieck". Proceedings of the London Mathematical Society XXXV 1903. Vgl. S. 92 und S. 107.

Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 9. 19

Seite der Geraden (u : v : tv) gelegen sein sollen. Man überzeugt sich leicht, daß diese Festsetzung sich mit der vorigen Festsetzung in Über- einstimmung befindet, derzufolge ja die Reihenfolge der Punkte auf einer Geraden bereits bestimmt ist.

Das Abtragen von Strecken und Winkeln erfolgt nach den bekannten Methoden der analytischen Geometrie. Eine Transformation von der Gestalt

x = x + a,

y = y + b

vermittelt die Parallelverschiebung von Strecken und Winkeln. Wird ferner der Punkt (0, 0) mit 0, der Punkt (1, 0) mit E und ein beliebiger Punkt (a, b) mit G bezeichnet, so entsteht durch Drehung um den Winkel <£ COE, wenn 0 der feste Drehpunkt ist, aus dem beliebigen Punkte (x, y) der Punkt (x, y)} wobei

b

x =

y

b

— x —

-[/ä* + P

y,

x +

yä* -f fr" yä* + b

V

zu setzen ist. Da die Zahl

y^ + p»a|/l+(|y

O(o,o)

E(i,o)

wiederum dem Bereiche £1 angehört, so gelten bei unseren Festsetzungen auch die Kongruenzaxiome III und offenbar ist auch das Archimedische Axiom V 1 erfüllt. Das Axiom der Vollständigkeit V 2 ist nicht erfüllt.

Jeder Widerspruch in den Fol- gerungen aus unseren geometrischen Axiomen I — IV, V 1 müßte dem- nach auch in der Arithmetik des Bereiches Si erkennbar sein1).

Wählen wir in der obigen Entwicklung statt des Bereiches Sl den Bereich aller reellen Zahlen, so erhalten wir eine Geometrie, in der sämtliche Axiome I — V gültig sind; diese Geometrie ist die gewöhnliche Cartesische Geometrie.

Jeder Widerspruch in den Folgerungen aus den Axiomen I — V müßte demnach in der Arithmetik des Systems der reellen Zahlen erkennbar sein.

1) Betreffs der Frage nach der Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome vergleiche man meine Vorträge über den Zahlbegriff: Berichte der deutschen Mathe- matiker-Vereinigung, 1900, sowie Mathematische Probleme, gehalten auf dem inter- nationalen Mathematikerkongreß 1900, Göttinger Nachr. 1900, insbesondere Problem No. 2.

20 Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 10, 11.

Die entsprechende Betrachtungsweise für die räumliche Geometrie bietet keine Schwierigkeit.

Wie man erkennt, gibt es unendlich viele Geometrien, die den Axiomen I — IV, V 1 genügen, dagegen nur eine, nämlich die Cartesische Geometrie, in der auch zugleich das Vollständigkeitsaxiom V 2 gültig ist.

§ io.

Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische Geometrie).

Nachdem wir die Widerspruchslosigkeit der Axiome erkannt haben, ist es von Interesse, zu untersuchen, ob sie sämtlich voneinander unab- hängig sind. In der Tat zeigt sich, daß keine wesentlichen Bestandteile der genannten Axiomgruppen durch logische Schlüsse aus den jedesmal voranstehenden Axiomgruppen abgeleitet werden können.

Was zunächst die einzelnen Axiome der Gruppen I, II und III be- trifft, so ist der Nachweis dafür leicht zu führen, daß die Axiome ein und derselben Gruppe je unter sich unabhängig sind.

Die Axiome der Gruppen I und II liegen bei unserer Darstellung den übrigen Axiomen zu Grunde, so daß es sich nur noch darum handelt, für jede der Gruppen III, IV und V die Unabhängigkeit von den übrigen nachzuweisen.

Das Parallelenaxiom IV ist von den übrigen Axiomen unabhängig; dies zeigt man in bekannter Weise am einfachsten, wie folgt. Man wähle die Punkte, Geraden und Ebenen der gewöhnlichen in § 9 konstruierten (Cartesischen) Geometrie, soweit sie innerhalb einer festen Kugel ver- laufen, für sich allein als Elemente einer räumlichen Geometrie und ver- mittle die Kongruenzen dieser Geometrie durch solche lineare Trans- formationen der gewöhnlichen Geometrie, welche die feste Kugel in sich überführen. Bei geeigneten Festsetzungen erkennt man, daß in dieser „NichtrEuklidischen" Geometrie sämtliche Axiome außer dem Euklidischen Axiom IV gültig sind, und da die Möglichkeit der gewöhnlichen Geo- metrie in § 9 nachgewiesen worden ist, so folgt nunmehr auch die Mög- lichkeit der Nicht-Euklidischen Geometrie.

§ IL Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome.

Wir werden die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome erkennen, indem wir den Nachweis führen, daß das Axiom III 6 oder, was auf das nämliche hinausläuft, der erste Kongruenzsatz für Dreiecke, d. i. Satz 10 durch logische Schlüsse nicht aus den übrigen Axiomen I, II, III 1 — 5, IV, V abgeleitet werden kann.

Kap. IL Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 11. 21

Wir wählen die Punkte, Geraden, Ebenen der gewöhnlichen Geometrie auch als Elemente der neuen räumlichen Geometrie und definieren das Abtragen der Winkel ebenfalls wie in der gewöhnlichen Geometrie, etwa in der Weise, wie in § 9 auseinandergesetzt worden ist; dagegen definieren wir das Abtragen der Strecken auf andere Art. Die zwei Punkte Ax, A2 mögen in der gewöhnlichen Geometrie die Koordinaten xx, yx, zx bez. x2, y2, z2 haben; dann bezeichnen wir den positiven Wert von

Y(xx -x2 + yx- y2f + (yx - y2f -f Oi - *2)2 als die Länge der Strecke Ax A2 , und nun sollen zwei beliebige Strecken AXA2 und Ax A2 einander kongruent heißen, wenn sie im eben festgesetzten Sinne gleiche Längen haben- .

Es leuchtet unmittelbar ein, daß in der so hergestellten räumlichen Geometrie die Axiome I, II, III 1 — 2, 4 — 5, IV, V gültig sind.

Um zu zeigen, daß auch das Axiom III 3 erfüllt ist, wählen wir eine beliebige Gerade a und auf ihr drei Punkte Ax, A2, A3, so daß A2 zwischen Ax und A3 liegt. Die Punkte x, y, z der Geraden a seien durch

die Gleichungen . . , , ,

° x — Xt -f X,

y = lit + [i',

z = vt -f V gegeben, worin X, X', p, ii,v, v gewisse Konstante und t einen Parameter bedeutet. Sind tx, t2 (< tx), t3 (< t2) die Parameterwerte, die den Punkten Ax, A2, A3 entsprechen, so finden wir für die Längen der drei Strecken AXA2, A2A3 und AXA3 bez. die Ausdrücke:

(k - Ü i y(T+^2T7T^ | ,

& - Q ! V(* + K>2 + ^ + "2

^-QiYix + py + ^ + vti,

und mithin ist die Summe der Längen der Strecken AXA2 und A2A3 gleich der Länge der Strecke AXA2\ dieser Umstand bedingt die Gültig- keit des Axioms III 3.

Das Axiom III 6 oder vielmehr der erste Kongruenzsatz für Drei- ecke ist in unserer Geometrie nicht immer erfüllt. Betrachten wir näm- lich z. B. in der Ebene z = 0 die vier Punkte 3(o,l)

0 mit den Koordinaten x = 0, y = 0, Jk. „ ,, „ x = 1 1 y = u,

B „ „ „ x = 0, y=l, Vz yC(i,i)

G » n 77 x = t 7 y = T>

so sind in den beiden (rechtwinkligen) Drei- ecken OAC und OBC die Winkel bei C und O(o,o) A(l,0)

22 Kap. II. Die Widerspruehslosigkeit tind Unabhängigkeit der Axiome. 1 11, 12.

die anliegenden Seiten entsprechend kongruent, da die Seite OC beiden Dreiecken gemeinsam ist und die Strecken AC und BC die gleiche Länge y besitzen. Dagegen haben die dritten Seiten OA und OB die Länge 1, bez. "j/2 und sind daher nicht einander kongruent.

Es ist auch nicht schwer, in dieser Geometrie zwei Dreiecke zu finden, für welche das Axiom III 6 selbst nicht erfüllt ist.

§ 12.

Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome V

(Nicht-Archimedische Geometrie).

Um die Unabhängigkeit des Archimedischen Axioms V 1 zu beweisen, müssen wir eine Geometrie herstellen, in der sämtliche Axiome mit Aus- nahme der Axiome V, diese letzteren aber nicht erfüllt sind1).

Zu dem Zwecke konstruieren wir den Bereich Sl(f) aller derjenigen algebraischen Funktionen von t, welche aus t durch die fünf Rechnungs- operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und durch die Operation |]/l + co2| hervorgehen; dabei soll w irgend eine Funk- tion bedeuten, die vermöge jener fünf Operationen bereits entstanden ist. Die Menge der Elemente von £l(f) ist — ebenso wie von & in § 9 — eine abzählbare. Die fünf Operationen sind sämtlich eindeutig und reell aus- führbar; der Bereich £l(t) enthält daher nur eindeutige und reelle Funk- tionen von t.

Es sei c irgend eine Funktion des Bereiches &(£); da die Funktion c eine algebraische Funktion von t ist, so kann sie jedenfalls nur für eine endliche Anzahl von Werten t verschwinden und es wird daher die Funk- tion c für genügend große positive Werte von t entweder stets positiv oder stets negativ ausfallen.

Wir sehen jetzt die Funktionen des Bereiches £l(f) als eine Art komplexer Zahlen an; offenbar sind in dem so definierten komplexen Zahlensystem die gewöhnlichen Rechnungsregeln sämtlich gültig. Ferner möge, wenn a, b irgend zwei verschiedene Zahlen dieses komplexen Zahlen- systems sind, die Zahl a größer oder kleiner als b, in Zeichen: a > b oder a < &, heißen, je nachdem die Differenz c = a — b als Funktion von t für genügend große positive Werte von t stets positiv oder stets negativ ausfällt. Bei dieser Festsetzung ist für die Zahlen unseres komplexen Zahlensystems eine Anordnung ihrer Größe nach möglich, die der- jenigen bei reellen Zahlen analog ist; auch gelten, wie man Reicht er- kennt, für unsere komplexen Zahlen die Sätze, wonach Ungleichungen

1) G. Veronese hat in seinem tiefsinnigen Werke: Grundzüge der Geometrie, deutsch von A. Schepp, Leipzig 1894, ebenfalls den Versuch gemacht, eine Geometrie aufzubauen, die von dem Archimedischen Axiom unabhängig ist.

Kap. II. Die Widerspruchslosigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. § 12. 23

richtig bleiben, wenn man auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder beide Seiten mit der gleichen Zahl > 0 multipliziert.

Bedeutet n eine beliebige positive ganze rationale Zahl, so gilt für die beiden Zahlen n und t des Bereiches Sl(t) gewiß die Ungleichung n < £, da die Differenz n — t, als Funktion von t betrachtet, für genügend große positive Werte von t offenbar stets negativ ausfällt. Wir sprechen diese Tatsache in folgender Weise aus: Die beiden Zahlen 1 und t des Bereiches Sl{ß), die beide > 0 sind, besitzen die Eigenschaft, daß ein be- liebiges Vielfaches der ersteren stets kleiner als die letztere Zahl bleibt.

Wir bauen nun aus den komplexen Zahlen des Bereiches £l(t) eine Geometrie genau auf dieselbe Art auf, wie dies in § 9 unter Zugrunde- legung des Bereiches & von algebraischen Zahlen geschehen ist: wir denken uns ein System von drei Zahlen (x, y, z) des Bereiches £l(t) als einen Punkt und die Verhältnisse von irgend vier Zahlen (« : v : w : r) aus &(t), falls u, v, w nicht sämtlich Null sind, als eine Ebene; ferner möge das Bestehen der Gleichung

ux -f vy + wz -f r = 0 ausdrücken, daß der Punkt (x, y, z) in der Ebene (n : v: w : r) liegt, und die Gerade sei die Gesamtheit aller in zwei Ebenen mit verschiedenen H : v : w gelegenen Punkte. Treffen wir sodann die entsprechenden Fest- setzungen über die Anordnung der Elemente und über das Abtragen von Strecken und Winkeln, wie in § 9, so entsteht eine „Nicht- Archimedische" Geometrie, in welcher, wie die zuvor erörterten Eigenschaften des komplexen Zahlensystems £l(t) zeigen, sämtliche Axiome mit Ausnahme der Stetig- keitsaxiome erfüllt sind. In der Tat können wir die Strecke 1 auf der Strecke t beliebig oft hintereinander abtragen, ohne daß der Endpunkt der Strecke t überschritten wird; dies widerspricht der Forderung des Archi- medischen Axioms.

Daß auch das Vollständigkeitsaxiom V 2 von allen voranstehenden Axiomen I — IV, V 1 unabhängig ist, zeigt die erste in § 9 aufgestellte Geometrie, da in dieser das Archimedische Axiom erfüllt ist.

Auch die Nicht -Archimedischen und zugleich Nicht -Euklidischen Geometrien sind von prinzipieller Bedeutung und insbesondere erschien mir die Frage nach der Winkelsumme im Dreiecke und nach der Ab- hängigkeit dieser Sätze vom Archimedischen Axiom von hohem Interesse. Die Untersuchung, die M. Dehn1) auf meine Anregung hin über diesen Gegenstand unternommen hat, führte zu einer vollen Aufklärung dieser Frage. Den Untersuchungen von M. Dehn liegen die Axiome I — III zu Grunde. Nur zum Schlüsse der Dehnschen Arbeit — damit auch die

1) Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck. Math. Ann. Bd. 53. 1900.

24 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 13.

Riemannsche (elliptische) Geometrie in den Bereich der Untersuchung hineinfällt — sind die Axiome II der Anordnung allgemeiner, als in der gegenwärtigen Abhandlung, nämlich etwa wie folgt zu fassen:

Vier Punkte A, B, C, B einer Geraden zerfallen stets in zwei Paare A, C und B, B, so daß A, G durch B, B getrennt sind und umgekehrt. Fünf Punkte auf einer Geraden können immer in der Weise mit A, B, C, D, E bezeichnet werden, daß A, C durch B, B und durch B, E, ferner daß A, B durch B, E und durch C, E u. s. f. getrennt sind.

Die hauptsächlichsten von M. Dehn auf Grund der Axiome I — III, also ohne Benutzung der Stetigkeit, bewiesenen Sätze sind folgende:

Wenn in irgend einem Dreieck die Summe der Winkel größer bezüglich gleich oder kleiner als zwei Rechte ist, so ist sie es in jedem Dreieck1).

Aus der Annahme unendlich vieler Parallelen zu einer Ge- raden durch einen Punkt folgt, wenn man das Archimedische Axiom ausschließt, nicht, daß die Winkelsumme im Dreieck kleiner als zwei Rechte ist. Es gibt vielmehr sowohl eine Geo- metrie (die Nicht-Legendresche Geometrie), in der man durch einen Punkt zu einer Geraden unendlich viele Parallelen ziehen kann und in der trotzdem die Sätze der Riemannschen (ellip- tischen) Geometrie gültig sind. Andererseits gibt es eine Geo- metrie (die Semi-Euklidische Geometrie), in welcher es unend- lich viele Parallelen durch einen Punkt zu einer Geraden gibt und in der dennoch die Sätze der Euklidischen Geometrie gelten.

Aus der Annahme, daß es keine Parallelen gibt, folgt stets, daß die Winkelsumme im Dreieck größer als zwei Rechte ist.

Ich bemerke endlich, daß, wenn man das Archimedische Axiom hinzunimmt, das Parallelenaxiom durch die Forderung ersetzt werden kann, es solle die Winkelsumme im Dreieck gleich zwei Rechten sein.

Kapitel III. Die Lehre von den Proportionen.

§ 13. Komplexe Zahlensysteme2).

Am Anfang dieses Kapitels wollen wir einige kurze Auseinander- setzungen über komplexe Zahlensysteme vorausschicken, die uns später insbesondere zur Erleichterung der Darstellung nützlich sein werden.

1) Einen Beweis für diesen Satz hat später auch F. Schur erbracht, Math. Ann. Bd. 55.

2) Vgl. meinen Vortrag: Über den Zahlbegriff, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, Bd. 8. 1900.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 13. 25

Die reellen Zahlen bilden in ihrer Gesamtheit ein System von Dingen mit folgenden Eigenschaften:

Sätze der Verknüpfung (1 — 6):

1. Aus der Zahl a und der Zahl b entsteht durch „Addition" eine bestimmte Zahl c, in Zeichen

a -f b = c oder c = a + b .

2. Wenn a und b gegebene Zahlen sind, so existiert stets eine und nur eine Zahl x und auch eine und nur eine Zahl y, so daß

a + x = b bez. y -f a = 6 wird.

3. Es gibt eine bestimmte Zahl — sie heiße 0 — , so daß für jedes

a zugleich

a -\- 0 = a und 0 -\- a = a ist.

4. Aus der Zahl a und der Zahl b entsteht noch auf eine andere Art durch „Multiplikation" eine bestimmte Zahl c, in Zeichen

ab = c oder c = ab .

5. Wenn a und b beliebig gegebene Zahlen sind und a nicht 0 ist, so existiert stets eine und nur eine Zahl x und auch eine und nur eine Zahl y, so daß

ax = b bez. ya = b wird.

6. Es gibt eine bestimmte Zahl — sie heiße 1 — , so daß für jedes a zugleich

a ' 1 — a und 1 • a = a ist.

Regeln der Rechnung (7 — 12): Wenn a, b, c beliebige Zahlen sind, so gelten stets folgende Rech- nungsgesetze:

7. a + (b + c) - (a + b) + c

8. a+b =& + a

9. a(bc) = (ab)c

10. a(b -\- c) = ab -\- ac

11. (a + b)c = ac + bc

12. ab =ba. Sätze der Anordnung (13 — 16):

13. Wenn a, b irgend zwei verschiedene Zahlen sind, so ist stets eine bestimmte von ihnen (etwa a) größer (>) als die andere; die letztere heißt dann die kleinere, in Zeichen:

a > b und b < a .

26 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 13, 14.

14. Wenn a > b und b > c, so ist auch a > c.

15. Wenn a > b ist, so ist auch stets

a -f c > 6 4- c und c -f a > c -\- b.

16. Wenn <x > b und c > 0 ist, so ist auch stets

ac>bc und ca>cb. Sätze von der Stetigkeit (17 — 18):

17. (Archimedischer Satz.) Wenn a>0 und &>0 zwei belie- bige Zahlen sind, so ist es stets möglich, a zu sich selbst so oft zu ad- dieren, daß die entstehende Summe die Eigenschaft hat

a + a -\- • • ■ -\- a>b.

18. (Satz von der Vollständigkeit.) Es ist nicht möglich, dem System der Zahlen ein anderes System von Dingen hinzuzufügen, so daß auch in dem durch Zusammensetzung entstehenden Systeme die Sätze 1 — 17 sämtlich erfüllt sind; oder kurz: die Zahlen bilden ein System von Dingen, welches bei Aufrechterhaltung sämtlicher aufgeführten Sätze keiner Er- weiterung mehr fähig ist.

Ein System von Dingen, das nur einen Teil der Eigenschaften 1 — 18 besitzt, heiße ein komplexes Zahlensystem. Ein komplexes Zahlensystem heiße ein Archimedisches oder ein Nicht-Archimedisches, jenachdem das- selbe der Forderung 17 genügt oder nicht.

Von den aufgestellten Eigenschaften 1 — 18 sind einige Folgen der übrigen. Es entsteht die Aufgabe, die logische Abhängigkeit dieser Eigen- schaften zu untersuchen1). Wir werden im Kapitel VI § 32 und § 33 zwei bestimmte Fragen der angedeuteten Art wegen ihrer geometrischen Bedeutung beantworten und wollen hier nur darauf hinweisen, daß jeden- falls die Forderung 17 keine logische Folge der voranstehenden Eigen- schaften ist, da ja beispielsweise das in § 12 betrachtete komplexe Zahlen- system Sl(t) sämtliche Eigenschaften 1 — 16 besitzt, aber nicht die Forde- rung 17 erfüllt.

Im übrigen gelten betreffs der Sätze von der Stetigkeit (17 — 18) die entsprechenden Bemerkungen, wie sie in § 8 über die geometrischen Axiome der Stetigkeit gemacht worden sind.

§ 14. Beweis des Pascalschen Satzes.

In diesem und dem folgenden Kapitel legen wir unserer Untersuchung die ebenen Axiome sämtlicher Gruppen mit Ausnahme der Stetigkeits-

1) Vgl. meinen bereits citierten Vortrag über den Zahlbegriff.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14.

27

axiome, d. h. die Axiome I 1 — 3 und II — IV zu Grunde. In dem gegen- wärtigen Kapitel LU gedenken wir Euklids Lehre von den Proportionen mittels der genannten Axiome, d. h. in der Ebene und unabhängig vom Archimedischen Axiom zu begründen.

Zu dem Zwecke beweisen wir zunächst eine Tatsache, die ein beson- derer Fall des bekannten Pascalschen Satzes aus der Lehre von den Kegelschnitten ist und die ich künftig kurz als den Pascalschen Satz bezeichnen will. Dieser Satz lautet: t»*

Satz 21 *) (Pascalscher Satz). Es seien A, B, C bez. Ä, B', C je drei Punkte auf zwei sich schneidenden Geraden, die vom Schnittpunkte der Ge- raden verschieden sind; ist dann CB' parallel BG' und CA parallel AG ', so ist auch BÄ parallel AB'.

Um den Beweis für diesen Satz zu erbringen, führen wir zunächst folgende Bezeichnungsweise ein. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist offenbar die Kathete a durch die Hypotenuse c und den von a und c eingeschlossenen Basiswinkel cc eindeutig bestimmt: wir setzen kurz

a = ccc,

so daß das Symbol ac stets eine bestimmte Strecke bedeutet, sobald c eine beliebig gegebene Strecke und cc ein beliebig gegebener spitzer Winkel ist.

Nunmehr möge c eine beliebige Strecke und cc, ß mögen zwei be- liebige spitze Winkel bedeuten; wir behaupten, daß allemal die Strecken- kongruenz

ccßc s ßccc j.

besteht und somit die Symbole cc, ß stets miteinander vertauschbar sind.

Um diese Behauptung zu beweisen, nehmen wir die Strecke c = AB und / jr -p\

tragen an diese Strecke in A zu beiden Seiten die Winkel cc bez. ß an. Dann fällen wir von B aus auf die anderen ■"

1) F. Schur hat einen interessanten Beweis des Pascalschen Satzes auf Grund der ebenen und räumlichen Axiome I— III in den Math. Ann. Bd. 51 veröffentlicht.

28

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14.

Schenkel dieser Winkel die Lote BC und BD, verbinden C mit D und fällen schließlich von A aus das Lot AE auf CD.

Da die Winkel <£ ACB und <=£ ADB Rechte sind, so liegen die vier Punkte A, B, C, D auf einem Kreise und demnach sind die beiden Winkel <fiACD und <fiABD als Peripheriewinkel auf derselben Sehne AD einander kongruent. Nun ist einerseits <£ ACD zusammen mit dem <3C CAE und andererseits ^C ABD zusammen mit <t BAD je ein Rechter und folglich sind auch die Winkel <^C CAE und <£ BAD einander kon- gruent, d. h. es ist

^CAE=ß und daher

^CDAE=a.

Wir gewinnen nun unmittelbar die Streckenkongruenzen

ßc = AD

ußc = a(AD)

AE

ac = AC ßac = ß(AC)

AE,

und hieraus folgt die Richtigkeit der vorhin behaupteten Kongruenz.

Wir kehren nun zur Figur des Pascalschen Satzes zurück und be- zeichnen den Schnittpunkt der beiden Geraden mit 0 und die Strecken OA, OB, OC, OA', OB', OC, CB ', BC, AC, CA, BA', AB' bez. mit a, b, c, a, b ', c, l, l*, m, m*, n, n*. Sodann fällen wir von 0 Lote auf

l, m*} n) das Lot auf l C'l schließe mit den beiden Ge-

raden OA, OA' die spitzen Winkel k', k ein und die Lote auf m bez. n mögen mit den Geraden OA und OA' die spitzen Winkel [i',[i bez. v', v bilden. Drücken wir nun diese drei Lote in der vorhin angegebenen Weise mit Hilfe der Hy- potenusen und Basiswinkel in den betreffenden rechtwinkligen Dreiecken auf doppelte Weise aus, so erhalten wir folgende drei Streckenkongruenzen

(1) kb'=k'c,

(2) na'^ti'c,

(3) j/ft'= v'b.

Da nach Voraussetzung l parallel l* und m parallel m* sein soll, so stim- men die von 0 auf l* bez. m zu fällenden Lote mit den Loten auf l bez. m* überein und wir erhalten somit

Kap. IIL Die Lehre von den Proportionen. § 14. 29

(4) Xc'^X'b,

(5) fic' = p' a.

Wenn wir auf die Kongruenz (3) links und rechts das Symbol X'fi anwenden und bedenken, daß nach dem vorhin Bewiesenen die in Rede stehenden Symbole miteinander vertauschbar sind, so finden wir

vX'[ia' = v'pX'b. In dieser Kongruenz berücksichtigen wir links die Kongruenz (2) und

rechts (4); dann wird

vX'p'c = v'{iXc

oder

v\i X c = y Xpc .

Hierin berücksichtigen wir links die Kongruenz (l) und rechts (5); dann

wird

v[i XV ' = v'Xp'a oder

Xp'vb' ss Xfi'v'a.

Wegen der Bedeutung unserer Symbole schließen wir aus der letzten Kongruenz sofort

p'vb' es fi'v'a und hieraus

(6) vb'==v'a.

Fassen wir nun das von 0 auf n gefällte Lot ins Auge und fällen auf dasselbe Lote von A und B' aus, so zeigt die Kongruenz (6), daß die Fußpunkte der letzteren beiden Lote zusammenfallen, d. h. die Gerade w*== AB' steht zu dem Lote auf n senkrecht und ist mithin zu n parallel. Damit ist der Beweis für den Pascalschen Satz erbracht.

Wir benutzen im folgenden zur Begründung der Geometrie lediglich denjenigen speziellen Fall des Pascalschen Satzes, in dem die Strecken- kongruenz

OC-OÄ und folglich auch

OA=OC

gilt. In diesem speziellen Fall gelingt der Beweis besonders einfach, nämlich folgendermaßen (Figur S. 30):

Wir tragen auf OÄ von 0 aus die Strecke OB bis B' ab, so daß die Verbindungsgerade BD' parallel zu CA' und AG' wird. Wegen der Kongruenz der Dreiecke OC'B und 0 AB' wird (lf) ^OC'B = ^OAD'.

Da GB' und BC' nach Voraussetzung einander parallel sind, so ist (2f) ^OC'B = ^OBG;

30

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14.

aus (lf ) und (2f) folgern wir

<£OAD'=<^OB'C- dann aber ist nach der Lehre vom Kreise ACD'B' ein Kreis viereck und mithin gilt nach einem bekannten Satze von den Winkeln im Kreis- viereck die Kongruenz (3f) ^OB'C = ^OAB'. Andererseits ist wegen der Kongruenz der Dreiecke OD'C und OBÄ auch (4f) ^OD'G-^OBA'^ aus (3f ) und (4f ) folgern wir ^OAB'=^OBÄ

und diese Kongruenz lehrt, daß AB' und BA' einander parallel sind, wie es der Pascalsche Satz verlangt.

Wenn irgend eine Gerade, ein Punkt außerhalb derselben und irgend ein Winkel gegeben ist, so kann man offenbar durch Abtragen dieses Winkels und Ziehen einer Parallelen eine Gerade finden, die durch den gegebenen Punkt geht und die gegebene Gerade unter dem gegebenen Winkel schneidet. Im Hinblick auf diesen Umstand dürfen wir endlich zum

Beweise des allgemeineren Pascalschen Satzes auch das folgende einfache Schluß- verfahren anwenden, das ich einer Mitteilung von anderer Seite verdanke.

Man ziehe durch B eine Gerade, die OÄ im Punkte D' unter dem Winkel OCÄ trifft, so daß die Kongruenz (1*) ^OCA=^OD'B gilt; dann ist nach einem be- kannten Satze aus der Lehre

A

C B

vom Kreise CBD'A' ein Kreisviereck und mithin gilt nach dem Satze

von der Kongruenz der Peripheriewinkel auf der nämlichen Seite die

Kongruenz

(2*) «£ OBA=s$: OD'C.

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 14, 15. 31

Da CA' und AC nach Voraussetzung einander parallel sind, so ist (3*) ^.OCA'^^OAC';

aus (1*) und (3*) folgern wir die Kongruenz

^.OD'B = ^ OAC- dann aber ist auch BAD'C ein Kreisviereck und mithin gilt nach dem Satze von den Winkeln im Kreisviereck die Kongruenz (4*) ^OAD' = ^ OC'B.

Da ferner nach Voraussetzung CB' parallel BC ist, so haben wir auch (5*) <£OB'C = <$:OC'B;

aus (4*) und (5*) folgern wir die Kongruenz

^OAD' = ^OB'C;

diese endlich lehrt, daß CAD' B' ein Kreisviereck ist, und mithin gilt

auch die Kongruenz

(6*) ^OAB' =$:OD'C.

Aus (2*) und (6*) folgt

<£ OBÄ ~ «£ OAB'

und diese Kongruenz lehrt, daß BÄ und AB' einander parallel sind, wie es der Pascalsche Satz verlangt.

Fällt B' mit einem der Punkte A', B', C zusammen, so wird eine Abänderung dieses Schluß Verfahrens notwendig, die leicht ersichtlich ist1).

§ 15. Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Satzes.

Der im vorigen Paragraph bewiesene Pascalsche Satz setzt uns in den Stand, in die Geometrie eine Rechnung mit Strecken einzu- führen, in der die Rechnungsregeln für reelle Zahlen sämtlich unverändert gültig sind.

Statt des Wortes „kongruent" und des Zeichens = bedienen wir uns in der Streckenrechnung des Wortes „gleich" und des Zeichens =.

Wenn A, B, C drei Punkte einer Geraden sind und B zwischen A und C liegt, so bezeichnen wir c = AC _. w l

als die Summe der beiden Strecken . —

a = AB und b = BC und setzen < C* CL + b >

c = a + &•

1) Interesse verdient auch die Verwendung, die der Satz vom gemeinsamen Schnitt- punkt der Höhen eines Dreieckes zur Begründung des Pascalschen Satzes bez. der Pro- portionenlehre findet; man vergleiche hierüber F. Schur, Math. Ann. Bd. 57 und J. Mollerup, Studier over den plane geometrics aksiomer, Kopenhagen 1903.

32 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 15.

Die Strecken a und b heißen kleiner als c, in Zeichen:

a < c, b < c, und c heißt größer als a und b, in Zeichen:

c > a, c > &.

Aus den linearen Kongruenzaxiomen III 1 — 3 entnehmen wir leicht, daß für die eben definierte Addition der Strecken das assoziative Gesetz

a + (b + c) - 0 + 6) + c

sowie das kommutative Gesetz

gültig ist.

Um das Produkt einer Strecke a in eine Strecke b geometrisch zu definieren, bedienen wir uns folgender Konstruktion. Wir wählen zu- nächst eine beliebige Strecke, die für die ganze Betrachtung die nämliche bleibt, und bezeichnen dieselbe mit 1. Nunmehr tragen wir auf dem

einen Schenkel eines rechten Winkels vom Scheitel 0 aus die Strecke 1 und ferner ebenfalls vom Scheitel 0 die Strecke b ab; sodann tragen wir auf dem anderen Schenkel die Strecke a ab. Wir verbinden die Endpunkte der Strecken 1 und a durch eine Gerade und ziehen zu dieser Geraden durch den Endpunkt der Strecke b eine Parallele; dieselbe möge auf dem anderen Schenkel eine Strecke c abschneiden: dann nennen wir diese Strecke c das Produkt der Strecke a in die Strecke b und be- zeichnen sie mit

c = ab.

Wir wollen vor allem beweisen, daß für die eben definierte Multi- plikation der Strecken das kommutative Gesetz

ab = ba

gültig ist. Zu dem Zwecke konstruieren wir zuerst auf die oben fest- gesetzte Weise die Strecke ab. Ferner tragen wir auf dem ersten Schenkel des rechten Winkels die Strecke a und auf dem anderen Schenkel die Strecke b ab, verbinden den Endpunkt der Strecke 1 mit dem Endpunkt von b auf dem anderen Schenkel durch eine Gerade und ziehen zu dieser Geraden durch den Endpunkt von a auf dem ersten Schenkel eine Pa- rallele: dieselbe schneidet auf dem anderen Schenkel die Strecke ba ab;

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 15.

33

in der Tat fällt diese Strecke ba, wie untenstehende Figur zeigt, wegen der Parallelität der punktierten Hilfslinien nach dem Pascalschen Satze (Satz 21) mit der vorhin konstruierten Strecke ab zusammen. Auch um- gekehrt folgt, wie man sofort sieht, aus der Gültigkeit des kommutativen Gesetzes in unserer Streckenrechnung der Pascalsche Satz.

Um für unsere Multiplikation der Strecken das assoziative Gesetz

a(bc) = (ab)c zu beweisen, tragen wir auf dem einen Schenkel des rechten Winkels vom Scheitel 0 aus die Strecken 1 und b und auf dem anderen Schenkel ebenfalls von 0 aus die Strecken a und c ab. Sodann konstruieren wir

0 cu 1 5

ab = ba

e-cb	\\
ae-cd	\ \	\
c
d-ab			\
	v\ \		\
a	S. V^	\\	\ ^\ *N

/ d

die Strecken d = ab und e = cb und tragen diese Strecken d und e auf dem ersteren Schenkel von 0 aus ab. Konstruieren wir sodann ae und cd, so ist wiederum auf Grund des Pascalschen Satzes aus vorstehender Figur ersichtlich, daß die Endpunkte dieser Strecken zusammenfallen,

ae = cd oder a(cb) = c(ab) und hieraus folgt mit Zuhilfenahme des kommutativen Gesetzes auch

a(bc) = (ab)c 1).

1) Man vergleiche hierzu auch die Methoden zur Begründung der Proportionen- lehre, die neuerdings von A. Kneser, Archiv für Math, und Phys., R. III, Bd. 2, und J. Mollerup, Math. Ann., Bd. 56 sowie Studier over den plane geometrics aksiomer, Kopenhagen 1903, angegeben worden sind und bei denen die Proportionengleichung vorangestellt wird. F. Schur, Zur Proportionenlehre, Math. Ann. Bd. 57 bemerkt, daß bereits Kupffer (Sitzungsber. der Naturforscherges. zu Dorpat 1893) das kommutative Gesetz der Multiplikation richtig bewiesen hat. Jedoch ist Kupffers weitere Begrün- dung der Proportionenlehre als unzureichend anzusehen.

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 3

34

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 15.

Wie man sieht, haben wir im vorstehenden beim Nachweise sowohl des kommutativen wie des assoziativen Gesetzes der Multiplikation ledig- lich denjenigen speziellen Fall des Pascalschen Satzes benutzt, dessen Be- weis auf S. 29 — 30 (§ 14) in besonders einfacher Weise durch einmalige Anwendung des Kreisvierecksatzes gelang.

Durch eine geringe Umordnung des obigen Schluß Verfahrens erhält man folgende ebenfalls sehr kurze Begründung der Multiplikationsgesetze der Streckenrechnung.

Auf dem einen Schenkel eines rechten Winkels trage man vom Scheitel 0 aus die Strecken a = OA und b = OB und außerdem auf dem anderen Schenkel die Einheitsstrecke 1 = OC ab. Der durch A, B, C

gelegte Kreis schneide den letzteren Schenkel noch im Punkte D. Der Punkt D wird leicht in elementarer Weise gewonnen, indem man vom Mittelpunkt des Kreises das Lot auf 0 C fällt und an diesem den Punkt C spiegelt. Die Strecke OD heiße das Produkt der beiden Strecken a und &; es gilt dann offenbar das kommuta- tive Gesetz der Multiplikation

ab = ba.

Wegen der Gleichheit der Winkel OCA und OBJ) stimmt diese Definition des Produktes mit der auf S. 32 angegebenen überein. Die Gleichung

ab = ba beweist nunmehr nach S. 33 oben den speziellen Fall (S. 29) des Pascal- schen Satzes und aus diesem wiederum folgt nach S. 33 das assoziative

Gesetz der Multiplikation

a(bc) = (ab)c.

CL(btC)

b t c

a (b + c) = ab -f bc

bi-c

Endlich gilt in unserer Streckenrechnung auch' das distributive Gesetz

a (b -J- c) — ab -f- ac. Um dasselbe zu beweisen, konstruieren wir die Strecken ab, ac und a (b -f- c) und ziehen dann durch den End- punkt der Strecke c (s. neben- stehende Figur) eine Parallele

Kap. HI. Die Lehre von den Proportionen. § 15, 16.

35

zu dem anderen Schenkel des rechten Winkels. Die Kongruenz der beiden rechtwinkligen in der Figur schraffierten Dreiecke und die Anwendung des Satzes von der Gleichheit der Gegenseiten im Parallelogramm liefert dann den gewünschten Nachweis.

Sind b und c zwei beliebige Strecken, so gibt es stets eine Strecke a,

sodaß c = ab wird: diese Strecke a wird mit ■=- bezeichnet und der

o

Quotient von c durch b genannt.

§ 16. Die Proportionen und die Ähnlichkeitssätze.

Mit Hilfe der eben dargelegten Streckenrechnung läßt sich Euklids Lehre von den Proportionen einwand sfrei und ohne Archimedisches Axiom in folgender Weise begründen.

Erklärung. Sind a, b, d, b' irgend vier Strecken, so soll die Proportion

a :b = d :b'

nichts anderes bedeuten als die Streckengleichung

ab' = bd.

Erklärung. Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn entsprechende Winkel in ihnen kongruent sind.

Satz 22. Wenn a, b und d, b' entsprechende Seiten in zwei ähn- lichen Dreiecken sind, so gilt die Proportion

a:b = d :b'.

Beweis. Wir betrachten zunächst den besonderen Fall, wo die von a, b und d, b' eingeschlossenen Winkel in beiden Dreiecken Rechte sind, und denken uns die beiden Dreiecke in ein und denselben rechten Winkel eingetragen. Wir tragen sodann vom Scheitel aus auf einem Schenkel die Strecke 1 ab und ziehen durch den Endpunkt dieser Strecke 1 die Parallele zu den beiden Hypotenusen; dieselbe schneide auf dem anderen Schenkel die Strecke e ab; dann ist nach unserer Definition des Streckenproduktes

b — ea, b' = ed]

3*

36

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 16, 17.

mithin haben wir d. h.

ab' = bd

a :b = d :b'.

Nunmehr kehren wir zu dem allgemeinen Falle zurück. Wir kon- struieren in jedem der beiden ähn- lichen Dreiecke den Schnittpunkt S bez. ST der drei Winkelhalbierenden, dessen Existenz aus dem Satze vom gleichschenkligen Dreiecke leicht abzu- leiten ist, und fällen von diesen die drei Lote r bez. r auf die Dreiecksseiten; die auf diesen entstehenden Abschnitte bezeichnen wir mit

aö, »«I K, K, °a, Cb

<h'j ac'> Vi Vi ca', K- Der vorhin bewiesene spezielle Fall unseres Satzes liefert dann die Proportionen

bez.

ah:r = ah

bc:r = bc' : / b„:r==bJ: r'

ac:r = ac :r aus diesen schließen wir mittels des distributiven Gesetzes

a : r = d : r, b : r = b' : / und folglich mit Rücksicht auf das kommutative Gesetz der Multiplikation

a :b = d :b\ Aus dem eben bewiesenen Satze 22 entnehmen wir leicht den Fun- damentalsatz in der Lehre von den Proportionen, der wie folgt lautet:

Satz 23. Schneiden zivei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels die Strecken a, b bez. d, V ab, so gilt die Proportion

a :b — d \V .

Umgekehrt, wenn vier Strecken a, b, d, b' diese Proportion erfüllen und a, d und b, b' je auf einem Schenkel eines beliebigen Winkels abgetragen werden, so sind die Verbindungsgeraden der Endpunkte von a, b bez. von d, V einander parallel.

§ 17.

Die Gleichungen der Geraden und Ebenen.

Zu dem bisherigen System von Strecken fügen wir noch ein zweites ebensolches System von Strecken hinzu; die Strecken des neuen Systems denken wir uns durch ein Merkzeichen kenntlich gemacht und nennen

Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 17.

37

sie dann „negative" Strecken zum Unterschiede von den bisher betrach- teten „positiven11 Strecken. Führen wir noch die durch einen einzigen Punkt bestimmte Strecke 0 ein, so gelten bei gehörigen Festsetzungen in dieser erweiterten Streckenrechnung sämtliche Rechnungsregeln für reelle Zahlen, die in § 13 zusammengestellt worden sind. Wir heben folgende spezielle Tatsachen hervor:

Es ist stets a • 1 — 1 • a — a.

Wenn ab = 0, so ist entweder a = 0 oder b = 0.

Wenn a>& und c > 0, so folgt stets ac>bc.

Wir nehmen nun in einer Ebene a durch einen Punkt 0 zwei zu- einander senkrechte Gerade als festes rechtwinkliges Achsenkreuz an und tragen dann die beliebigen Strecken x, y von 0 aus auf den beiden Geraden ab, und zwar nach der einen oder nach der anderen Seite hin, je nachdem die abzutragende Strecke x bez. y positiv oder negativ ist; sodann errichten wir die Lote in den Endpunkten der Strecken x, y und bestimmen den Schnittpunkt P dieser Lote: die Strecken x, y heißen die Koordinaten des Punktes P; jeder Punkt der Ebene a ist durch seine Koordinaten x, y, die positive oder negative Strecken oder 0 sein können, eindeutig bestimmt.

Es sei l irgend eine Gerade in der Ebene a, die durch 0 und durch einen Punkt C mit den Koordinaten a, b gehe. Sind dann x, y die Ko- ordinaten irgend eines Punktes von l, so finden wir leicht aus Satz 22

a : b — x : y oder

bx — ay = 0

als die Gleichung der

Geraden l. Ist V eine

zu l parallele Gerade, die

auf der £-Achse die Strecke c abschneidet, so gelangen wir zu der

Gleichung der Geraden V, indem wir in der Gleichung der Geraden l die

Strecke x durch die Strecke x — c ersetzen; die gewünschte Gleichung

lautet also

bx — ay — bc = 0.

Aus diesen Entwicklungen schließen wir leicht auf eine Weise, die von dem Archimedischen Axiom unabhängig ist, daß jede Gerade in einer Ebene durch eine lineare Gleichung in den Koordinaten x, y dargestellt

38 Kap. III. Die Lehre von den Proportionen. § 17.

wird und umgekehrt jede solche lineare Gleichung eine Gerade darstellt, wobei die Koeffizienten derselben in der betreffenden Geometrie vor- kommende Strecken sind.

Die entsprechenden Resultate beweist man ebenso leicht in der räumlichen Geometrie.

Der weitere Aufbau der Geometrie kann von nun an nach den Methoden geschehen, die man in der analytischen Geometrie gemeinhin anwendet.

Wir haben bisher in diesem Kapitel III das Archimedische Axiom nirgends benutzt; setzen wir jetzt die Gültigkeit desselben voraus, so können wir den Punkten einer beliebigen Geraden im Räume reelle Zahlen zuordnen und zwar auf folgende Art.

Wir wählen auf der Geraden zwei beliebige Punkte aus und ordnen diesen die Zahlen 0 und 1 zu; sodann halbieren wir die durch sie be- stimmte Strecke Ol und bezeichnen den entstehenden Mittelpunkt mit -§-, ferner den Mittelpunkt der Strecke 0^ mit \ u. s. w.; nach w-maliger Ausführung dieses Verfahrens gelangen wir zu einem Punkte, dem die

Zahl — zuzuordnen ist. Nun tragen wir die Strecke 0 — an den Punkt 0

sowohl nach der Seite des Punktes 1 als auch nach der anderen Seite hin etwa m mal hintereinander ab und erteilen den so entstehenden Punkten

die Zahlenwerte — bezw. — — . Aus dem Archimedischen Axiom kann

2n 2n

leicht geschlossen werden, daß auf Grund dieser Zuordnung sich jedem ■fc*v-Ai beliebigen Punkte der Geraden in eindeutig bestimmter Weise eine reelle Zahl zuordnen läßt und zwar so, daß dieser Zuordnung folgende Eigen- schaft zukommt: wenn A, B, C irgend drei Punkte der Geraden und bez. a, ß, y die zugehörigen reellen Zahlen sind und B zwischen A und G liegt, so erfüllen diese Zahlen stets entweder die Ungleichung a < ß < y oder a > ß > y.

Aus den Entwicklungen im Kap. II § 9 leuchtet ein, daß dort für jede Zahl, die dem algebraischen Zahlkörper Sl angehört, notwendig ein Punkt der Geraden existieren muß, dem sie zugeordnet ist. Ob auch jeder anderen reellen Zahl ein Punkt entspricht, hängt davon ab, ob in der vorgelegten Geometrie das Vollständigkeitsaxiom V 2 gilt oder nicht gilt. Dagegen ist es, auch wenn man nur die Gültigkeit des Archimedischen Axioms annimmt, stets möglich, das System von Punkten, Geraden und Ebenen so durch „irrationale" Elemente zu erweitern, daß auf jeder Geraden der entstehenden Geometrie jedem System von drei reellen Zahlen ohne Ausnahme ein Punkt zugeordnet ist. Durch gehörige Fest- setzung kann zugleich erreicht werden, daß in der erweiterten Geometrie

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 18. 39

sämtliche Axiome I— V gültig sind. Diese (durch Hinzufügung der irrationalen Elemente) erweiterte Geometrie ist keine andere als die ge- wöhnliche analytische Cartesische Geometrie des Raumes, in welcher auch das Vollständigkeitsaxiom V 2 gilt1).

Kapitel IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene.

§ 18. Die Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit von Polygonen.

Wir legen den Untersuchungen des gegenwärtigen Kapitels IV die- selben Axiome wie im Kapitel III zu Grunde, nämlich die linearen und ebenen Axiome sämtlicher Gruppen mit Ausnahme der Stetigkeitsaxiome, d. h. die Axiome I 1 — 3 und II— IV.

Die im Kapitel III erörterte Lehre von den Proportionen und die da- selbst eingeführte Streckenrechnung setzt uns in den Stand, die Euklidische Lehre von den Flächeninhalten mittels der genannten Axiome, d. h. in der Ebene und unabhängig von den Stetigkeitsaxiomen zu be- gründen.

Da nach den Entwicklungen im Kapitel III die Lehre von den Proportionen wesentlich auf dem Pascalschen Satze (Satz 21) beruht so gilt dies auch für die Lehre von den Flächeninhalten; diese Begrün- dung der Lehre von den Flächeninhalten erscheint mir als eine der merkwürdigsten Anwendungen des Pascalschen Satzes in der Elementar- geometrie.

Erklärung: Verbindet man zwei Punkte eines Polygons P durch irgend einen Streckenzug, der ganz im Innern des Polygons verläuft, so entstehen zwei neue Polygone P, und P2, deren innere Punkte alle im Innern von P liegen; wir sagen: P zerfällt in Px und P2, oder Px und P2 setzen P zusammen.

Erklärung. Zwei Polygone heißen zerlegungsgleich, wenn sie in eine endliche Anzahl von Dreiecken zerlegt werden können, die paar- weise einander kongruent sind.

Erklärung. Zwei Polygone heißen inhaltsgleich oder von gleichem Inhalte, wenn es möglich ist, zu denselben zerlegungsgleiche Polygone

1) Vgl. die Bemerkungen am Schluß von § 8.

40

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 18.

hinzuzufügen, so daß die beiden zusammengesetzten Polygone einander zerlegungsgleich sind.

Aus den letzteren Erklärungen folgt sofort: durch Zusammenfügung zerlegungsgleicher Polygone entstehen wieder zerlegungsgleiche Poly- gone, und wenn man zerlegungsgleiche Polygone von zerlegungsgleichen Polygonen wegnimmt, so sind die übrigbleibenden Polygone inhalts- gleich.

Ferner gelten folgende Sätze:

Satz 24. Sind zwei Polygone Pt und P2 mit einem dritten Po- lygon P3 zerlegungsgleich, so sind sie auch untereinander zerlegungs- gleich. Sind zwei Polygone mit einem dritten inhaltsgleich, so sind sie untereinander inhaltsgleich.

Beweis. Nach Voraussetzung läßt sich sowohl für Pu als auch für P2 eine Zerlegung in Dreiecke angeben, so daß einer jeden dieser

beiden Zerlegungen je eine Zerlegung des Polygons P3 in kongruente Dreiecke entspricht. Indem wir diese Zerlegungen von P3 gleichzeitig in Betracht ziehen, wird im allgemeinen jedes Dreieck der einen Zerlegung durch Strecken, welche der anderen Zerlegung angehören, in Polygone zerlegt. Wir fügen nun noch so viele Strecken hinzu, daß jedes dieser Polygone selbst wieder in Dreiecke zerfällt, und bringen dann die zwei entsprechenden Zerlegungen in Dreiecke in Px und in P2 an; dann zer- fallen offenbar diese beiden Polygone Pt und P2 in gleich viele paar- weise einander kongruente Dreiecke und sind somit nach der Erklärung einander zerlegungsgleich.

Der Beweis der zweiten Aussage des Satzes 24 ergibt sich nunmehr ohne Schwierigkeit.

Wir erklären in der üblichen Weise die Begriffe: Rechteck, Grund- linie und Höhe eines Pardllelogrammes, Grundlinie und Höhe eines Dreiecks.

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 19. 41

§ 19. Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe.

Die bekannte in den untenstehenden Figuren illustrierte Schlußweise Euklids liefert den Satz:

Satz 25. Zwei Parallelogramme mit gleicher Grundlinie und Höhe sind einander inhaltsgleich.

Ferner gilt die bekannte Tatsache:

Satz 26. Ein jedes Dreieck ABC ist stets einem gewissen Parallelo- gramm mit gleicher Grundlinie und halber Höhe zerlegungsgleich.

Beweis. Halbiert man AC in B und BC in E und verlängert dann DE um sich selbst bis F, so sind die Dreiecke BEC und FBE einander kongruent und folglich

sind Dreieck A B C und Parallelogramm ^41? i<7_D / \ /

einander inhaltsgleich. / ]/

Aus Satz 25 und Satz 26 folgt mit Hin- zuziehung von Satz 24 unmittelbar:

Satz 27. Zwei Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe sind einander inhaltsgleich.

Bekanntlich zeigt man leicht, daß zwei Dreiecke mit gleicher Grund- linie und Höhe auch stets zerlegungsgleich sind. Wir bemerken jedoch, daß dieser Nachweis ohne Benutzung des Archimedischen Axioms nicht mög- lich ist; in der Tat lassen sich in unserer Nicht- Archimedischen Geo- metrie (vgl. Kap. II § 12) ohne Schwierigkeit zwei solche Dreiecke an- geben, die gleiche Grundlinie und Höhe besitzen und folglich dem Satze 27 entsprechend inhaltsgleich, aber die dennoch nicht zerlegungsgleich sind. Als Beispiel mögen zwei Dreiecke ABC und ABB mit der ge- meinsamen Grundlinie AB = 1 und der gleichen Höhe 1 dienen, wenn die Spitze C des ersteren Dreiecks senkrecht über A und im zweiten Dreiecke der Fußpunkt F der von der Spitze B gefällten Höhe so ge- legen ist, daß AF = t wird.

Wir erwähnen noch den leicht zu beweisenden Satz:

Satz 28. Zu einem beliebigen Dreiecke und mithin auch zu einem

42 Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 19, 20

beliebigen Polygon kann stets ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden, das eine Kathete 1 besitzt und das mit dem Dreiecke bez. Po- lygon inhaltsgleich ist.

Auch die übrigen Sätze aus der elementaren Geometrie über die Inhaltsgleichheit von Polygonen, insbesondere der Pythagoräische Lehr- satz sind leichte Folgerungen der eben aufgestellten Sätze. Wir begegnen aber dennoch bei der weiteren Durchführung der Theorie der Flächen- inhalte einer wesentlichen Schwierigkeit. Insbesondere lassen es unsere bisherigen Betrachtungen dahingestellt, ob nicht etwa alle Polygone stets einander inhaltsgleich sind. In diesem Falle wären die sämtlichen vorhin aufgestellten Sätze nichtssagend und ohne Bedeutung. Hiermit hängt die Frage zusammen, ob zwei inhaltsgleiche Rechtecke mit einer gemein- schaftlichen Seite auch notwendig in der anderen Seite übereinstimmen, d. h., ob ein Rechteck durch eine Seite und den Flächeninhalt eindeutig bestimmt ist.

Wie die nähere Überlegung zeigt, bedarf man zur Beantwortung der aufgeworfenen Fragen der Umkehrung des Satzes 27, die folgender- maßen lautet:

Satz 29. Wenn zwei inhaltsgleiche Dreiecke gleiche Grundlinie haben, so haben sie auch gleiche Höhe.

Dieser fundamentale Satz 29 findet sich im ersten Buch der Elemente des Euklid als 39ster Satz; beim Beweise desselben beruft sich jedoch Euldid auf den allgemeinen Größensatz: „Kai tö olov tov [isgovg iielt,6v itfTLv" — ein Verfahren, welches auf die Einführung eines neuen geo- metrischen Axioms über Flächeninhalte hinausläuft.

Es gelingt nun, den Satz 29 und damit die Lehre von den Flächen- inhalten auf dem hier von uns in Aussicht genommenen Wege, d. h. lediglich mit Hilfe der ebenen Axiome ohne Benutzung des Archimedischen Axioms zu begründen. Um dies einzusehen, haben wir den Begriff des Inhaltsmaßes nötig.

§ 20. Das Inhaltsmaß von Dreiecken nnd Polygonen.

Erklärung: Wenn wir in einem Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c die beiden Höhen ha = AD, hb = JBE konstruieren, so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BCE und ACD nach Satz 22 die Proportion

a:hb = b:ha, d. h.

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 20.

43

mithin ist in jedem Dreiecke das Produkt aus einer Grundlinie und der zu ihr gehörigen Höhe davon unabhängig, welche Seite des Dreiecks man als Grundlinie wählt. Das halbe Produkt aus Grundlinie und Höhe eines Dreiecks z/ ist also eine für das Dreieck charakteristische Strecke; sie heiße das InJidltsmaß des Drei- ecks z/ und werde mit J (z/) bezeichnet.

Erklärung. Eine Strecke, welche eine Ecke eines Dreiecks mit einem Punkte der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißt Transversale des Dreiecks; dieselbe zerlegt das Dreieck in zwei Dreiecke mit gemeinsamer Höhe, deren Grundlinien in dieselbe Gerade fallen; eine solche Zerlegung heiße eine transversale Zerlegung des Dreiecks.

Satz 30. Wenn ein Dreieck z/ durch beliebige Gerade irgendwie in eine gewisse endliche Anzahl von Dreiecken zlk zerlegt wird, so ist stets das Inhaltsmaß des Dreiecks z/ gleich der Summe der Inhaltsmaße der sämtlichen Dreiecke zlk.

Beweis. Aus dem distributiven Gesetze in unserer Streckenrech- nung folgt unmittelbar, daß das Inhaltsmaß eines beliebigen Dreiecks gleich der Summe der Inhaltsmaße zweier solcher Dreiecke ist, die durch irgendwelche transversale Zerlegung aus jenem Dreieck hervorgehen. Die wiederholte Anwendung dieser Tatsache zeigt, daß das Inhaltsmaß eines beliebigen Dreiecks auch gleich der Summe der Inhaltsmaße der sämtlichen Drei- ecke ist, die aus dem vorgelegten Dreiecke entstehen, wenn man nacheinander beliebig viele transversale Zerlegungen ausführt.

Um nun den entsprechenden Nachweis für die beliebige Zerlegung des Dreiecks z/ in Drei- ecke Ak zu erbringen, ziehen wir von der einen Ecke A des Dreieckes z/ durch jeden Teilpunkt der Zerlegung, d. h. durch jeden Eckpunkt der Dreiecke Ak eine Transversale; durch diese Trans- versalen zerfällt das Dreieck z/ in gewisse Drei- ecke z/r Jedes dieser Dreiecke At zerfällt durch die Teilstrecken der gegebenen Zerlegung in gewisse Dreiecke und Vierecke. Wenn wir in A1 den Vierecken noch je eine Diagonale kon- struieren, so zerfällt jedes Dreieck At in gewisse Dreiecke Ats. Wir wollen nun zeigen, daß die Zerlegung in Dreiecke Ju sowohl für die Dreiecke At

44 Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 20.

als auch für die Dreiecke /ik nichts anderes als eine Kette von transver- salen Zerlegungen bedeutet.

In der Tat, zunächst ist klar, daß jede Zerlegung eines Dreiecks in Teildreiecke stets durch eine Reihe von transversalen Zerlegungen be- wirkt werden kann, wenn bei der Zerlegung im Inneren des Dreiecks keine Teilpunkte liegen und überdies wenigstens eine Seite des Dreiecks von Teilpunkten frei bleibt.

Nun ist für die Dreiecke dt unsere Behauptung aus dem Umstände ersichtlich, daß für jedes derselben das Innere sowie eine Seite, nämlich die dem Punkte A gegenüberliegende Seite von weiteren Teilpunkten frei ist.

Aber auch für jedes zfk ist die Zerlegung in Au auf transversale Zerlegungen zurückführbar. Betrachten wir nämlich ein Dreieck zJk, so wird es unter den von A ausgehenden Transversalen im Dreieck A eine bestimmte Transversale geben, in welche entweder eine Seite von /ik hineinfällt oder welche selbst das Dreieck /ik in zwei Dreiecke zerlegt. Im ersten Falle bleibt die betreffende Seite des Dreiecks Ak überhaupt frei von weiteren Teilpunkten bei der Zerlegung in Dreiecke z/,s; im letzteren Falle ist die im Inneren des Dreiecks /Jk verlaufende Strecke jener Transversalen in den beiden entstehenden Dreiecken eine Seite, die bei der Teilung in Dreiecke <dts von weiteren Teilpunkten gewiß frei bleibt.

Nach der am Anfang dieses Beweises angestellten Betrachtung ist das Inhaltsmaß J(z/) des Dreiecks z/ gleich der Summe aller Inhalts- maße J {/!}) der Dreiecke z/,, und diese Summe ist gleich der Summe aller Inhaltsmaße J(zlts). Andererseits ist auch die Summe über die Inhaltsmaße J (z/A.) aller Dreiecke /lk gleich der Summe aller Inhalts- maße J(Ats), und hieraus folgt endlich, daß das Inhaltsmaß J '(z/) auch gleich der Summe aller Inhaltsmaße J(<4k) ist. Damit ist der Beweis des Satzes 30 vollständig erbracht.

Erklärung. Definieren wir das Inhaltsmaß J (P) eines Polygons als die Summe der Inhaltsmaße aller Dreiecke, in die dasselbe bei einer bestimmten Zerlegung zerfällt, so erkennen wir auf Grund des Satzes 30 durch eine ähnliche Schlußweise, wie wir sie in § 18 beim Beweise des Satzes 24 angewandt haben, daß das Inhaltsmaß eines Polygons von der Art der Zerlegung in Dreiecke unabhängig ist und mithin allein durch das Polygon sich eindeutig bestimmt. Aus dieser Erklärung entnehmen wir vermittels des Satzes 30 die Tatsache, daß zerlegungsgleiche Polygone gleiches Inhaltsmaß haben.

Sind ferner P und Q zwei inhaltsgleiche Polygone, so muß es nach der Erklärung zwei zerlegungsgleiche Polygone P' und Q' geben, so daß

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 20, 21. 45

das aus P und P' zusammengesetzte Polygon (P + P') mit dem aus Q und Q' zusammengesetzten Polygon (Q + $') zerlegungsgleich ausfällt. Aus den beiden Gleichungen

J{P+P') = J{Q+Q'),

J(P') = J(Q') schließen wir leicht

J(P) = J(Q),

d. h. inhaltsgleiche Polygone haben gleiches Inhaltsraaß.

§ 21.

Die Inhaltsgleichheit und das Inhaltsmaß.

In § 20 haben wir gefunden, daß inhaltsgleiche Polygone stets

gleiches Inhaltsmaß haben. Aus dieser Tatsache entnehmen wir un-

mittelbar den Beweis des Satzes 29. Bezeichnen wir nämlich die gleiche

Grundlinie der beiden Dreiecke mit g, die zugehörigen Höhen mit h

und h', so schließen wir aus der angenommenen Inhaltsgleichheit der

beiden Dreiecke, daß dieselben auch gleiches Inhaltsmaß haben müssen,

d. h. es folgt:

±gh - Igh'

und mithin nach Division durch \g

h = h'\

dies ist die Aussage des Satzes 29.

Auch läßt sich nunmehr die am Schluß von § 20 gemachte Aussage umkehren. In der Tat, seien P und Q zwei Polygone mit gleichem Inhaltsmaß, so konstruieren wir gemäß Satz 28 zwei rechtwinklige Drei- ecke A und E, von denen jedes eine Kathete 1 besitzt und so daß das Dreieck A mit dem Polygon P und das Dreieck JE mit dem Polygon Q inhaltsgleich ist. Aus dem am Schluß von § 20 bewiesenen Satze folgt dann, daß A mit P und ebenso E mit Q gleiche Inhaltsmaße haben. Wegen des gleichen Inhaltsmaßes von P und Q folgt hieraus, daß auch A und E gleiches Inhaltsmaß haben. Da nun diese beiden rechtwinkligen Dreiecke in der Kathete 1 übereinstimmen, so stimmen notwendig auch ihre anderen Katheten überein, d. h. die beiden Dreiecke A und E sind einander kongruent und mithin sind nach Satz 24 die beiden Polygone P und Q einander inhaltsgleich.

Die beiden in diesem und dem vorigen Paragraph gefundenen Tat- sachen fassen wir in den folgenden Satz zusammen:

Satz 31. Zum inhaltsgleiche Polygone haben stets das gleiche Inhalts- maß und zwei Polygone mit gleichem Mialtsmaß sind stets einander inhaltsgleich.

46

Kap. IV. Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene. § 21.

Insbesondere müssen zwei inhaltsgleiche Rechtecke mit einer gemein- samen Seite auch in den anderen Seiten übereinstimmen. Auch folgt der Satz:

Satz 32. Zerlegt man ein Rechteck durch Gerade in mehrere Drei- ecke und läßt auch nur eines dieser Dreiecke fort, so kann man mit den übrigen Dreiecken das Rechteck nicht mehr ausfüllen1).

Dieser Satz ist von de Zolt2) und von 0. Stolz5) als Axiom hingestellt und von F. Schur*) und W. Killingb) mit Hilfe des Archimedischen Axioms bewiesen worden. Im vorstehenden ist gezeigt, daß derselbe völlig unabhängig von dem Archimedischen Axiom gilt.

Zum Beweise der Sätze 29, 30, 31 haben wir wesentlich die in Kapitel III § 15 eingeführte Streckenrechnung benutzt, und da diese im wesentlichen auf dem Pascalschen Satze (Satz 21) beruht, so erweist sich für die Lehre von den Flächeninhalten der Pascalsche Satz als der wich- tigste Baustein.

Wir erkennen leicht, daß auch umgekehrt aus den Sätzen 27 und 29 der Pascalsche Satz wieder gewonnen werden kann. In der Tat, aus der

Parallelität der Geraden CB> und C B folgt nach Satz 27 die Inhaltsgleichheit der Drei- ecke OBB' und OCC; eben- so folgt aus der Parallelität der Geraden CA und AC die Inhaltsgleichheit der Drei- ecke OAA und OCC Da hiernach auch die Dreiecke OAA und OBB' einander inhaltsgleich sind, so ergibt Satz 29, daß auch BA' zu AB' parallel sein muß.

Von zwei nicht inhaltsgleichen Polygonen P und Q nennen wir P inhaltskleiner bez. inhaltsgrößer als Q, je nachdem das Inhaltsmaß J (P) kleiner oder größer als J (Q) ausfällt. Es ist nach dem vorstehenden klar, daß die Begriffe inhaltsgleich, inhaltskleiner und inhaltsgrößer sich gegen-

1) Hinsichtlich der merkwürdigen Rolle, die dieser Satz 32 behufs Ergänzung der sogenannten „Kongruenzsätze im engeren Sinne" spielt, vergleiche man den Schluß von Anhang II S. 105—106.

2) Principii della eguaglianza di polizoni preceduti da alcuni critici sulla teoria della equivalenza geometrica. Milano, Briola 1881. Vgl. auch Principii della eguaglianza di poliedri e di polizoni sferici. Milano, Briola 1883.

3) Monatshefte für Math, und Phys., Jahrgang 5, 1894.

4) Sitzungsberichte der Dorpater Naturf. Ges. 1892.

5) Grundlagen der Geometrie, Bd. 2, Abschnitt 5, § 5, 1898.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 22. 47

seitig ausschließen. Ferner erkennen wir leicht, daß ein Polygon, welches ganz im Inneren eines anderen Polygons liegt, stets inhaltskleiner als dieses sein muß.

Hiermit haben wir die wesentlichen Sätze der Lehre von den Flächen- inhalten in der Ebene begründet.

Bereits Gauß hat die Aufmerksamkeit der Mathematiker auf die ent- sprechende Frage für den Raum gelenkt. Ich habe die Vermutung der Unmöglichkeit einer analogen Begründung der Lehre von den Inhalten im Räume ausgesprochen und die bestimmte Aufgabe1) gestellt, zwei Tetraeder mit gleicher Grundfläche und von gleicher Höhe anzugeben, die sich auf keine Weise in kongruente Tetraeder zerlegen lassen, und die sich auch durch Hinzufügung kongruenter Tetraeder nicht zu solchen Polyedern ergänzen lassen, für die ihrerseits eine Zerlegung in kongruente Tetraeder möglich ist.

M. Dehn2) ist dieser Nachweis in der Tat gelungen; er hat damit in strenger Weise die Unmöglichkeit dargetan, die Lehre von den räumlichen Inhalten so zu begründen, wie dies im vorstehenden für die ebenen Inhalte geschehen ist.

Hiernach wären zur Behandlung der analogen Fragen für den Raum andere Hilfsmittel, etwa das Cavalierische Prinzip heranzuziehen.

Kapitel V. Der Desarguessche Satz.

§ w.

Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der Ebene

mit Hilfe der Kongruenzaxiome.

Von den im Kapitel I aufgestellten Axiomen sind diejenigen der Gruppen II — V sämtlich teils lineare, teils ebene Axiome; die Axiome 4 — 8 der Gruppe I sind die einzigen räumlichen Axiome. Um die Be- deutung dieser räumlichen Axiome klar zu erkennen, denken wir uns irgend eine ebene Geometrie vorgelegt und untersuchen allgemein die Bedingungen dafür, daß diese ebene Geometrie sich als Teil einer räum- lichen Geometrie auffassen läßt, in welcher die Axiome der Gruppen I— II, IV sämtlich erfüllt sind.

1) Vgl. meinen Vortrag „Mathematische Prohleme" Nr. 3.

2) Über raumgleiche Polyeder, Göttinger Nachr. 1900, sowie Über den Raum- inhalt, Math. Ann. Bd. 55. 1902. Vgl. ferner Kagan, Math. Ann. Bd. 57.

48 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 22.

Auf Grund der Axiome der Gruppen I — II, IV ist es bekanntlich leicht möglich, den sogenannten Desarguesschen Satz zu beweisen; derselbe ist ein ebener Schnittpunktsatz. Wir nehmen insbesondere die Gerade, auf der die Schnittpunkte entsprechender Seiten der beiden Dreiecke liegen sollen, zur „Unendlichfernen", wie man sagt, und bezeichnen den so ent- stehenden Satz nebst seiner Umkehrung schlechthin als Desarguesschen Satz; dieser Satz lautet wie folgt:

Satz 33. (Desarguesscher Satz.) Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene so gelegen sind, daß je zwei entsprechende Seiten einander parallel sind, so laufen die Verbindungslinien der entsprechenden Ecken durch ein und denselben Punkt oder sind einander parallel, und umgekehrt:

Wenn zwei Dreiecke in einer Ebene so gelegen sind, daß die Ver- bindungslinien der entsprechenden Ecken durch einen Punkt laufen oder

einander parallel sind, und wenn ferner zwei Paare entsprechender Seiten in den Dreiecken parallel sind, so sind auch die dritten Seiten der beiden Dreiecke ein- ander parallel.

Wie bereits erwähnt, ist der Satz 33 eine Folge der Axiome I, II, IV; dieser Tatsache gemäß ist die Gültigkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene jedenfalls eine notwendige Be- dingung dafür, daß die Geometrie dieser Ebene sich als Teil einer räum- lichen Geometrie auffassen läßt, in welcher die Axiome der Gruppen I, II, IV sämtlich erfüllt sind.

Wir nehmen nun wie in den Kapiteln III und IV eine ebene Geometrie an, in welcher die Axiome I 1 — 3 und II — IV gelten, und denken uns in derselben nach § 15 eine Streckenrechnung eingeführt: dann läßt sich, wie in § 17 dargelegt worden ist, jedem Punkte der Ebene ein Paar von Strecken (x, y) und jeder Geraden ein Verhältnis von drei Strecken (u : v : w), wobei u, v nicht beide Null sind, zuordnen derart, daß die lineare Gleichung

ux + vy -j- w = 0

die Bedingung für die vereinigte Lage von Punkt und Gerade darstellt. Das System aller Strecken in unserer Geometrie bildet nach § 17 einen Zahlenbereich, für welchen die in § 13 aufgezählten Eigenschaften 1 — 16 bestehen, und wir können daher mittels dieses Zahlenbereiches, ähnlich wie es in § 9 oder § 12 mittels des Zahlensystems £1 bez. Sl (f) geschehen ist, eine räumliche Geometrie konstruieren: wir setzen zu dem Zwecke

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 22, 23. 49

fest, daß ein System von drei Strecken (x, y} z) einen Punkt, die Ver- hältnisse von vier Strecken (u : v : w : r) eine Ebene darstellen möge, während die Geraden als Schnitte zweier Ebenen definiert sind; dabei drückt die lineare Gleichung

ux + vy + w£ -f r = 0

aus, daß der Punkt (x,y,z) auf der Ebene (u : v : w : r) liegt. Was end- lich die Anordnung der Punkte auf einer Geraden oder der Punkte einer Ebene in Bezug auf eine Gerade in ihr oder endlich die Anordnung der Punkte in Bezug auf eine Ebene im Räume anbetrifft, so wird diese in analoger Weise durch Ungleichungen zwischen Strecken bestimmt, wie dies in § 9 für die Ebene geschehen ist.

Da wir durch das Einsetzen des Wertes e = 0 die ursprüngliche ebene Geometrie wieder gewinnen, so erkennen wir, daß unsere ebene Geometrie als Teil einer räumlichen Geometrie betrachtet werden kann. Nun ist hierfür die Gültigkeit des Desarguesschen Satzes nach den obigen Ausführungen eine notwendige Bedingung, und daher folgt, daß in der angenommenen ebenen Geometrie auch der Desarguessche Satz gelten muß.

Wir bemerken, daß die eben gefundene Tatsache sich auch direkt aus dem Satze 23 in der Lehre von den Proportionen ohne Mühe ab- leiten läßt.

§ 23.

Die Nichtbeweisbarkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene ohne Hilfe der Kongruenzaxiome.

Wir untersuchen nun die Frage, ob in der ebenen Geometrie auch ohne Hilfe der Kongruenzaxiome der Desarguessche Satz bewiesen werden kann, und gelangen dabei zu folgendem Resultate:

Satz 34. Es gibt eine ebene Geometrie, in welcher die Axiome I 1 — 3, II, III 1 — 5, IV, V, d. h. sämtliche linearen und ebenen Axiome mit Aus- nahme des Kongruenzaxioms III 6 erfüllt sind, während der Desarguessche Satz (Satz 32) nicht gilt. Der Desarguessche Satz Jcann mithin aus den genannten Axiomen allein nicht gefolgert werden: es bedarf zum Beweise desselben notwendig entweder der räumlichen Axiome oder des Axioms III 6 über die Kongruenz der Dreiecke.

Beweis. Wir wählen in der gewöhnlichen ebenen Geometrie, deren Möglichkeit bereits im Kapitel II § 9 erkannt worden ist, irgend zwei zu einander senkrechte Gerade als Koordinatenachsen X, Y und denken uns um den Nullpunkt 0 dieses Koordinatensystems als Mittelpunkt eine Ellipse z. B. mit den Halbachsen 1 und -\ konstruiert; endlich bezeichnen wir

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 4

50 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23.

mit F den Punkt, welcher in der Entfernung f von 0 auf der positiven X-Achse liegt.

Wir fassen nun die Gesamtheit aller Kreise ins Auge, welche die Ellipse in vier reellen — getrennten oder beliebig zusammenfallenden — Punkten schneiden, und suchen unter allen auf diesen Kreisen gelegenen Punkten denjenigen Punkt zu bestimmen, der auf der positiven X-Achse am weitesten vom Nullpunkt entfernt ist. Zu dem Zwecke gehen wir von einem beliebigen Kreise aus, der die Ellipse in vier Punkten schneidet und die positive X-Achse im Punkte C treffen möge. Diesen Kreis denken wir uns dann um den Punkt C derart gedreht, daß zwei von den vier Schnittpunkten oder mehr in einen einzigen Punkt A zusammenfallen, während die übrigen reell bleiben. Der so entstehende Berührungskreis werde alsdann vergrößert derart, daß stets der Punkt A Berührungspunkt mit der Ellipse bleibt; hierdurch gelangen wir notwendig zu einem Kreise, der die Ellipse entweder noch in einem anderen Punkte B be- rührt oder in A mit der Ellipse eine vierpunktige Berührung aufweist und der überdies die positive X-Achse in einem entfernteren Punkte als C trifft. Der gesuchte entfernteste Punkt wird sich demnach unter denjenigen Punkten befinden, die von den doppeltberührenden außerhalb der Ellipse verlaufenden Kreisen auf der positiven X-Achse ausgeschnitten werden. Die doppeltberührenden außerhalb der Ellipse verlaufenden Kreise liegen nun, wie man leicht sieht, sämtlich zur Y- Achse symmetrisch. Es seien a, b die Koordinaten irgend eines Punktes der Ellipse: dann lehrt eine leichte Rechnung, daß der in diesem Punkte berührende zur Y-Achse symmetrische Kreis auf der positiven X-Achse die Strecke

x=\yi+ 3Ö2|

abschneidet. Der größtmögliche Wert dieses Ausdrucks tritt für b = *- ein und wird somit gleich ■§• | yl | , Da der vorhin mit F bezeichnete Punkt auf der X-Achse die Abscisse f h> -£ | "|/7 r| aufweist, so folgt, daß unter den die Ellipse viermal treffenden Kreisen sich gewiß keiner befindet, der durch den Punkt F läuft.

Nunmehr stellen wir uns eine neue ebene Geometrie in folgender Weise her. Als Punkte der neuen Geometrie nehmen wir die Punkte der X Y- Ebene; als Gerade der neuen Geometrie nehmen wir diejenigen Geraden der XY-Ebene unverändert, welche die feste Ellipse berühren oder gar nicht treffen; ist dagegen g eine Gerade der XY-Ebene, die die Ellipse in zwei Punkten P und Q trifft, so konstruieren wir durch P, Q und den festen Punkt F einen Kreis; dieser Kreis hat, wie aus dem oben Bewiesenen hervorgeht, keinen weiteren Punkt mit der Ellipse gemein. Wir denken uns nun an Stelle des zwischen P und Q innerhalb

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23.

51

der Ellipse gelegenen Stückes der Geraden g denjenigen Bogen des eben konstruierten Kreises gesetzt, der zwischen P und Q innerhalb der Ellipse verläuft. Den Linienzug, welcher aus den beiden von P und Q aus- gehenden unendlichen Stücken der Geraden g und dem eben konstruierten Kreisbogen PQ besteht, nehmen wir als Gerade der neu herzustellenden Geometrie. Denken wir uns für alle Geraden der XY-Ebene die ent- sprechenden Linienzüge konstruiert, so entsteht ein System von Linien-

zügen, welche, als Gerade einer Geometrie aufgefaßt, offenbar den Axiomen I 1 — 2 und III genügen. Bei Festsetzung der natürlichen An- ordnung für die Punkte und Geraden in unserer neuen Geometrie er- kennen wir unmittelbar, daß auch die Axiome II gültig sind.

Ferner nennen wir zwei Strecken AB und AB' in unserer neuen Geometrie kongruent, wenn der zwischen A und B verlaufende Linienzug die gleiche natürliche Länge hat, wie der zwischen A' und B' verlaufende Linienzug.

Endlich bedürfen wir einer Festsetzung betreffs der Kongruenz der Winkel. Sobald keiner von den Scheiteln der zu vergleichenden Winkel

52

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23.

auf der Ellipse liegt, nennen wir zwei Winkel einander kongruent, wenn sie im gewöhnlichen Sinne einander gleich sind. Im anderen Falle treffen wir folgende Festsetzung. Es mögen die Punkte A, B, G in dieser Reihen- folge und die Punkte Ä, B', C in dieser Reihenfolge je auf einer Geraden unserer neuen Geometrie liegen; D sei ein Punkt außerhalb der Geraden ABC und I)' ein Punkt außerhalb der Geraden A'B'C: dann mögen für die Winkel zwischen diesen Geraden in unserer neuen Geometrie die Kongruenzen

$:abd = $:äb'd' und <£Cbd = cb'd'

gelten, sobald für die natürlichen Winkel zwischen den entsprechenden Linienzügen in der gewöhnlichen Geometrie die Proportion

<£ ABB : <$: CBB = £ ÄB'B' : <£ C 'B ' B'

erfüllt ist. Bei diesen Festsetzungen sind auch die Axiome III 1 — 5 und V gültig.

Um einzusehen, daß in unserer neu hergestellten Geometrie der Desarguessche Satz nicht gilt, betrachten wir folgende drei gewöhnliche

gerade Linien in der XF-Ebene: die X-Achse, die Y-Achse und die Gerade, welche die beiden Ellipsenpunkte x — •£ , y = f und x = — | , ?/ = — f mit einander verbindet. Da diese drei gewöhn- lichen geraden Linien durch den Nullpunkt 0 laufen, so können wir leicht zwei solche Dreiecke angeben, deren Ecken bez. auf jenen drei Geraden liegen, deren entsprechende Seiten paarweise einander parallel laufen und die sämtlich außerhalb der Ellipse ge- legen sind. Da die Linienzüge, welche aus den genannten drei geraden Linien entspringen, sich, wie die Figur auf S. 53 zeigt und wie man leicht durch Rechnung bestätigt, nicht in einem Punkte treffen, so folgt, daß der Desarguessche Satz in der neuen ebenen Geometrie für die beiden vorhin konstruierten Dreiecke gewiß nicht gilt.

Die von uns hergestellte ebene Geometrie dient zugleich als Beispiel einer ebenen Geometrie, in welcher die Axiome I 1 — 3, II, III 1 — 5, IV, V

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 23, 24.

53

gültig sind, und die sich doch nicht als Teil einer räumlichen Geo- metrie auffassen läßt.

§ 24.

Einführung einer Streckenrechnung ohne Hilfe der Kongruenzaxiome auf Grund des Desarguesschen Satzes.

Um die Bedeutung des Desarguesschen Satzes (Satz 33) vollständig zu erkennen, legen wir eine ebene Geometrie zu Grunde, in welcher die Axiome I 1 — 3, II, IV, d. h. die sämtlichen linearen und ebenen Axiome außer den Kongruenz- und Stetigkeitsaxiomen gültig sind, und führen in diese Geometrie unabhängig von den Kongruenzaxiomen auf fol- gende Weise eine neue Streckenrechnung ein.

Wir nehmen in der Ebene zwei feste Geraden an, die sich in dem Punkte 0 schneiden mögen, und rechnen im folgenden nur mit solchen Strecken, deren Anfangspunkt 0 ist und deren Endpunkte auf einer dieser beiden festen Geraden beliebig liegen. Auch den Punkt 0 allein bezeichnen wir als Strecke und nennen ihn dann die Strecke 0, in Zeichen

00 = 0 oder 0=00.

Es seien E und E' je ein bestimmter Punkt auf den festen Geraden durch 0; dann bezeichnen wir die beiden Strecken OE und OE' als die Strecken 1, in Zeichen:

OE = OE' = 1 oder 1 = OE = OE'.

54

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 24.

CL+b,C',

Die Gerade EE' nennen wir kurz die Einheitsgerade. Sind ferner A und Ä Punkte auf den Geraden OE bez. OE' und läuft die Verbindungs- gerade AA' parallel zu EE', so nennen wir die Strecken OA und OA einander gleich, in Zeichen:

OA^OA' oder OA' = OA.

Um zunächst die Summe der Strecken a = OA und b = OB zu de- finieren, konstruiere man AÄ parallel zur Einheitsgeraden EE' und ziehe

sodann durch Ä eine Parallele zu OE und durch B eine Parallele zu OE'. Diese beiden Parallelen mögen sich in A" schneiden. Endlich ziehe man durch A" zur Einheitsgeraden EE' eine Parallele; dieselbe treffe die festen Geraden OE und OE' in C und C: dann heiße c= 0C= OC die Summe der Strecke a = OA mit der Strecke b = OB, in Zeichen: c = a -\-b oder a -\-b = c.

Um das Produkt einer Strecke a = 0 A in eine Strecke b = OB zu definieren, bedienen wir uns genau der in § 15 angegebenen Konstruktion,

nur daß an Stelle der

ccb,C

Schenkel des rechten Winkels hier die bei- den festen Geraden OE und OE' treten. Die Konstruktion ist dem- nach folgende. Man bestimme auf OE' den Punkt Ä, so daß AA' parallel der Einheits- geraden EE' wird, verbinde E mit A' und ziehe durch B eine Parallele zu EA'] trifft diese Parallele die feste Gerade OE' im Punkte C, so heißt c = OC das Produkt der Strecke a = OA in die Strecke b = OB, in Zeichen:

c = ab oder ab = c.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 25.

55

§ 25.

Das konmmtative und assoziative Gesetz der Addition in der neuen

Streckenrechnung.

Wir untersuchen jetzt, welche von den in § 13 aufgestellten Rech- nungsgesetzen für unsere neue Streckenrechnung gültig sind, wenn wir eine ebene Geometrie zu Grunde legen, in der die Axiome I 1 — 3, II — IV erfüllt sind und überdies der Desarguessche Satz gilt.

Vor allem wollen wir beweisen, daß für die in § 24 definierte Addi- tion der Strecken das kommutative Gesetz

a -\-b = b -\- a gilt. Es sei

a = 0 A = OÄ,

& = OB= OB',

wobei unserer Festsetzung entsprechend AÄ und BB' der Einheitsgeraden parallel sind. Nun konstruieren wir die Punkte Ä' und B", indem wir ÄÄ' sowie B'B" parallel OA und ferner AB" und BA" parallel OÄ ziehen; wie man sofort sieht, sagt dann unsere Be- hauptung aus, daß die Verbindungslinie Ä'B" parallel mit A A' läuft. Die Rich- tigkeit dieser Behauptung erkennen wir auf Grund des Desarguesschen Satzes (Satz 32) wie folgt. Wir bezeichnen den Schnittpunkt von AB" und ÄÄ' mit F und den Schnittpunkt von BA" und B'B" mit Dj dann sind in den Drei- ecken AÄF und BB'D die entsprechenden Seiten einander parallel. Mittels des Desarguesschen Satzes schließen wir hieraus, daß die drei Punkte 0, F, D in einer Geraden liegen. Infolge dieses Umstandes liegen die beiden Dreiecke OAÄ und DB'Ä" derart, daß die Verbindungs- linien entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt F laufen und da überdies zwei Paare entsprechender Seiten, nämlich OA und DB" sowie OÄ und DA" einander parallel sind, so laufen nach der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes (Satz 32) auch die dritten Seiten AÄ und B'Ä' einander parallel.

Zum Beweise des assoziativen Gesetzes der Addition

a + (b + c) = (a + b) + c

dient die Figur auf S. 56. Mit Berücksichtigung des eben bewiesenen

56

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 25, 26.

CL+b+C

cv c cz+ft j)+c

a + (6 + c) = (o + b) + c

kommutativen Gesetzes der Ad- dition spricht sich die obige Behauptung, wie man sieht, darin aus, daß die Gerade A"B" parallel der Einheitsgeraden ver- laufen muß. Die Richtigkeit die- ser Behauptung ist offenbar, da der schraffierte Teil dieser Figur mit der vorhergehenden Figur genau übereinstimmt.

§ 26.

Das assoziative Gesetz der Multiplikation und die beiden distributiven Gesetze in der neuen Streckenrechnurig.

Bei unseren Annahmen gilt auch für die Multiplikation der Strecken das assoziative Gesetz:

a(bc) = (ab)c.

Es seien auf der ersteren der beiden festen Geraden durch 0 die Strecken

\ = OA, b=OC, c=OÄ

und auf der anderen Geraden die Strecken

a=OG und b = OB

gegeben. Um gemäß der Vorschrift in § 24 der Reihe nach die Strecken

bc=OB' und le.-OC

ab = OD,

(al)c- OD'

zu konstruieren, ziehen wir AB' parallel AB, B' C parallel BC, CD parallel AG sowie A'D' parallel AD] wie wir sofort erkennen, läuft dann unsere Behauptung darauf hinaus, daß auch CD parallel CD' sein muß. Bezeichnen wir nun den Schnittpunkt der Geraden AD und BC mit F und den Schnittpunkt der Geraden A'D' und B' C mit F', so sind in den Dreiecken ABF und A'B'F' die entsprechenden Seiten einander parallel; nach dem Desarguesschen Satze liegen daher die drei Punkte 0, F, F' auf einer Geraden. Wegen dieses Umstandes können wir die zweite Aussage des Desarguesschen Satzes auf die beiden Dreiecke CDF und C'D'F' anwenden und erkennen hieraus, daß in der Tat CD parallel CD' ist.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26. 57

ccbc, D>

\ N. »"

\ X. x

a(bc) = (ab)c

Wir beweisen endlich in unserer Streckenrechnung auf Grund des Desarguesschen Satzes die beiden distributiven Gesetze:

a(b 4- e) — ab + ac

und

{a -\- b)c = ac -\-bc.

Zum Beweise des ersteren Gesetzes dient die Figur S. 58 *). In

derselben ist

b=OÄ, c=OC

ab = OB', ab - OA", ac = OC" u. s. f. und es läuft

B"Dt parallel C"D1 parallel zur festen Geraden OA', B'Dt „ CD, „ „ „ „ OA"-,

ferner ist

A'A" paraUel CG" und

AB" parallel B'A" parallel F' D2 parallel ^''A .

Die Behauptung läuft darauf hinaus, daß dann auch

F'F' paraUel A'A" und CG" sein muß.

Wir konstruieren folgende Hilfslinien:

F"J parallel der festen Geraden OA', F'J „ „ „ „ OA ;

die Schnittpunkte der Geraden G"Dt und CD2, G"D1 und F'J, CD2

1) Die Figuren S. 58, 60 und 62 hat Herr Dr. von Schaper entworfen und auch die zugehörigen Beweise ausgeführt.

58

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26.

und F" J heißen G, H1} H2; endlich erhalten wir noch die weiteren in der untenstehenden Figur punktierten Hilfslinien durch Verbindung bereits konstruierter Punkte.

In den beiden Dreiecken Ä B" C" und F' D.2G laufen die Verbindungs- geraden entsprechender Ecken einander parallel; nach der zweiten Aus- sage des Desarguesschen Satzes folgt daher, daß

ÄC" parallel F' G sein muß. In den beiden Dreiecken Ä C" F" und F'GH2 laufen eben- falls die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken einander parallel;

Ä

wmmMgm

j

6 £

» h

\5

0

A' B' b ebb

C c

F'

b+c

a(b -f- c) — ab -f ac

wegen der vorhin gefundenen Tatsache folgt nach der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes, daß

ÄF" parallel F'H2 sein muß. Da somit in den beiden wagerecht schraffierten Dreiecken OA'F" und JH2F' die entsprechenden Seiten parallel sind, so lehrt der Desarguessche Satz, daß die drei Verbindungsgeraden

OJ, A'H2, F"F' sich in einem und demselben Punkte, etwa in P, treffen. Auf dieselbe Weise finden wir, daß auch A"F' parallel F" Bx sein muß und da somit in den beiden schräg schraffierten Dreiecken OA'F' und JH1F'' die entsprechenden Seiten parallel laufen, so treffen sich dem Desarguesschen Satze zufolge die drei Verbindungsgeraden

OJ, A"H1} F'F" ebenfalls in einem Punkte — dem Punkte P.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26. 59

Nunmehr laufen für die Dreiecke OA'A" und JH2HX die Verbin- dungsgeraden entsprechender Ecken durch den nämlichen Punkt P, und

mithin folgt, daß

HXH2 parallel A'A"

sein muß; mithin ist auch

HXH2 parallel CG".

Endlich betrachten wir die Figur F"HlC'C"HtF'F". Da in der- selben

F"H2 parallel C'F' parallel G" Hx

H2C „ F"C" „ HtF' C'C" „ HXH2

ausfällt, so erkennen wir hierin die Figur S. 55 {ß' B" A A'Ä'BB') wieder, die wir in § 25 zum Beweise für das kommutative Gesetz der Addition benutzt haben. Die entsprechenden Schlüsse wie dort zeigen dann, daß

F'F" parallel HXH2

sein muß und da mithin auch

F'F" parallel A'A"

ausfällt, so ist der Beweis unserer Behauptung vollständig erbracht.

Zum Beweise der zweiten Formel des distributiven Gesetzes dient die völlig verschiedene Figur S. 60. In derselben ist

l = OD, a=0A, a=0B, b=OG, c=OD' ac = OA', ac = OB', bc = 00' u. s. f. und es läuft

GH parallel G' H' parallel zur festen Geraden OA, AH „ A'H' „ „ „ „ OB

und ferner

AB parallel A'B',

BD „ B'D',

DG „ D'G',

HJ „ H'J'.

Die Behauptung läuft darauf hinaus, daß dann auch

DJ parallel D'J' sein muß.

Wir bezeichnen die Punkte, in denen BD und GD die Gerade AH treffen, bez. mit C und F und ferner die Punkte, in denen B'D' und G'D' die Gerade Ä H' treffen, bez. mit C und F'\ endlich ziehen wir noch die in der Figur S. 60 punktierten Hilfslinien FJ und F'J'.

60

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 26, 27.

In den Dreiecken ABC und A'JB'C laufen die entsprechenden Seiten parallel; mithin liegen nach dem Desarguesschen Satze die drei Punkte 0, C, C auf einer Geraden. Ebenso folgt dann aus der Betrachtung der Dreiecke CBF und C'B'F', daß 0, F, F' auf einer Geraden liegen, und

(fl -f fyc = ac -\-hc

die Betrachtung der Dreiecke FGH und F' G' H' lehrt, daß 0, H, H' Punkte einer Geraden sind. Nun laufen in den Dreiecken FHJ und F' H' J' die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch den näm- lichen Punkt 0, und mithin sind zufolge der zweiten Aussage des Des- arguesschen Satzes die Geraden FJ und F'J' einander parallel. Endlich zeigt dann die Betrachtung der Dreiecke BFJ und B'F'J', daß die Geraden BJ und B'J' einander parallel sind, und damit ist der Beweis unserer Behauptung vollständig erbracht.

§ 27. Die Gleichung der Geraden auf Grund der neuen Streckenrechnung.

Wir haben in § 24 bis § 26 mittels der in § 24 angeführten Axiome und unter Voraussetzung der Gültigkeit des Desarguesschen Satzes in der Ebene eine Streckenrechnung eingeführt, in welcher das kommutative Gesetz der Addition, die assoziativen Gesetze der Addition und Multipli- kation, sowie die beiden distributiven Gesetze gültig sind. Wir wollen in diesem Paragraphen zeigen, in welcher Weise auf Grund dieser Strecken- rechnung eine analytische Darstellung der Punkte und Geraden in der Ebene möglich ist.

Erklärung. Wir bezeichnen in der Ebene die beiden angenommenen festen Geraden durch den Punkt 0 als die X- und Y-Achse und denken uns irgend einen Punkt P der Ebene durch die Strecken x, y bestimmt,

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 27. 61

die man auf der X- bez. Y-Achse erhält, wenn man durch P zu diesen Achsen Parallelen zieht. Diese Strecken x, y heißen Koordinaten des Punktes P. Auf Grund der neuen Streckenrechnung und mit Hilfe des Desarguesschen Satzes gelangen wir zu der folgenden Tatsache:

Satz 35. Die Koordinaten x, y der Punkte auf einer beliebigen Ge- raden erfüllen stets eine Streckengleichimg von der Gestalt:

ax-\- by + c = 0;

in dieser Gleichung stehen die Strecken a, b notwendig linksseitig von den Koordinaten x, y; die Strecken a, b sind niemals beide Null und c ist eine beliebige Strecke.

Umgekehrt: jede Streckengleichung der beschriebenen Art stellt stets eine Gerade in der zu Grunde gelegten ebenen Geometrie dar.

Beweis. Wir nehmen zunächst an, die Gerade l gehe durch 0 und sei von den Achsen verschieden. Ferner sei C ein bestimmter von 0 verschiedener Punkt auf l und P ein beliebiger Punkt auf l; C habe die Koordinaten OA, OB und P habe die Koordinaten x, y- wir bezeichnen die Verbindungsgerade der Endpunkte von x, y mit g. Endlich ziehen

wir durch den Endpunkt der Strecke 1 auf der X-Achse eine Parallele h zu AB; diese Parallele schneide auf der Y-Achse die Strecke e ab. Aus der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes folgt leicht, daß die Gerade g stets parallel zu AB läuft. Da somit auch g stets zu h parallel ist, so folgt für die Koordinaten x, y des beliebigen Punktes P auf l die

Streckengleichung

ex = y .

Nunmehr sei V eine beliebige nicht zu den Achsen parallele Gerade in unserer Ebene: dieselbe schneide auf der X-Achse die Strecke c = 00' ab.

62

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 27.

Wir ziehen ferner die Gerade l durch 0 parallel zu V. Es sei P' ein be- liebiger Punkt auf T; die Parallele durch P' zur X-Achse treffe die Gerade l in P und schneide auf der F-Achse die Strecke y = OB ab; ferner mögen die Parallelen durch P und P' zur Y-Achse auf der X-Achse die Strecken x = OA und x' = OÄ abschneiden.

Wir wollen nun beweisen, daß die Streckengleichung

x = x -\- c besteht. Zu diesem Zwecke ziehen wir 0' C parallel zur Einheitsgeraden,

ferner CD parallel zur X-Achse und AD parallel zur Y-Achse; dann läuft unsere Behauptung darauf hinaus, daß

AB parallel O'C sein muß. Wir konstruieren noch D' als Schnittpunkt der Geraden CD und AP' und ziehen O'C parallel zur Y-Achse.

Da in den Dreiecken OCP und O'C'P' die Verbindungsgeraden ent- sprechender Ecken parallel laufen, so folgt mittels der zweiten Aussage des Desarguesschen Satzes, daß

CP parallel C'P' sein muß; auf gleiche Weise lehrt die Betrachtung der Dreiecke ACP

und ÄC'P', daß

AG parallel Ä C

ist. Da somit in den Dreiecken ACD und C'A'O' die entsprechenden Seiten einander parallel laufen, so treffen sich die Geraden AC, CA', DO' in einem Punkte und die Betrachtung der beiden Dreiecke C'A'D und AGO' zeigt dann, daß ÄD und CO' einander parallel sind. Aus den beiden bisher gefundenen Streckengleichungen ex = y und x' = x + c folgt sofort die weitere Gleichung

ex' = y + ec-

Kap. V. Der Desargue8sche Satz. § 27, 28. 63

Bezeichnen wir schließlich mit n die Strecke, die zur Strecke 1 addiert die Strecke 0 liefert, so folgt, wie man leicht beweist, aus der letzten Gleichung

ex' + ny + ^ec = 0

und diese Gleichung ist von der Gestalt, wie der Satz 35 behauptet.

Die zweite Aussage des Satzes 35 erkennen wir nun ohne Mühe als richtig; denn eine jede vorgelegte Streckengleichung

ax -f- by -f c = 0 , wo b =4= 0 ist, läßt sich offenbar durch linksseitige Multiplikation mit einer geeigneten Strecke in die vorhin gefundene Gestalt

ex -f ny + wec = 0 bringen.

Es sei noch ausdrücklich bemerkt, daß bei unseren Annahmen eine Streckengleichung von der Gestalt

xa + yb-\- c = 0, in der die Strecken a, b rechtsseitig von den Koordinaten x, y stehen, im allgemeinen nicht eine Gerade darstellt.

Wir werden in § 30 eine wichtige Anwendung von dem Satze 35 machen.

§ 28. Der Inbegriff der Strecken anfgefaßt als komplexes Zahlensystem.

Wir sehen unmittelbar ein, daß für unsere neue in § 24 begründete Streckenrechnung die Sätze 1 — 6 in § 13 erfüllt sind.

Ferner haben wir in § 25 und § 26 mit Hilfe des Desarguesschen Satzes erkannt, daß für diese Streckenrechnung die Rechnungsgesetze 7—11 in § 13 gültig sind; es bestehen somit sämtliche Sätze der Ver- knüpfung, abgesehen vom kommutativen Gesetze der Multiplikation.

Um endlich eine Anordnung der Strecken zu ermöglichen, treffen wir folgende Festsetzung. Es seien A, B irgend zwei verschiedene Punkte der Geraden OE-, dann bringen wir gemäß Axiom II 4 die vier Punkte 0, E, A, B in eine Reihenfolge. Ist dies auf eine der folgenden sechs

ABOE, AOBE, AOEB, OABE, OAEB, OEAB

möglich, so nennen wir die Strecke a = 0 A Meiner als die Strecke b = OB, in Zeichen:

a <b.

Findet dagegen eine der sechs Reihenfolgen

BAOE, BOAE, BOEA, OBAE, OBEA, OEBA

64 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 28, 29.

statt, so nennen wir die Strecke a = OA größer als die Strecke b = OA, in Zeichen

a> b.

Diese Festsetzung bleibt auch in Kraft, wenn A oder B mit 0 oder E zusammenfallen, nur daß dann die zusammenfallenden Punkte als ein ein- ziger Punkt anzusehen sind und somit lediglich die Anordnung dreier Punkte in Frage kommt.

Wir erkennen leicht, daß nunmehr in unserer Streckenrechnung auf Grund der Axiome II die Rechnungsgesetze 13 — 16 in § 13 erfüllt sind; somit bildet die Gesamtheit aller verschiedenen Strecken ein komplexes Zahlensystem, für welches die Gesetze 1 — 11, 13 — 16 in § 13, d. h. die sämtlichen Vorschriften außer dem kommutativen Gesetze der Multiplikation und den Sätzen von der Stetigkeit gewiß gültig sind; wir bezeichnen ein solches Zahlensystem im folgenden kurz als ein Besarguessches Zahlensystem.

§ 29.

Aufbau einer räumlichen Geometrie mit Hilfe eines Desarguesschen

Zahlensystems.

Es sei nun irgend ein Desarguessches Zahlensystem B vorgelegt; dasselbe ermöglicht uns den Aufbau einer räumlichen Geometrie, in der die Axiome I, II, IV sämtlich erfüllt sind.

Um dies einzusehen, denken wir uns das System von irgend drei Zahlen (x, y, z) des Desarguesschen Zahlensystems B als einen Punkt und das System von irgend vier Zahlen (u : v : w : r) in B, von denen die ersten drei Zahlen nicht zugleich 0 sind, als eine Ebene; doch sollen die Systeme (u : v : w : r) und (au : av : aw : ar), wo a irgend eine von 0 verschiedene Zahl in B bedeutet, die nämliche Ebene darstellen. Das Be- stehen der Gleichung

ux + vy -f wz + r = 0

möge ausdrücken, daß der Punkt (x, y, z) auf der Ebene (ii : v : iv : r) liegt. Die Gerade endlich definieren wir mit Hilfe eines Systems zweier Ebenen (u' : v' : w' : r') und (u" : v" : w" : r"), wenn es nicht möglich ist, zwei von 0 verschiedene Zahlen a'} a" in D zu finden, so daß gleichzeitig

r t fr er r r rr rr r r rr rr

a u = a u , a v = a v , a w = a w

wird. Ein Punkt (x, y, z) heißt auf dieser Geraden [(V: v: w': /), (u": v"\ w": /')] gelegen, wenn er den beiden Ebenen (u' : v' : w' : r') und (u": v": w": r") gemeinsam ist. Zwei Gerade, welche dieselben Punkte enthalten, gelten als nicht verschieden.

Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 29. 65

Indem wir die Rechnungsgesetze 1 — 11 in § 13 anwenden, die nach Voraussetzung für die Zahlen in D gelten sollen, gelangen wir ohne Schwierigkeit zu dem Resultate, daß in der soeben aufgestellten räumlichen Geometrie die Axiome I und IV sämtlich erfüllt sind.

Damit auch den Axiomen II der Anordnung Genüge geschehe, treffen wir folgende Festsetzungen. Es seien

irgend drei Punkte einer Geraden

[(«':V:w':r/), (*":«" :«?":*•")] ;

dann heiße der Punkt (x2, y2, z2) zwischen den beiden anderen gelegen, wenn wenigstens eine der sechs Paare von Ungleichungen

\-V «^l \ #2 "^- #3; Xl «^ #2 --^ #3

(2) ¥x < 9»< Vs, Vx>y%> y$

(3) et < *, < *„ t1>tt> z3

erfüllt ist. Besteht nun etwa eine der beiden Doppelungleichungen (1), so schließen wir leicht, daß entweder yx = y2 = y3 oder notwendig eine der beiden Doppelungleichungen (2) und ebenso daß entweder zt = z2 = z3 oder eine der Doppelungleichungen (3) gelten muß. In der Tat, aus den Gleichungen

u'xi -f v'y{ ■fw'lj-fy* 0,

u"x{ + v"yi + w \ + r " = 0, (» - 1, 2, 3)

leiten wir durch linksseitige Multiplikation derselben mit geeigneten Zahlen aus D, die =f= 0 sind, und durch nachherige Addition der entstehenden Gleichungen ein Gleichungssystem von der Gestalt

(4) u"'xi + v'"yi + r'"=0

(i = 1, 2, 3) ab. Hierin ist der Koeffizient v'" sicher nicht 0, da sonst die Gleichheit der drei Zahlen xx,x2yx3 folgen würde. Aus

xi $ #2 $ x%

schließen wir

und mithin wegen (4)

und daher

1 5Jr w *~2 \~ ^* 3

v yx + r = v y2+r = v y3 + r

v Vx^v Vz^v y3

Hubert, Grundlagen der Geometrie.

66 Kap. V. Der Desarguessche Satz. § 29, 30.

und da v'" nicht 0 ist, so haben wir

Vi \ Vz ^iV^'i

in jeder dieser Doppelungleichungen soll stets entweder durchweg das obere oder durchweg das mittlere oder durchweg das untere Zeichen gelten.

Die angestellten Überlegungen lassen erkennen, daß in unserer Geo- metrie die linearen Axiome II 1 — 3 der Anordnung zutreffen. Es bleibt noch zu zeigen übrig, daß in unserer Geometrie auch das ebene Axiom II 4 gültig ist.

Zu dem Zwecke sei eine Ebene (u : v : w : r) und in ihr eine Gerade [(u:v:w:r), (V: v' : w' : r')] gegeben. Wir setzen fest, daß alle in der Ebene (u : v : w : r) gelegenen Punkte (x, y, z) , für die der Ausdruck u'x -f v'y + w'z + r' kleiner oder größer als 0 ausfällt, auf der einen bez. auf der anderen Seite von jener Geraden gelegen sein sollen, und haben dann zu beweisen, daß diese Festsetzung sich mit der vorigen in Übereinstimmung befindet, was leicht geschehen kann.

Damit haben wir erkannt, daß die sämtlichen Axiome I, II, IV in derjenigen räumlichen Geometrie erfüllt sind, die in der oben geschilderten Weise aus dem Desarguesschen Zahlensystem D entspringt. Bedenken wir, daß der Desarguessche Satz eine Folge der Axiome I, II, IV ist, so sehen wir, daß die eben gefundene Tatsache die genaue Umkehrung des- jenigen Ergebnisses darstellt, zu dem wir in § 28 gelangt sind.

§30. Die Bedeutung des Desarguesschen Satzes.

Wenn in einer ebenen Geometrie die Axiome I 1 — 3, II, IV erfüllt sind und überdies der Desarguessche Satz gilt, so ist es nach § 24 — § 28 in dieser Geometrie stets möglich, eine Streckenrechnung einzuführen, für welche die Regeln 1 — 11, 13 — 16 in § 13 anwendbar sind. Wir betrachten nun weiter den Inbegriff dieser Strecken als ein komplexes Zahlensystem und bauen aus denselben nach den Entwickelungen in § 29 eine räumliche Geometrie auf, in der sämtliche Axiome I, II, IV gültig sind.

Fassen wir in dieser räumlichen Geometrie lediglich die Punkte (x, y, 0) und diejenigen Geraden ins Auge, auf denen nur solche Punkte liegen, so entsteht eine ebene Geometrie, und wenn wir die in § 27 ab- geleitete Tatsache berücksichtigen, so leuchtet ein, daß diese ebene Geo- metrie genau mit der zu Anfang vorgelegten ebenen Geometrie überein- stimmen muß. Damit gewinnen wir folgenden Satz, der als das Endziel der gesamten Entwickelungen dieses Kapitels V anzusehen ist:

Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 31. 67

Es seien in einer ehenen Geometrie die Axiome I 1 — 3, II, IV erfüllt: dann ist die Gültigheit des Desarguessclien Satzes die notwendige und hin- reichende Bedingung dafür, daß diese ebene Geometrie sich auffassen läßt als ein Teil einer räumlichen Geometrie, in welcher die sämtlichen Axiome I, II, IV erfüllt sind.

Der Desarguessche Satz kennzeichnet sich so gewissermaßen für die ebene Geometrie als das Resultat der Elimination der räumlichen Axiome.

Die gefundenen Resultate setzen uns auch in den Stand zu erkennen, daß jede räumliche Geometrie, in der die Axiome I, II, IV sämtlich er- füllt sind, sich stets als ein Teil einer „Geometrie von beliebig vielen Dimensionen" auffassen läßt; dabei ist unter einer Geometrie von beliebig vielen Dimensionen eine Gesamtheit von Punkten, Geraden, Ebenen und noch weiteren Elementen zu verstehen, für welche die entsprechenden Axiome der Verknüpfung und Anordnung sowie das Parallelenaxiom erfüllt sind.

Kapitel VI. Der Pascalsche Satz.

§ 31. Zwei Sätze über die Beweisbarkeit des Pascalschen Satzes.

Der Desarguessche Satz (Satz 33) läßt sich bekanntlich aus den Axiomen I, II, IV, d. h. unter wesentlicher Benutzung der räumlichen Axiome beweisen; in § 23 habe ich gezeigt, daß der Beweis desselben ohne die räumlichen Axiome der Gruppe I und ohne die Kongruenzaxiome II nicht möglich ist, selbst wenn die Benutzung der Stetigkeitsaxiome gestattet wird.

In § 14 ist der Pascalsche Satz (Satz 21) und damit nach § 22 auch der Desarguessche Satz aus den Axiomen I 1 — 3, II — IV, also mit Aus- schluß der räumlichen Axiome und unter wesentlicher Benutzung der Kongruenzaxiome abgeleitet worden. Es entsteht die Frage, ob auch der Pascalsche Satz ohne Hinzuziehung der Kongruenzaxiome be- wiesen werden kann. Unsere Untersuchung wird zeigen, daß in dieser Hinsicht der Pascalsche Satz sich völlig anders als der Desarguessche Satz verhält, indem bei dem Beweise des Pascalschen Satzes die Zulassung oder Ausschließung des Archimedischen Axioms von entscheiden- dem Einflüsse für seine Gültigkeit ist. Die wesentlichen Ergebnisse un- serer Untersuchung fassen wir in den folgenden zwei Sätzen zusammen:

5*

68 Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 31, 32.

Satz 36. Der Pascalsche Satz (Satz 21) ist beweisbar auf Grund der Axiome I, II, IV, V, d. h. unter Ausschließung der Kongruenzaxiome mit Zuhilfenahme des Archimedischen Axioms.

Satz 37. Der Pascalsche Satz (Satz 21) ist nicht beweisbar auf Grund der Axiome I, II, IV, d. h. unter Ausschließung der Kongruenzaxiome sowie des Archimedischen Axioms.

In der Fassung dieser beiden Sätze können nach dem allgemeinen Satze 35 die räumlichen Axiome I 4 — 8 auch durch die Forderung der ebenen Geo- metrie ersetzt werden, daß der Desarguessche Satz (Satz 33) gelten soll.

§ 32. Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Archimedischen Zahlensystem.

Die Beweise der Sätze 36 und 37 beruhen wesentlich auf gewissen gegenseitigen Beziehungen, welche für die Rechnungsregeln und Grund- tatsachen der Arithmetik bestehen und deren Kenntnis auch an sich von Interesse erscheint. Wir stellen die folgenden zwei Sätze auf:

Satz 38. Für ein Archimedisches Zahlensystem ist das kommutative Gesetz der Multiplilmtion eine notwendige Folge der übrigen Rechnungsgesetze ; d. h., wenn ein Zahlensystem die in § 13 aufgezählten Eigenschaften 1 — 11, 13 — 17 besitzt, so folgt notwendig, daß dasselbe auch der Formel 12 genügt.

Beweis. Zunächst bemerken wir: wenn a eine beliebige Zahl des Zahlensystems und

»— 1-f-l H hl

eine ganze rationale positive Zahl ist, so gilt für a und n stets das kom- mutative Gesetz der Multiplikation; es ist nämlich

flw = ß(l4-l + --, + l) = ö,l + «-l + '-, + «-l = « + « + ,,' + « und ebenso

na = (1 -f- 1 -f • • • + 1)« = l'fl+l-« + '-' + l>fl = « + ö + ',' + « Es seien nun im Gegensatz zu unserer Behauptung a, b solche zwei Zahlen des Zahlensystems, für welche das kommutative Gesetz der Multi- plikation nicht gültig ist. Wir dürfen dann, wie leicht ersichtlich, die

Annahmen

a>0, b>0 ab — ba>0

machen. Wegen der Forderung 6 in § 13 gibt es eine Zahl c(>0), so daß

(a -\- b ■+■ Y)c = ab — ba ist. Endlich wählen wir eine Zahl d, die zugleich den Ungleichungen

d>0, d<l, d<c genügt,' und bezeichnen mit m und n zwei solche ganze rationale Zahlen ^> 0, für die

Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 32, 33. 69

md < a <£ (w + l)d

bez.

nd<b<L(n -f- l)d

wird. Das Vorhandensein solcher Zahlen m, n ist eine unmittelbare Fol- gerung des Archimedischen Satzes (Satz 17 in § 13). Mit Rücksicht auf die Bemerkung zu Anfang dieses Beweises erhalten wir aus den letzteren Ungleichungen durch Multiplikation

ab <[ mnd2 -f- (m -f- n -f- l)d2,

&a > mnd2,

also durch Subtraktion

ab — ba <| (m -f- » + l)^2. Nun ist

md<_a, nd<b, d<.l und folglich

(» + * + l)tf<a-|-& + l, d. h.

«&-k<(«-(-&-|- 1)^ oder wegen d <C c •

<x& — &a < (a -f & -f l)c.

Diese Ungleichung widerspricht der Bestimmung der Zahl c, und damit ist der Beweis für den Satz 38 erbracht.

§ 33.

Das kommutative Gesetz der Multiplikation im Nicht-Archimedischen

Zahlensystem.

Satz 39. Für ein Nicht-Archimedisches Zahlensystem ist das Jwmmu- tative Gesetz der Multiplikation nicht eine notwendige Folge der übrigen Mechnungsgesetze ; d. h. es gibt ein Zahlensystem, das die in % 13 aufgezählten Eigenschaften 1 — 11, 13 — 16 besitzt — ein JDesarguessches Zahlensystem nach §28 — , in welchem nicht das Icommatative Gesetz (12) der Midti- plilcation besteht.

Beweis. Es sei t ein Parameter und T irgend ein Ausdruck mit einer endlichen oder unendlichen Gliederzahl von der Gestalt

T=r0tn + r1tn + i + r2tn + 2 + r3tn + 3 -\ ;

darin mögen r0(=%= 0), rit r2, ... beliebige rationale Zahlen bedeuten und n sei eine beliebige ganze rationale Zahl ^ 0. Ferner sei 5 ein anderer Parameter und S irgend ein Ausdruck mit einer endlichen oder unend- lichen Gliederzahl von der Gestalt

8 - s'"T0 -f sm + lTt + sm+2T2 + • • • ;

70 Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 33.

darin mögen T0(=}= 0), Tl} T2, ... beliebige Ausdrücke von der Gesalt T bezeichnen und m sei wiederum eine beliebige ganze rationale Zahl ^ 0. Die Gesamtheit aller Ausdrücke von der Gestalt S sehen wir als ein kom- plexes Zahlensystem Sl(s, t) an, in dem wir folgende Rechnungsregeln festsetzen: man rechne mit s und t, wie mit Parametern nach den Regeln 7 — 11 in § 13, während man an Stelle der Regel 12 stets die Formel

(1) ts = 2st

anwende.

Sind nun S', 8" irgend zwei Ausdrücke von der Gestalt S:

8' = sm' T0' + sm' +1T1' + sm' +2T2' H ,

S"= sm"T0"+ sm" + 1Tt"+ s™"+2T2"-|- • . ♦,

so kann man offenbar durch Zusammenfügung einen neuen Ausdruck S' -+- S" bilden, der wiederum von der Gestalt 8 und zugleich eindeutig bestimmt ist; dieser Ausdruck S' + S" heißt die Summe der durch S', S" dargestellten Zahlen.

Durch gliedweise Multiplikation der beiden Ausdrücke S', 8" gelangen wir zunächst zu einem Ausdrucke von der Gestalt

S'S"= s?"'T0'sw"T0"+ (sm'T0'sm" + 'LT1"+ sm' + 1T1,sw" T0")

+ (V"'T0V't" + 2T2"+ sm' + 1T1'sm" + 1T1"+ sm' + 2T2'sm"TQ") + ■ • •.

Dieser Ausdruck wird bei Benutzung der Formel (1) offenbar ein ein- deutig bestimmter Ausdruck von der Gestalt $; der letztere heiße das Produkt der durch S' dargestellten Zahl in die durch S" dargestellte Zahl. Bei der so festgesetzten Rechnungsweise leuchtet die Gültigkeit der Rechnungsregeln 1 — 5 in § 13 unmittelbar ein. Auch die Gültigkeit der Vorschrift 6 in § 13 ist nicht schwer einzusehen. Zu dem Zwecke neh- men wir an, es seien etwa

8' - sm' Tj + sm'+1Ti' + sP'+'T,' + ....•

und

£"'_ sm'"TQ"'+ sm'"+iTi>"+ tj*r+*Tf"'^

gegebene Ausdrücke von der Gestalt S, und bedenken, daß unseren Fest- setzungen entsprechend der erste Koeffizient r0' aus T0' von 0 verschieden sein muß. Indem wir nun die nämlichen Potenzen von s auf beiden Seiten einer Gleichung

(2) S'S"= 8M

vergleichen, finden wir in eindeutig bestimmter Weise zunächst eine ganze Zahl m" als Exponenten und sodann der Reihe nach gewisse Ausdrücke

rp " rp ii rp ii

derart, daß der Ausdruck

Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 33, 34. 71

S"= s"'"T0" + sM" + 1T1"+ s"'" + 2T2"H

bei Benutzung der Formel (1) der Gleichung (2) genügt; hiermit ist der gewünschte Nachweis erbracht.

Um endlich die Anordnung der Zahlen unseres Zahlensystems Sl (s, t) zu ermöglichen, treffen wir folgende Festsetzungen. Eine Zahl des Systems heiße < oder > 0, je nachdem in dem Ausdrucke S, der sie darstellt, der erste Koeffizient r0 von T0 < oder > 0 ausfällt. Sind irgend zwei Zahlen a und b des komplexen Zahlensystems vorgelegt, so heiße a < b bez. a > b, je nachdem a — b < 0 oder > 0 wird. Es leuchtet unmittelbar ein, daß bei diesen Festsetzungen die Regeln 13 — 16 in § 13 gültig sind, d. h. &l (s, t) ist ein Desarguesschen Zahlensystem (vgl. § 28).

Die Vorschrift 12 in § 13 ist, wie Gleichung (1) zeigt, für unser komplexes Zahlensystem &l (s,t) nicht erfüllt und damit ist die Richtig- keit des Satzes 39 vollständig erkannt.

In Übereinstimmung mit Satz 38 gilt der Archimedische Satz (Satz 17 in § 13) für das soeben aufgestellte Zahlensystem Sl (s, f) nicht.

Es werde noch hervorgehoben, daß das Zahlensystem Sl (s, t) — ebenso wie die in § 9 und § 12 benutzten Zahlensysteme ß und Sl (t) — nur eine abzählbare Menge von Zahlen enthält.

§ 34.

Beweis der beiden Sätze über den Pascalschen Satz. (Nicht-Pascalsche Geometrie.)

Wenn in einer räumlichen Geometrie die sämtlichen Axiome I, II, IV erfüllt sind, so gilt auch der Desarguessche Satz (Satz 33) und mithin ist nach Kapitel V § 24 bis § 26 in dieser Geometrie die Einführung einer Streckenrechnung möglich, für welche die Vorschriften 1 — 11, 13 — 16 in § 13 gültig sind. Setzen wir nun das Archimedische Axiom V in unserer Geometrie voraus, so gilt offenbar für die Streckenrechnung der Archimedische Satz (Satz 17 in § 13) und mithin nach Satz 38 auch das kommutative Gesetz der Multiplikation. Da aber die hier in Rede stehende in § 24 (Fig. S. 54) eingeführte Definition des Streckenproduktes mit der in § 15 (Fig. S. 32) angewandten Definition übereinstimmt, so bedeutet gemäß der in § 15 ausgeführten Konstruktion das kommutative Gesetz der Multiplikation zweier Strecken auch hier nichts anderes als den Pascalschen Satz. Damit ist die Richtigkeit des Satzes 36 erkannt.

Um den Satz 37 zu beweisen, fassen wir das in § 33 aufgestellte Desarguessche Zahlensystem Sl (s, t) ins Auge und konstruieren mit Hilfe desselben auf die in § 29 beschriebene Art eine räumliche Geometrie, in

72 Kap. VI. Der Pascalsche Satz. § 34, 35.

der die sämtlichen Axiome I, II, IV erfüllt sind. Trotzdem gilt der Pascalsche Satz in dieser Geometrie nicht, da das kommutative Gesetz der Multiplikation in dem Desarguesschen Zahlensystem Sl (s, t) nicht be- steht. Die so aufgebaute „Nicht- Pascalsche" Geometrie ist in Überein- stimmung mit dem vorhin bewiesenen Satz 36 notwendig zugleich auch eine „Nicht-Archimedische" Geometrie.

Es ist offenbar, daß der Pascalsche Satz sich bei unseren Annahmen auch dann nicht beweisen läßt, wenn man die räumliche Geometrie als einen Teil einer Geometrie von beliebig vielen Dimensionen auffaßt, in welcher neben den Punkten, Geraden und Ebenen noch weitere Elemente vorhanden sind und für diese ein entsprechendes System von Axiomen der Verknüpfung und Anordnung, sowie das Parallelenaxiom zu Grunde gelegt ist.

§ 35.

Beweis eines beliebigen Schnittpunktsatzes mittels des Desarguesschen und des Pascalschen Satzes.

Ein jeder ebener Schnittpunktsatz hat notwendig diese Form: Man wähle zunächst ein System von Punkten und Geraden willkürlich, bez. mit der Bedingung, daß für gewisse von diesen Punkten und Geraden die vereinigte Lage vorgeschrieben ist; wenn man dann in bekannter Weise Verbindungsgerade und Schnittpunkte konstruiert, so gelangt man schließ- lich zu einem bestimmten System von Geraden, von denen der Satz aus- sagt, daß sie durch den nämlichen Punkt hindurchlaufen.

Es sei nun eine ebene Geometrie vorgelegt, in der sämtliche Axiome I 1 — 3, II — V gültig sind; nach Kap. III § 17 können wir dann vermittels eines rechtwinkligen Achsenkreuzes jedem Punkte ein Zahlen- paar (x, y) und jeder Geraden ein Verhältnis von drei Zahlen (u : v : w) entsprechen lassen; hierbei sind x, y, u, v, w jedenfalls reelle Zahlen, von denen u, v nicht beide verschwinden, und die Bedingung für die vereinigte Lage von Punkt und Geraden

ux -f vy -f- w = 0

bedeutet eine Gleichung im gewöhnlichen Sinne.

Andererseits dürfen wir, falls x, y, u, v, w insbesondere Zahlen des in § 9 konstruierten algebraischen Bereiches Sl sind und u, v nicht beide ver- schwinden, annehmen, daß umgekehrt das Zahlenpaar (x, y) und das Zahlen- tripel (u : v : w) einen Punkt bez. eine Gerade in der vorgelegten Geo- metrie liefert.

Führen wir für alle Punkte und Geraden, die in einem beliebigen ebenen Schnittpunktsatze auftreten, die betreffenden Zahlenpaare und

Kap. VE. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome I— IV. § 36. 73

Zahlentripel ein, so wird dieser Schnittpunktsatz aussagen, daß ein be- stimmter, von gewissen Parametern p1} . . . pr rational abhängiger Aus- druck A (plf . . . ,pr) mit reellen Koeffizienten stets verschwindet, sobald wir für jene Parameter insbesondere irgend welche Zahlen des in § 9 betrachteten Bereiches Sl einsetzen. Wir schließen hieraus, daß der Aus- druck A(p1}. . .,pr) auch identisch auf Grund der Rechnungsgesetze 7 — 12 in § 13 verschwinden muß.

Da in der vorgelegten Geometrie nach § 22 der Desarguessche Satz gilt, so können wir gewiß auch die in § 24 eingeführte Streckenrechnung benutzen, und wegen der Gültigkeit des Pascalschen Satzes trifft für diese Streckenrechnung auch das kommutative Gesetz der Multiplikation zu, so daß in dieser Streckenrechnung sämtliche Rechnungsgesetze 7 — 12 in § 13 gültig sind.

Indem wir die Achsen des bisher benutzten Achsenkreuzes auch als Achsen dieser neuen Streckenrechnung gewählt und die Einheitspunkte E und E' geeignet festgesetzt denken, erkennen wir die Übereinstimmung der neuen Streckenrechnung mit der früheren Koordinatenrechnung.

Um in der neuen Streckenrechnung das identische Verschwinden des Ausdruckes A (p1} . . . , pr) nachzuweisen, genügt die Anwendung des Desarguesschen und Pascalschen Satzes und damit erkennen wir, daß jeder in der vorgelegten Geometrie geltende Schnittpunktsatz durch Konstruktion geeigneter Hilfspunkte und Hilfsgeraden sich stets als eine Kombination des Desarguesschen und Pas- calschen Satzes herausstellen muß. Zum Nachweise der Richtigkeit des Schnittpunktsatzes brauchen wir also nicht auf die Kongruenzsätze zurückzugreifen.

Kapitel VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV.

§ 36.

Die geometrischen Konstruktionen mittels Lineals und Eichmaßes.

Es sei eine räumliche Geometrie vorgelegt, in der die sämtlichen Axiome I — IV gelten; wir fassen der Einfachheit wegen in diesem Kapitel nur eine ebene Geometrie ins Auge, die in dieser räumlichen Geometrie ent- halten ist, und untersuchen dann die Frage, welche elementaren Kon- struktionsaufgaben in einer solchen Geometrie notwendig ausführbar sind.

74 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 36.

Auf Grund der Axiome I ist die Ausführung der folgenden Aufgabe stets möglich:

Aufgabe 1. Zwei Punkte durch eine Gerade zu verbinden und den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, falls die Geraden nicht parallel sind. Auf Grund der Axiome der Gruppe II werden keine neuen Auf- gaben lösbar.

Auf Grund der Kongruenzaxiome III ist das Abtragen von Strecken und Winkeln möglich, d. h. es lassen sich in der vorgelegten Geometrie folgende Aufgaben lösen:

Aufgabe 2. Eine gegebene Strecke auf einer gegebenen Geraden von einem Punkte aus abzutragen.

Aufgabe 3. Einen gegebenen Winkel an eine gegebene Gerade anzutragen oder eine Gerade zu konstruieren, die eine gegebene Gerade unter einem gegebenen Winkel schneidet.

Das Axiom IV ermöglicht die Ausführung der folgenden Aufgabe: Aufgabe 4. Durch einen gegebenen Punkt zu einer Geraden eine Parallele zu ziehen.

Wir sehen somit, daß unter Zugrundelegung der Axiome I- — IV alle und nur diejenigen Konstruktionsaufgaben lösbar sind, die sich auf die eben genannten Aufgaben 1 — 4 zurückführen lassen.

Wir fügen den fundamentalen Aufgaben 1 — 4 noch die folgende hinzu: Aufgabe 5. Zu einer gegebenen Geraden eine Senkrechte zu ziehen. Wir erkennen unmittelbar, daß diese Aufgabe 5 auf verschiedene Arten durch die Aufgaben 1 — 4 gelöst werden kann.

Zur Ausführung der Aufgabe 1 bedürfen wir des Lineals. Um die Aufgaben 2 — 5 auszuführen, genügt es, wie im Folgenden gezeigt wird, neben dem Lineal das Eichmaß anzuwenden, ein Instrument, welches das Abtragen einer einzigen bestimmten Strecke, etwa der Einheitsstrecke ermöglicht1). Wir gelangen damit zu folgendem Resultat:

Satz 40. Diejenigen geometrischen Konstruktionsauf gaben, die unter

Zugrundelegung der Axiome I — IV lösbar sind, lassen sich notwendig mittels Lineals und Eichmaßes ausführen.

Beweis. Um die Aufgabe 4 auszu- führen, verbinden wir den gegebenen Punkt P mit irgend einem Punkte A der ge- gebenen Geraden a und tragen von A aus auf a zweimal hintereinander mittels des Eichmaßes die Einheitsstrecke ab, etwa

1) Diese Bemerkung ist von J. Kürschdk gemacht worden; vgl. dessen Note „Das Streckenabtragen" Math. Ann. Bd. 55. 1902.

Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grand der Axiome I — IV. § 36. 75

bis B und C. Es sei nun D irgend ein Punkt auf AP, ferner E der Treffpunkt von CP und BD und endlich F der Treffpunkt von AE und CD: dann ist nach Steiner PF die gesuchte Parallele zu a.

Die Aufgabe 5 lösen wir auf folgende Weise.- Es sei A ein be- liebiger Punkt der gegebenen Geraden; dann tragen wir von A aus auf dieser Geraden nach beiden Seiten hin mittels des Eich- maßes die Einheitsstrecken AB und AC ab und bestim- men dann auf zwei beliebigen anderen durch A gehenden Geraden die Punkte E und D, so daß auch die Strecken AB und AE gleich der Ein- heitsstrecke werden. Die Ge- raden BD und CE mögen sich in F, die Geraden BE und CD in H schneiden: dann ist FR die gesuchte Senkrechte. In der Tat: die Winkel -^BDC und ^BEC sind als Winkel im Halbkreise über BC Rechte und daher steht nach dem Satze vom Höhenschnitt- punkt eines Dreieckes, den wir auf das Dreieck BCF anwenden, auch FH auf BC senkrecht.

Wir können nunmehr leicht auch die Aufgabe 3 allein mittels Lineals und Eichmaßes lösen; wir schlagen etwa folgendes Verfahren ein, welches nur das Ziehen von Parallelen und das Fällen von Loten erfordert. Es sei ß der abzutragende Winkel und A der Scheitel dieses Winkels. Wir ziehen die Gerade l (AC) durch A parallel zu der gegebenen Geraden, an welche der ge- gebene Winkel ß angetragen werden soll. Von einem beliebigen Punkte B eines Schenkels von ß fällen wir Lote auf den ^ anderen Schenkel des Winkels ß und auf?. Die Fußpunkte dieser Lote seien D und C. Das Fällen von Loten geschieht vermöge der Aufgaben 2 und 5. Sodann fällen wir von A eine Senkrechte auf CD, ihr Fußpunkt sei E. Nach dem in § 14 S. 27 ausgeführten Beweise ist <£ CAE = ß; die Aufgabe 3 ist somit gelöst.

Um endlich die Aufgabe 2 auszuführen, benutzen wir die einfache von J. Kürschäk angegebene Konstruktion: es sei AB die abzutragende Strecke und P der gegebene Punkt auf der gegebenen Geraden l. Man

76 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I— IV. §36,37.

ziehe durch P die Parallele zu AB und trage auf derselben mittels des Eichmaßes von P aus die Einheitsstrecke ab etwa bis C] ferner trage

man auf l von P aus die Einheits- strecke bis D ab. Die zu AP durch B gezogene Parallele treffe PC in Q und die durch Q zu CD ge- zogene Parallele treffe l in E: dann ist PE = AB.

Damit ist gezeigt, daß die Auf- gaben 1 — 5 sämtlich durch Lineal und Eichmaß lösbar sind, und folglich der Satz 40 vollständig bewiesen.

§ 37. Analytische Darstellung der Koordinaten konstruierbarer Punkte.

Außer den in § 36 behandelten elementargeometrischen Aufgaben gibt es noch eine große Reihe weiterer Aufgaben, zu deren Lösung man lediglich das Ziehen von Geraden und das Abtragen von Strecken nötig hat. Um den Bereich aller auf diese Weise lösbaren Aufgaben über- blicken zu können, legen wir bei der weiteren Betrachtung ein recht- winkliges Koordinatensystem zu Grunde und denken uns die Koordinaten der Punkte in der üblichen Weise als reelle Zahlen oder Punktionen von gewissen willkürlichen Parametern. Um die Frage nach der Gesamtheit aller konstruierbaren Punkte zu beantworten, stellen wir folgende Über- legung an:

Es sei ein System von bestimmten Punkten gegeben; wir setzen aus den Koordinaten dieser Punkte einen Bereich R zusammen; derselbe ent- hält gewisse reelle Zahlen und gewisse willkürliche Parameter p. Nun- mehr denken wir uns die Gesamtheit aller derjenigen Punkte, die durch Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken aus dem vorgelegten System von Punkten konstruierbar sind. Der Bereich, der von den Koor- dinaten dieser Punkte gebildet wird, heiße & (P); derselbe enthält gewisse reelle Zahlen und Funktionen der willkürlichen Parameter p.

Unsere Betrachtungen in § 17 zeigen, daß das Ziehen von Geraden und Parallelen analytisch auf die Anwendung der Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division von Strecken hinausläuft; ferner lehrt die bekannte in § 9 aufgestellte Formel für die Drehung, daß das Abtragen von Strecken auf einer beliebigen Geraden keine andere analytische Operation erfordert, als die Quadratwurzel zu ziehen aus einer Summe von zwei Quadraten, deren Basen man bereits konstruiert hat. Umgekehrt kann man zufolge des Pythagoräischen Lehrsatzes vermöge eines rechtwinkligen Dreiecks

Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I— IV. § 37. 77

die Quadratwurzel aus der Summe zweier Streckenquadrate durch Abtragen von Strecken stets konstruieren.

Aus diesen Betrachtungen geht hervor, daß der Bereich il (_R) alle diejenigen und nur solche reelle Zahlen und Funktionen der Parameter p enthält, die aus den Zahlen und Parametern in R vermöge einer endlichen Anzahl von Anwendungen von fünf Rechnungsoperationen hervorgehen, nämlich der vier elementaren Rechnungsoperationen und einer fünften Operation, als die man das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Summe zweier Quadrate betrachtet. Wir sprechen dieses Resultat wie folgt aus:

Satz 41. Eine geometrische Konstruktionsaufgabe ist dann und nur dann durch Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken, d. h. mittels Lineals und Eichmaßes lösbar, wenn bei der analytischen Behandlung der Aufgabe die Koordinaten der gesuchten Punkte solche Funktionen der Koordinaten der gegebenen Punkte sind, deren Herstellung nur rationale Operationen und die Operation des Ziehens der Quadratwurzel aus der Summe zweier Quadrate und diese fünf Operationen in endlicher Anzahl erfordert.

Wir können aus diesem Satze sofort erkennen, daß nicht jede mittels Zirkels lösbare Aufgabe auch allein mittels Lineals und Eich- maßes gelöst werden kann. Zu dem Zwecke legen wir diejenige Geometrie zu Grunde, die in § 9 mit Hilfe des algebraischen Zahlenbereichs Sl auf- gebaut worden ist; in dieser Geometrie gibt es lediglich solche Strecken, die mittels Lineals und Eichmaßes konstruierbar sind, nämlich die durch Zahlen des Bereiches & bestimmten Strecken.

Ist nun ö irgend eine Zahl in ß, so erkennen wir aus der Definition des Bereiches Sl leicht, daß auch jede zu co konjugierte algebraische Zahl in Sl liegen muß, und da die Zahlen des Bereichs &l offenbar sämtlich reell sind, so folgt hieraus, daß der Bereich Sl nur solche reelle algebraische Zahlen enthalten kann, deren Konjugierte ebenfalls reell sind.

Wir stellen jetzt die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 und einer Kathete | y2 J - 1 zu konstruieren. Nun kommt die algebraische Zahl y 2\^2\ — 2 , die den Zahlenwert der anderen Kathete ausdrückt, im Zahlenbereich il nicht vor, da die zu ihr kon- jugierte Zahl ]/ — 2 | ~|/2 | — 2 imaginär ausfällt. Die gestellte Aufgabe ist mithin in der zu Grunde gelegten Geometrie nicht lösbar und kann daher überhaupt nicht mittels Lineals und Eichmaßes lösbar sein, obwohl die Konstruktion mittels des Zirkels sofort ausführbar ist

78 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 38.

§ 38.

Die Darstellung algebraischer Zahlen und ganzer rationaler Funktionen als Summe von Quadraten.

Die Frage nach der Ausführbarkeit geometrischer Konstruktionen mittels Lineals und Eichmaßes erfordert zu ihrer weiteren Behandlung einige Sätze zahlentheoretischen und algebraischen Charakters, die, wie mir scheint, auch an sich von Interesse sind.

Nach Fermat ist bekanntlich jede ganze rationale positive Zahl als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar. Dieser Fermatsche Satz ge- stattet eine merkwürdige Verallgemeinerung von folgender Art:

Erklärung. Es sei Je ein beliebiger Zahlkörper; der Grad dieses Körpers Je heiße m, und die m — 1 zu Je konjugierten Zahlkörper mögen mit Je',Je",...,Um~^ bezeichnet werden. Trifft es sich, daß unter den m Körpern Je, Je, ... , ft(m_1) einer oder mehrere aus lauter reellen Zahlen gebildet sind, so nennen wir diese Körper selbst reell; es seien diese Körper etwa Je, Je, ... , Us~x\ Eine Zahl a des Körpers Je heiße in diesem Falle total positiv in Je, falls die s zu a konjugierten bez. in Je, Je',. . ., Us~^ gelegenen Zahlen sämtlich positiv sind. Kommen dagegen in jedem der m Körper Je, Je', . . . , &(m-1) auch imaginäre Zahlen vor, so heiße eine jede Zahl a in Je stets total positiv.

Satz 42. Jede total positive Zahl in Je läßt sicJi als Summe von vier Quadraten darstellen, deren Basen ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers Je sind.

Der Beweis dieses Satzes bietet erhebliche Schwierigkeiten dar; er beruht wesentlich auf der Theorie der relativquadratischen Zahlkörper, die ich unlängst in mehreren Arbeiten1) entwickelt habe. Es sei hier nur auf denjenigen Satz aus dieser Theorie hingewiesen, der die Be- dingungen für die Lösbarkeit einer ternären Diophantischen Gleichung von der Gestalt

angibt, worin die Koeffizienten a, ß, y gegebene Zahlen in Je und £, t], £ gesuchte Zahlen in Je bedeuten. Der Beweis des Satzes 42 wird durch wiederholte Anwendung des eben genannten Satzes erbracht.

Aus dem Satze 42 folgen eine Reihe von Sätzen über die Dar- stellung solcher rationaler Funktionen einer Veränderlichen mit rationalen Koeffizienten, die niemals negative Werte haben.

1) Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper, Jahresber. d. Deutschen Math.-Vereinigung Bd. 6, 1899 und Math. Ann. Bd. 51; ferner: Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper, Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898 und Acta mathematica Bd. 26.

Kap. VIT. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. §38,39. 79

Erwähnt sei noch folgender Satz, der uns im nächsten Paragraphen von Nutzen sein wird.

Satz 43. Es bedeute f{x) eine solche ganze rationale Funktion von x mit rationalen Zahlenkoeffizienten, die niemals negative Werte an- nimmt, wenn man für x beliebige reelle Werte einsetzt: dann läßt sich f(x) stets als Summe von Quadraten darstellen, so daß die sämtlichen Basen dieser Quadrate ganze rationale Funktionen von x mit rationalen Koeffizienten sind1).

Es dürfte sehr schwierig sein, die entsprechenden Tatsachen für ganze rationale Funktionen von zwei oder mehr Veränderlichen aufzustellen und zu beweisen, doch sei hier darauf hingewiesen, daß die Darstellbarkeit einer beliebigen definitiven ganzen rationalen Funktion zweier Veränder- licher als Quotient von Quadratsummen ganzer Funktionen auf einem völlig anderen Wege von mir bewiesen worden ist — unter der Voraus- setzung, daß für die darstellenden Funktionen nicht bloß rationale, sondern beliebige reelle Koeffizienten zulässig sind2).

§ 39.

Kriterium für die Ausführbarkeit geometrischer Konstruktionen mittels Lineals und Eichmaßes.

Es sei eine geometrische Konstruktionsaufgabe vorgelegt, die mittels des Zirkels ausführbar ist; wir wollen dann ein Kriterium aufzustellen versuchen, welches unmittelbar aus der analytischen Natur der Aufgabe und ihrer Lösungen beurteilen läßt, ob die Konstruktion auch allein mittels Lineals und Eichmaßes ausführbar ist. Wir werden bei dieser Untersuchung auf den folgenden Satz geführt:

Satz 44. Es sei eine geometrische KonslruMionsaufgabe vorgelegt von der Art, daß man bei analytischer Behandlung derselben die Koordinaten der gesuchten Punkte aus den Koordinaten der gegebenen Punkte lediglich durch rationale Operationen und durch Ziehen von Quadratwurzeln finden kann; es sei n die Ueinste Anzahl der Quadratwurzeln, die hierbei zur Berechnung der Koordinaten der Punkte ausreichen: soll dann die vor- gelegte Konstruktionsaufgabe sich auch allein durch Ziehen von Geraden und Abtragen von Strecken ausführen lassen, so ist dafür notwendig und hinreichend, daß die geometrische Aufgabe genau 2n reelle Lösungen besitzt und zwar für alle Lagen der gegebenen Punkte, d. h. für alle Werte

1) Der Beweis für die Darstellbarkeit von f(x) als Quotient zweier Quadrat- summen ist von mir auf Grund des Satzes 42 in der ersten Auflage ausgeführt worden. Inzwischen ist es E. Landau gelungen, den Beweis für die Darstellbarkeit von f{x) direkt als Quadratsumme, wie oben behauptet, zu erbringen und zwar lediglich mit Benutzung sehr einfacher und elementarer Hilfsmittel. Math. Ann. Bd. 57 1903.

2) Über ternäre definite Formen, Acta Mathematica Bd. 17.

80 Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 39.

der in den Koordinaten der gegebenen Punkte auftretenden willkürlichen Tarameter.

Beweis. Wir beweisen diesen Satz 44 ausschließlich für den Fall, daß die Koordinaten der gegebenen Punkte rationale Funktionen eines Parameters p mit rationalen Koeffizienten sind.

Die Notwendigkeit des aufgestellten Kriteriums leuchtet aus § 37 ein. Um zu zeigen, daß dasselbe auch hinreicht, setzen wir dieses Kriterium als erfüllt voraus und betrachten zunächst eine solche von jenen n Quadrat- wurzeln, die bei der Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte zuerst zu suchen ist. Der Ausdruck unter dieser Quadratwurzel ist eine rationale Funktion fx (p) des Parameters p mit rationalen Koeffizienten; diese rationale Funktion darf für beliebige reelle Parameterwerte p niemals negative Werte annehmen, da sonst entgegen der Voraussetzung die vor- gelegte Aufgabe für gewisse Werte p imaginäre Lösungen haben müßte Aus Satz 43 schließen wir daher, daß ft (p) als Quotient von Summen von Quadraten ganzer rationaler Funktionen darstellbar ist.

Nunmehr zeigen die Formeln

Ya2 + &2 + ? = ")/ (]/a2 + b2Y + c2,

]/a2 + b*+ c2 + d* = V (Ya2 + b* + c2)2 + d2 .

daß allgemein das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Summe von be- liebig vielen Quadraten sich stets zurückführen läßt auf wiederholtes Ziehen der Quadratwurzel aus der Summe zweier Quadrate.

Nehmen wir diese Bemerkung mit dem vorigen Ergebnisse zusammen, so erkennen wir, daß der Ausdruck Y f\ (p) gewiß mittels Lineals und Eichmaßes konstruiert werden kann.

Wir betrachten ferner eine solche von den n Quadratwurzeln, die bei der Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte an zweiter Stelle zu ziehen ist. Der Ausdruck unter dieser Quadratwurzel ist eine rationale Funktion f2 \p, Yfi) des Parameters p und der zuerst betrach- teten Quadratwurzel; auch diese Funktion f2 ist bei beliebigen reellen Parameter werten p und für jedes Vorzeichen von Yfi niemals negativer Werte fähig, da sonst entgegen der Voraussetzung die vorgelegte Aufgabe unter ihren 2n Lösungen für gewisse Werte p auch imaginäre Lösungen haben müßte. Aus diesem Umstände folgt, daß f2 einer quadratischen Gleichung von der Gestalt

f22-<Pl(P)f2 + ^(p) = 0

genügen muß, worin <pt (p) und qf>, (j?) notwendig solche rationale Funk- tionen von p mit rationalen Koeffizienten sind, die für reelle Werte von p

Kap. VII. Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I — IV. § 39. 81

niemals negative Werte besitzen. Aus der letzteren quadratischen Gleichung entnehmen wir

'* <px (p)

Nun müssen wiederum nach Satz 43 die Funktionen tpt (jp) und ^ (joi) Quotienten von Summen von Quadraten rationaler Funktionen sein und andererseits ist nach dem vorigen der Ausdruck f2 mittels Lineals und Eichmaßes konstruierbar; der gefundene Ausdruck für f2 zeigt somit, daß f2 ein Quotient von Summen von Quadraten konstruierbarer Funktionen ist. Also läßt sich auch der Ausdruck ]//*2 mittels Lineals und Eichmaßes konstruieren.

Ebenso wie der Ausdruck f2 erweist sich auch jede andere rationale Funktion <p2 (p, ]/ f-J von p und y/j als Quotient zweier Summen von Quadraten konstruierbarer Funktionen, sobald diese rationale Funktion <p2 die Eigenschaft besitzt, niemals negative Werte anzunehmen bei reellem Parameter p und für beiderlei Vorzeichen von yfx.

Diese Bemerkung gestattet uns, das eben begonnene Schluß verfahren in folgender Weise fortzusetzen.

Es sei f3 (p, yfi ) V7D em solcher Ausdruck, der von den drei Argu- menten p, ]//*!, Y f2 in rationaler Weise abhängt und aus dem bei der analytischen Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte an dritter Stelle die Quadratwurzel zu ziehen ist. Wie vorhin schließen wir, daß f3 bei beliebigen reellen Werten p und für beiderlei Vorzeichen von yf% und Y f2 niemals negative Werte annehmen darf; dieser Umstand wiederum zeigt, daß f3 einer quadratischen Gleichung von der Gestalt

r%% -<p*(p, vi) u + *2(p, VK) - o

genügen muß, worin <p2 und ty2 solche rationale Funktionen von p und yfi bedeuten, die für reelle Werte p und beiderlei Vorzeichen von yfx negativer Werte nicht fähig sind. Da mithin qp2 und ip2 nach der vorigen Bemerkung Quotienten zweier Summen von Quadraten konstruierbarer Ausdrücke sind, so folgt das gleiche auch für den Ausdruck

9>2 (p.» VK)

und mithin ist auch yft mittels Lineals und Eichmaßes konstruierbar.

Die Fortsetzung dieser Schlußweise führt zum Beweise des Satzes 44 in dem betrachteten Falle eines Parameters p.

Die allgemeine Richtigkeit des Satzes 44 hängt davon ab, ob der Satz 43 in entsprechender Weise sich auf den Fall mehrerer Veränder- licher verallgemeinern läßt.

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 6

82 Schlußwort.

Als Beispiel für die Anwendung des Satzes 44 mögen die regulären mittels Zirkels konstruierbaren Polygone dienen; in diesem Falle kommt ein willkürlicher Parameter p nicht vor, sondern die zu konstruierenden Ausdrücke stellen sämtlich algebraische Zahlen dar. Man sieht leicht, daß das Kriterium des Satzes 44 erfüllt ist, und somit ergibt sich, daß man jene regulären Polygone auch allein mittels Ziehens von Geraden und Abtragens von Strecken konstruieren kann — ein Resultat, welches sich auch aus der Theorie der Kreisteilung direkt entnehmen läßt.

Was weitere aus der Elementargeometrie bekannte Konstruktions- aufgaben anbetrifft, so sei hier nur erwähnt, daß das Malfattische Problem, nicht aber die Appollonische Berührungsaufgabe allein mittels Lineals und Eichmaßes gelöst werden kann1).

Schlußwort.

Die vorstehende Abhandlung ist eine kritische Untersuchung der Prinzipien der Geometrie; in dieser Untersuchung leitete uns der Grund- satz, eine jede sich darbietende Frage in der Weise zu erörtern, daß wir zugleich prüften, ob ihre Beantwortung auf einem vorgeschriebenen Wege mit gewissen eingeschränkten Hilfsmitteln möglich oder nicht möglich ist. Dieser Grundsatz scheint mir eine allgemeine und naturgemäße Vorschrift zu enthalten; in der Tat wird, wenn wir bei unseren mathematischen Betrachtungen einem Probleme begegnen oder einen Satz vermuten, unser Erkenntnistrieb erst dann befriedigt, wenn uns entweder die völlige Lösung jenes Problems und der strenge Beweis dieses Satzes gelingt oder wenn der Grund für die Unmöglichkeit des Gelingens und damit zugleich die Notwendigkeit des Mißlingens von uns klar erkannt worden ist.

So spielt denn in der neueren Mathematik die Frage nach der Un- möglichkeit gewisser Lösungen oder Aufgaben eine hervorragende Rolle und das Bestreben, eine Frage solcher Art zu beantworten, war oftmals der Anlaß zur Entdeckung neuer und fruchtbarer Forschungsgebiete. Wir erinnern nur an Abels Beweis für die Unmöglichkeit der Auflösung der Gleichungen fünften Grades durch Wurzelziehen, ferner an die Erkenntnis der Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms und an Hermites und Lindemanns

1) Betreffs weiterer geometrischer Konstruktionen mittels Lineals und Eich- maßes vgl. M. Feldblum, Über elementargeometrische Konstruktionen, Inaugural- dissertation, Göttingen 1899.

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung. 83

Sätze von der Unmöglichkeit, die Zahlen e und % auf algebraischem Wege zu konstruieren.

Der Grundsatz, demzufolge man überall die Prinzipien der Möglich- keit der Beweise erörtern soll, hängt auch aufs engste mit der Forderung der „Reinheit" der Beweismethoden zusammen, die von mehreren Mathe- matikern der neueren Zeit mit Nachdruck erhoben worden ist. Diese Forderung ist im Grunde nichts anderes als eine subjektive Fassung des hier befolgten Grundsatzes. In der Tat sucht die vorstehende geometrische Untersuchung allgemein darüber Aufschluß zu geben, welche Axiome, Voraussetzungen oder Hilfsmittel zum Beweise einer elementar-geome- trischen Wahrheit nötig sind, und es bleibt dann dem jedesmaligen Er- messen anheim gestellt, welche Beweismethode von dem gerade ein- genommenen Standpunkte aus zu bevorzugen ist.

Anhang I. Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte1).

Aus Math. Ann. Bd. 46. (Aus einem an Herrn F. Klein gerichteten Briefe.)

Nehmen wir die Punkte, die Geraden und die Ebenen als Elemente, so können zur Begründung der Geometrie die folgenden Axiome dienen:

1. Die Axiome, welche die Verknüpfung dieser Elemente untereinander betreffen; kurz zusammengefaßt, lauten dieselben wie folgt:

Irgend zwei Punkte A und B bestimmen stets eine Gerade a. — Irgend drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte A, B, C bestimmen eine Ebene a. — Wenn zwei Punkte A, B einer Geraden a in einer Ebene a liegen, so liegt die Gerade a vollständig in der Ebene a. — Wenn zwei Ebenen a, ß einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt B gemein. — Auf jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte,, in jeder Ebene wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte, und im Räume gibt es wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte. —

2. Die Axiome, durch welche der Begriff der Strecke und der Begriff der Reihenfolge von Punkten einer Geraden

1) Betreffs allgemeinerer Formulierung dieses Problems vgl. meinen auf dem internationalen Mathematiker -Kongreß in Paris 1900 gehaltenen Vortrag: Mathe- matische Probleme. Göttinger Nachr. 1900 Nr. 4, sowie G. Hamel, Inaugural- Dissertation, Göttingen 1901 und dessen Abhandlung: Über die Geometrien, in denen die Geraden die Kürzesten sind, Math. Ann. Bd. 57 1903.

6*

84 Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung.

eingeführt wird. Diese Axiome sind von M. Pasch1) zuerst auf- gestellt und systematisch untersucht worden; dieselben sind im wesent- lichen folgende:

Zwischen zwei Punkten A, B einer Geraden gibt es stets wenigstens einen dritten Punkt C der Geraden. — Unter drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen , welcher zwischen den beiden anderen liegt. — Wenn A, B auf der Geraden a liegen, so gibt es stets einen Punkt C der nämlichen Geraden a, so daß B zwischen A und C liegt. — Irgend vier Punkte Ax, A2, A3, A± einer Geraden a können stets in der Weise angeordnet werden, daß allgemein A{ zwischen Ah und Ak liegt, sobald der Index h kleiner und ft größer als i ist. — Jede Gerade a, welche in einer Ebene a liegt, trennt die Punkte dieser Ebene a in zwei Gebiete von folgender Beschaffenheit: ein jeder Punkt A des einen Gebietes bestimmt mit jedem Punkt A' des anderen Gebietes zusammen eine Strecke AA', innerhalb welcher ein Punkt der Geraden a liegt; da- gegen bestimmen irgend zwei Punkte A und B des nämlichen Gebietes eine Strecke AB, welche keinen Punkt der Geraden a enthält.

3. Das Axiom der Stetigkeit, welchem ich folgende Fassung gebe:

Wenn Al} A2, A3, . . . eine unendliche Reihe von Punkten einer Ge- raden a sind und B ein weiterer Punkt auf a ist, von der Art, daß all- gemein Ai zwischen Ah und B liegt, sobald der Index h kleiner als i ist, so gibt es einen Punkt C, welcher folgende Eigenschaft besitzt: sämt- liche Punkte der unendlichen Reihe A2, A3, Aif . . . liegen zwischen Ax und C und jeder andere Punkt C, für welchen dies ebenfalls zutrifft, liegt zwischen C und B.

Auf diese Axiome läßt sich in vollkommener Strenge die Theorie der harmonischen Punkte gründen, und wenn wir uns derselben in ähn- licher Weise bedienen, wie dies F. Lindemann2) tut, so gelangen wir zu folgendem Satze:

Jedem Punkte kann man drei endliche reelle Zahlen x, y, z und jeder Ebene eine lineare Relation zwischen diesen drei Zahlen x, y, 8 zu- ordnen, derart, daß alle Punkte, für welche die drei Zahlen x, y, 8 die lineare Relation erfüllen, in der betreffenden Ebene liegen und daß umgekehrt allen in dieser Ebene gelegenen Punkten Zahlen x, y, 8 ent- sprechen, welche der linearen Relation genügen. Werden ferner x, y, z als die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes im gewöhnlichen Euklidischen Räume gedeutet, so entsprechen den Punkten des ursprüng- lichen Raumes Punkte im Inneren eines gewissen nirgends konkaven

1) Vgl. Vorlesungen über neuere Geometrie. Teubner 1882.

2) Vgl. Vorlesungen über Geometrie Bd. IL Teil 1; S. 433 u. f.

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung. 85

Körpers des Euklidischen Raumes und umgekehrt entsprechen allen Punkten im Inneren dieses nirgends konkaven Körpers Punkte unseres ursprünglichen Raumes: unser ursprünglicher Baum ist mithin auf das Innere eines nirgends konkaven Körpers des Euklidischen Baumes abgebildet.

Hierbei ist unter einem nirgends konkaven Körper ein Körper von der Beschaffenheit verstanden, daß, wenn man zwei im Inneren des Körpers gelegene Punkte miteinander durch eine Gerade verbindet, der zwischen diesen beiden Punkten gelegene Teil der Geraden ganz in das Innere des Körpers fällt. Ich erlaube mir, Sie darauf aufmerksam zu machen, daß diesen hier auftretenden nirgends konkaven Körpern auch in den zahlen- theoretischen Untersuchungen von H. Minkowski1) eine wichtige Rolle zukommt, und daß H. Minkowski für dieselben eine einfache analytische Definition gefunden hat.

Wenn umgekehrt im Euklidischen Räume ein beliebiger nirgends konkaver Körper gegeben ist, so definiert derselbe eine bestimmte Geo- metrie, in welcher die genannten Axiome sämtlich gültig sind: jedem Punkt im Inneren des nirgends konkaven Körpers entspricht ein Punkt in jener Geometrie; jeder durch das Innere des Körpers gehenden Geraden und Ebene des Euklidischen Raumes entspricht eine Gerade bezüglich Ebene der allgemeinen Geometrie; den auf der Grenze oder außerhalb des nirgends konkaven Körpers gelegenen Punkten und den ganz außer- halb des Körpers verlaufenden Geraden und Ebenen des Euklidischen Raumes entsprechen keine Elemente der allgemeinen Geometrie. Der obige Satz über die Abbildung der Punkte in der allgemeinen Geometrie auf das Innere des nirgends konkaven Körpers im Euklidischen Räume drückt somit eine Eigenschaft der Elemente der allgemeinen Geometrie aus, welche inhaltlich mit den anfangs aufgestellten Axiomen vollkommen gleichbedeutend ist.

Wir definieren nun den Begriff der Länge einer Strecke AB in unserer allgemeinen Geometrie und bezeichnen zu dem Zwecke diejenigen beiden Punkte des Euklidischen Raumes, welche den Punkten A und B des ursprünglichen Raumes entsprechen, ebenfalls mit A und B; wir ver- längern dann die Gerade AB im Euklidischen Räume über A und B hinaus, bis dieselbe die Begrenzung des nirgends konkaven Körpers in den Punkten X bezüglich Y trifft, und bezeichnen allgemein die Euklidische Entfernung zwischen irgend zwei Punkten P und Q des Euklidischen Raumes kurz mit P$; dann heiße der reelle Wert

AB = l

\ YA XB \

[yb'xäI

1) Vgl. Geometrie der Zahlen. Teubner 1896.

86

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung.

die Länge der Strecke AB in unserer allgemeinen Geometrie. Wegen

YA YB

>1,

XB

XÄ

>1

ist diese Länge stets eine positive Größe.

Es lassen sich leicht die Eigenschaften des Begriffs der Länge auf- zählen, welche mit Notwendigkeit auf einen Ausdruck der angegebenen Art für AB führen; doch unterlasse ich dies, damit ich durch diesen Brief nicht allzusehr Ihre Aufmerksamkeit ermüde.

Die aufgestellte Formel für AB lehrt zugleich, in welcher Weise diese Größe von der Gestalt des nirgends konkaven Körpers abhängt. Halten wir nämlich die Punkte A und B im Inneren des Körpers fest und ändern nur die Begrenzung des Körpers derart, daß der Grenz- punkt X sich nach A hinbewegt und Y sich dem Punkte B nähert, so ist klar, daß jeder der beiden Quotienten

YA YB

XB

XA

und folglich auch der Wert von AB sich vergrößert.

Es sei jetzt im Inneren des nirgends konkaven Körpers ein Dreieck ABC gegeben. Die Ebene a desselben schneidet aus dem Körper ein nirgends konkaves Oval aus. Wir denken uns ferner jede der drei Seiten

w AB, AC, BC des

Dreieckes über beide Endpunkte hinaus verlängert, bis sie die Begrenzung des Ovals bezüglich in den Punkten Xund Y, ü und V, T und Z schneiden; dann kon- \y struieren wir die ge- raden Verbindungs- linien UZ und TV und verlängern die- selben bis zu ihrem Durchschnitt TT; ihre Schnittpunkte mit der Geraden XY bezeichnen wir mit X' bezüglich Y '. Wir legen nun- mehr statt des ursprünglichen nirgends konkaven Ovals in der Ebene a das Dreieck UWT zu Grunde und erkennen leicht, daß in der durch

Anhang I: Gerade Linie als kürzeste Verbindung. 87

dieses Dreieck bestimmten ebenen Geometrie die Längen AC und BC die gleichen sind, wie in der ursprünglichen Geometrie, während die Länge der Seite AB durch die vorgenommene Änderung vergrößert worden ist. Wir bezeichnen die neue Länge der Seite AB zum Unterschiede von der

ursprünglichen Länge AB mit AB; dann ist AB> AB.

Es gilt nun für die Längen der Seiten des Dreiecks ABC die ein- fache Beziehung

AB = AC+BC.

Zum Beweise verbinden wir W mit C und verlängern diese Gerade bis zum Durchschnitt D mit AB. Nach dem bekannten Satze vom Doppel- verhältnis ist dann wegen der Perspektiven Lage der beiden Punktreihen X', A, D, F und U, A,C,V

T~Ä Td Vä uc

TD X'A VC TIA

und wegen der Perspektiven Lage der beiden Punktreihen Y', B, D, X' und T, B, C, Z ist

XB tb zb_ Yc^

XHD TB " ZC TB Die Multiplikation beider Gleichungen ergibt

T~Ä XB VA UC ZB TG

TB X'A VC VA ZC TB

und diese neue Gleichung beweist meine Behauptung.

Aus obiger Untersuchung erkennen Sie, daß lediglich auf Grund der zu Anfang meines Briefes aufgezählten Axiome und der aus den ein- fachsten Eigenschaften des Längenbegriffs sich mit Notwendigkeit er- gebenden Definition der Länge der allgemeine Satz gilt:

In federn Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer oder gleich der dritten Seite.

Zugleich ist klar, daß der Fall der Gleichheit dann und nur dann vorkommt, wenn die Ebene a aus der Begrenzung des nirgends konkaven Körpers zwei gerade Linienstücke TJ Z und TV ausschneidet. Die letztere Bedingung läßt sich auch ohne Zuhilfenahme des nirgends kon- kaven Körpers ausdrücken. Sind nämlich irgend zwei in einer Ebene cc gelegene und in irgend einem Punkte C sich schneidende Geraden a und b der ursprünglichen Geometrie gegeben, so werden im allgemeinen in jedem der vier in cc um C herum entstehenden ebenen Winkelräume solche gerade Linien vorhanden sein, welche keine der beiden Geraden a und b schneiden; sind jedoch insbesondere in zwei sich gegenüberliegenden

88 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

ebenen Winkelräumen keine solchen geraden Linien vorhanden, so ist die fragliche Bedingung erfüllt, und es gibt dann stets Dreiecke, für welche die Summe zweier Seiten gleich der dritten ist. In dem betrachteten Falle ist also zwischen gewissen Punkten A und JB ein aus zwei geradlinigen Stücken zusammengesetzter Weg möglich, dessen Gesamtlänge gleich der direkten Entfernung der beiden Punkte A und JB ist; es läßt sich ohne Schwierig- keit zeigen, daß alle Wege zwischen den beiden Punkten A und B von derselben Eigenschaft sich aus den konstruierten Wegen zusammensetzen lassen und daß die übrigen Verbindungsivege von größerer Gesamtlänge sind. Die nähere Untersuchung dieser Frage nach den kürzesten Wegen ist leicht ausführbar und bietet ein besonderes Interesse in dem Falle, daß für die Begrenzung des nirgends konkaven Körpers ein Tetraeder zu Grunde ge- legt wird.

Zum Schluß erlaube ich mir darauf hinzuweisen, daß ich bei der vorstehenden Entwickelung stets den nirgends konkaven Körper als ganz im Endlichen gelegen angenommen habe. Wenn jedoch in der durch die ursprünglichen Axiome definierten Geometrie eine Gerade und ein Punkt vorhanden ist von der Eigenschaft, daß durch diesen Punkt zu der Ge- raden nur eine einzige Parallele möglich ist, so ist jene Annahme nicht gerechtfertigt. Es wird leicht erkannt, welche Abänderungen meine Be- trachtung dann zu erfahren hat.

Kleinteich bei Ostseebad Rauschen, den 14. August 1894.

Anhang II.

Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen

Dreieck.

[Mit Zusätzen abgedruckt aus den Proceedings of the London Maihematical Society,

Vol. XXXV, Nos. 793, 794.]

Unter der axiomatischen Erforschung einer mathematischen Wahrheit verstehe ich eine Untersuchung, welche nicht dahin zielt, im Zusammen- hange mit jener Wahrheit neue oder allgemeinere Sätze zu entdecken, sondern die vielmehr die Stellung jenes Satzes innerhalb des Systems der bekannten Wahrheiten und ihren logischen Zusammenhang in der Weise klarzulegen sucht, daß sich sicher angeben läßt, welche Voraussetzungen zur Begründung jener Wahrheit notwendig und hinreichend sind.

So habe ich beispielsweise in meiner Festschrift Grundlagen der Geo- metrie Kap. V und VI (S. 47 — 73) die ebenen Schnittpunktsätze, nämlich

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 89

den speziellen Pascalschen Satz für das Geradenpaar und den Desargues- schen Satz von den perspektiv liegenden Dreiecken einer axiomatischen Untersuchung unterworfen, und in gleicher Weise haben auf meine An- regung hin M. Beim1) den Satz von der Winkelsumme im Dreieck und G. Hamel2) den Satz von der Geraden als der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten behandelt.

Die vorliegende Note betrifft die Stellung des Satzes von der Gleich- heit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck in der ebenen Euklidi- schen Geometrie. Zur Erleichterung des Verständnisses stelle ich — im wesentlichen wie in meinen Grundlagen der Geometrie — die Axiome der ebenen Euklidischen Geometrie zusammen wie folgt:

I. Axiome der Verknüpfung.

I 1. Zwei von einander verschiedene Punkte A, B be- stimmen stets eine Gerade.

I 2. Irgend zwei von einander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.

I 3. Auf jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte. Es gibt wenigstens drei Punkte, welche nicht in einer Ge- raden liegen.

II. Axiome der Anordnung.

II 1. Wenn A, B, C Punkte einer Geraden sind, und B zwischen A und C liegt, so liegt auch B zwischen C und A.

II 2. Wenn A und B zwei Punkte einer Geraden sind, so gibt es wenigstens einen Punkt C, der zwischen A und B liegt, und wenigstens einen Punkt D, so daß B zwischen A und D liegt.

II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es stets einen und nur einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.

Definition. — Die zwischen zwei Punkten A und B gelegenen Punkte heißen auch die Punkte der Strecke AB.

II 4. Es seien A, B, G drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade, die keinen der Punkte A, B, C trifft; wenn dann diese Gerade durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewiß auch durch einen Punkt der Strecke BC oder der Strecke AG oder BA.

1) Mathematische Annalen, Bd. LHI, 1900.

2) Inaugural-Dissertation, Göttingen 1901, und dessen Abhandlung: Über die Geometrieen, in denen die Geraden die Kürzesten sind, Math. Ann. Bd. 57, 1903,

90 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

III. Axiome der Kongruenz.

III 1. Wenn A, B zwei Punkte der Geraden a sind, und Ä ein Punkt einer Geraden a ist, so kann man auf einer gege- benen Hälfte der Geraden a von Ä aus stets einen und nur einen Punkt B' finden, so daß die Strecke AB der Strecke AB' kongruent oder gleich ist; in Zeichen

AB = A'B'. Jede Strecke ist sich selbst kongruent, d. h. es ist stets: AB = AB und AB = BA.

III 2. Wenn die Strecke AB sowohl der Strecke A'B' als auch der Strecke A"B" kongruent ist, so ist auch AB' der Strecke A" B" kongruent.

III 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemein- same Punkte auf a, und ferner A'B' und B'C zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf einer Geraden a'; wenn dann

AB- A'B' und BC = B'C,

ist, so ist auch stets:

AC = ÄC.

Definition. — Ein von einem Punkte ausgehendes Paar von Halb- strahlen Ji, Je nennen wir einen Winkel und bezeichnen ihn entweder mit <£ 0, Je) oder <£ (&, *).

III 4. Es sei ein Winkel <$C (Ji, Je), eine Gerade a , und eine bestimmte Seite von a gegeben. Es bedeute Ji einen Halbstrahl der Geraden a , der vom Punkte 0' ausgeht: dann gibt es einen und nur einen Halbstrahl Je, so daß

*(M) -*<*;*)

ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels <£ (Ji, Je') auf der gegebenen Seite von a liegen. Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, d. h.

£&*)■■<&*) und *(*»*)■■■.*<&*).'

IH 5. Wenn ein Winkel «£; (h, Je) sowohl dem Winkel ^ Qi, Je) als auch dem Winkel -^C (h", Je") kongruent ist, so ist auch der Winkel ^C (h\ k') dem Winkel <£ Qi", Je") kongruent.

IH 6*. Wenn für zwei Dreiecke ABC und ÄB'C die Kongruenzen

AB = A'B', AC = ÄC und <£ BAC = <£ B'A'C gelten, so gilt auch stets

^ABC = ^ÄB'C und <£ ACB = ^A'C'B'.

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 91

Es ist nun für die nachfolgende Untersuchung wesentlich, dem letzten Kongruenzaxiom, nämlich dem Axiom III 6* über die Dreieckskongruenz eine engere Fassung zu erteilen, indem wir die Aussage desselben nur für Dreiecke mit gleichem Umlaufssinn als gültig hinstellen. Um diesen ein- schränkenden Zusatz scharf zu formulieren, nehmen wir irgend eine durch zwei Punkte A, B bestimmte Gerade in der Ebene beliebig an, und be- zeichnen eine der beiden Halbebenen, in die diese Gerade die Ebene teilt, als rechts von der Geraden AB in der Richtung von A nach B, und dieselbe Halbebene zugleich auch als links von B A in der Richtung von B nach A\ die andere Halbebene bezeichnen wir als links von der Geraden AB, und zugleich als rechts von der Geraden BA gelegen. Ist nun *C irgend ein Punkt auf der rechten Halbebene von AB, so bezeichnen wir diejenige Halbebene von A C, auf welcher der Punkt B liegt, als die linke Halbebene von AC. Auf diese Weise können wir durch analoge Fest- setzungen schließlich in eindeutig bestimmter Weise für jede Gerade an- geben, welche Halbebene rechts oder links von dieser Geraden in gegebener Richtung gelegen ist. Zugleich wird von den Schenkeln irgend eines Winkels in eindeutig bestimmter Weise stets der eine als der rechte Schenkel und der andere als der linke Schenkel zu bezeichnen sein, näm- lich so, daß der rechte Schenkel auf der rechten Halbebene von derjenigen Geraden liegt, die durch den anderen Schenkel nach Lage und Richtung bestimmt ist, während der linke Schenkel links von derjenigen Geraden liegt, die durch den ersteren Schenkel nach Lage und Richtung be- stimmt ist.

Stellen wir nun die Aussage des Axioms III 6* nur dann als gültig hin, wenn in den beiden Dreiecken die Seiten AB und AB' bez. AC und ÄC zugleich die rechten bez. die linken Schenkel der Winkel BAC und B'ÄC sind, so erhalten wir jenes Axiom in der folgenden engeren

Fassung:

III 6. Wenn für zwei Dreiecke ABC und ÄB'C die Kon- gruenzen

AB = ÄB', AC = A'C und <£ BAC = <£ B'ÄC

gelten, so gilt auch stets

^ABC^^ÄB'C und £ ACB = <£ A'C'B',

vorausgesetzt, daß AB und A'B' die rechten Schenkel, AC und ÄC die linken Schenkel der Winkel BAC bez. B'ÄC sind. Das letzte Axiom in seiner ursprünglichen weiteren Fassung III 6* hat sofort den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck zur Folge. Auch ist leicht zu erkennen, daß umgekehrt mit Hilfe dieses Satzes vom gleichschenkligen Dreieck aus jenem Kongruenzaxiom

92 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

in der engeren Fassung III 6 und den vorangehenden Axiomen das Axiom III 6* in der weiteren Fassung notwendig folgt.

Das engere Axiom III 6 zusammen mit den früheren Axiomen I, II, III 1 — III 5 gestattet den Nachweis des Satzes von der Gleichheit der Scheitelwinkel und der Möglichkeit der Halbierung einer jeden Strecke, sowie den Beweis des Euklidischen Satzes, daß der Außenwinkel eines Dreiecks stets größer ist als jeder der beiden inneren Winkel.

IV. Axiom der Parallelen (Euklidisches Axiom).

Durch einen Punkt A außerhalb einer Geraden a läßt sich nur eine Gerade ziehen, welche a nicht schneidet. Der Satz von der Gleichheit der Wechselwinkel, und mithin auch der Satz, daß die Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte beträgt, folgen aus dem Parallelenaxiom mit Hilfe der vorangehenden Axiome, auch wenn wir das letzte Kongruenzaxiom nur in der engeren Fassung III 6 zu Grunde legen.

V. Axiome der Stetigkeit.

V 1. Axiom des 3Iessens (Archimedisches Axiom).

Es sei A1 ein beliebiger Punkt auf einer Geraden zwischen den beliebig gegebenen Punkten A und B\ man konstruiere dann die Punkte A2, A3, AA, . . ., so daß Ax zwischen A und A2, ferner A2 zwischen Ax und A3, ferner A3 zwischen A2 und Ai u. s. w. liegt, und überdies die Strecken

AA1} AtA%, AiA3J A3Ai} . . .

einander gleich sind: dann gibt es in der Reihe der Punkte A2} A3, Aif . . . stets einen solchen Punkt An, daß B zwischen A und An liegt.

V 2. Axiom der Nachbarschaft. Ist irgend eine Strecke AB vorgelegt, so gibt es stets ein Dreieck, in dessen Innerem keine zu AB kongruente Strecke sich finden läßt. Dieses Axiom der Nachbarschaft ist eine notwendige Folge aus dem Satze von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreiecke, wie man aus dem Umstände erkennt, daß wegen dieses Satzes vom gleich- schenkligen Dreieck die Summe zweier Seiten in jedem Dreiecke größer als die dritte Seite ausfällt.

Ich stelle nun folgende Behauptung auf:

Mit Benutzung der sämtlichen Axiome I — V ist es möglich, den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Breieck zu beweisen,

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 93

auch wenn wir das Axiom von der Dreieckslwngruenz nur in der engeren Fassung III 6 zu Grunde legen.

Um dies einzusehen, wählen wir zwei sich schneidende Gerade als Achsen eines schiefwinkligen Koordinatensystems, und ordnen den Punkten dieser Geraden auf Grund der linearen Kongruenzaxiome III 1 — 3 und des Archimedischen Axioms V. 1 reelle Zahlen zu; die sämtlichen Punkte der Ebene sind dann durch Zahlenpaare darstellbar.

Das engere Kongruenzaxiom III 6 zusammen mit V 1 gestattet leicht die Begründung der Proportionenlehre, und aus dieser folgt, daß die Ge- raden durch lineare Gleichungen darstellbar sind.

Fassen wir nun den Punkt mit den Koordinaten x = 1 und y = s ins Auge, wo s eine beliebige Größe ist, und betrachten diejenige Kongruenz der Ebene mit sich im engeren Sinne, bei welcher der Koordinatenanfang sich selbst und die x- Achse der Verbindungsgeraden des Koordinatenanfanges mit jenem Punkte 1 , s entspricht, so erkennen wir leicht, daß diese Drehung durch ein Formelsystem von der Gestalt

vermittelt wird, worin as, ßs, ys, ös Zahlen bedeuten, die durch s eindeutig bestimmt sind. Indem wir nun einer jeden Geraden durch den Koordi- natenanfang ihren Treffpunkt (1, t) mit der Geraden x = 1 zuordnen, er- halten wir zu jeder solchen Drehung der Ebene um den Koordinaten- anfang eine Transformation der Punkte der Geraden x = 1 von der Gestalt

Die Koeffizienten as, ßs, ys, ds bezeichnen Funktionen von s, die sicher für alle rationalen Werte von s definiert sind; man sieht dann leicht ein, daß diese Funktionen sich nach dem Prinzip der Stetigkeit so ergänzen lassen müssen, daß man aus ihnen stetige und für alle reellen Werte von s, sowie für s = oo eindeutig definierte Funktionen erhält. Wenn das ge- schehen ist, so liefert die Formel

eine Gruppe von linearen Transformationen, die gewiß folgende Eigen- schaften besitzt:

1. Es gibt außer der Identität keine Transformation der Gruppe, welche einen Wert der Variabein t festläßt.

2. Es gibt stets eine Transformation der Gruppe, welche einen ge- gebenen Wert von t in irgend einen anderen bestimmten Wert dieser Variabein überführt.

94 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

In meiner Abhandlung über die Grundlagen der Geometrie1) (§ 18) habe ich bewiesen, daß eine Gruppe mit diesen Eigenschaften notwendig holoedrisch-isomorph ist mit der Gruppe der gewöhnlichen Drehungen eines Kreises in sich, und folglich auch mit derjenigen Transformations- gruppe, die durch die Formel

T,_ ST+1

M —T+S

dargestellt wird, wo T, T' die Variabein und S den Parameter bedeutet. Hieraus können wir nun entnehmen, daß die obige Gleichung zwischen T und T' so gelöst werden kann, daß wir

l~A + BT> l A + BT'

setzen, wobei A, B, C, D Konstante bedeuten. Führen wir dann mittels

der Formeln

x = AX + BY,

y=CX + DY

statt der Koordinaten x, y die Koordinaten X, Y ein, so entspricht einer bestimmten Drehung um den Koordinatenanfang die Formel

r _x + sy

X'~ SX—Y> und hieraus entnehmen wir die Drehungsformeln

X'=CS(SX-Y),

r=cs(x + SY),

wobei Cs eine von S abhängige Größe bezeichnet.

Unter Zuhilfenahme des Axioms der Nachbarschaft V 2 folgt, daß die Determinante dieser eine Drehung vermittelnden Transformations- formeln notwendig = 1 sein muß«, mithin ist

und die Gruppe der Drehungen stellt sich daher in den Koordinaten X, Y wie folgt dar:

X' = -JL= X- — L= Y,

Y'= ■ 1 X +

-j/i + s2 Vi + s*

Aus diesen Formeln entnehmen wir die Gültigkeit aller Tatsachen der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie und insbesondere den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

1) Mathematische Annalen 1903. Anhang IV S. 143—145.

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 95

Wir haben im vorstehenden kurz den Beweis dafür angedeutet, daß das Axiom von der Dreieckskongruenz im weiteren Sinne III 6* eine Folge dieses Axioms im engeren Sinne III 6 ist, wenn man die Stetig- keitsaxiome V 1 und V 2 zu Hilfe nimmt.

Nunmehr entsteht die Frage, ob auch ohne die Axiome der Stetigkeit V 1 und V 2 die weitere Fassung des Axioms von der Dreieckskongruenz sich als eine notwendige Folge der engeren Fassung desselben ergibt. Die nachfolgende Untersuchung wird zeigen, daß dies nicht der Fall ist, selbst dann nicht, wenn man noch die 'Proportionenlehre als gültig voraussetzt. Die Geometrie, welche ich zu diesem Zwecke im folgenden konstruiere, beantwortet nicht nur die eben aufgeworfene Frage, sondern verbreitet überhaupt, wie ich glaube, über den logischen Zusammenhang des Satzes vom gleichschenkligen Dreieck mit den anderen in Betracht kommenden elementaren Sätzen der ebenen Geometrie neues lÄcht.

Es sei t ein Parameter und cc irgend ein Ausdruck mit einer end- lichen oder unendlichen Gliederzahl von der Gestalt

a = aQP + a1tn + 1 + a2tn + 2 -\ ;

darin mögen a0(=f= 0), alf a2, . . . beliebige reelle Zahlen bedeuten und n sei eine beliebige ganze rationale Zahl (= Ol. Die Gesamtheit aller Aus- drücke von dieser Gestalt cc sehen wir als ein komplexes Zahlensystem T an, indem wir folgende Festsetzungen treffen. Man addiere, subtrahiere, multipliziere, dividiere irgend welche Zahlen des Systems T, als wären sie gewöhnliche Potenzreihen, die nach steigenden Potenzen der Variabein t fortschreiten. Die entstehenden Summen, Differenzen, Produkte und Quo- tienten sind dann wiederum Ausdrücke von der Gestalt cc, und mithin Zahlen des komplexen Zahlensystems T. Eine Zahl cc in T heiße < oder > 0, je nachdem in dem betreffenden Ausdrucke cc der erste Koeffizient a0 < oder > 0 ausfällt. Sind irgend zwei Zahlen cc, ß des komplexen Systems T vorgelegt, so heiße cc < ß bez. a > ß, je nachdem cc — ß < 0 oder > 0 ausfällt. Es leuchtet ein, daß bei diesen Festsetzungen alle formalen Regeln und Gesetze, wie bei den gewöhnlichen reellen Zahlen, gültig sind; dagegen gilt für unser System T das Archimedische Axiom nicht, da ja, wie groß auch die positive reelle Zahl A gewählt sei, stets At < 1 bleibt; unser komplexes Zahlensystem T ist ein Nicht- Archimedi- sches System.

Sind cc, ß irgend zwei Zahlen des Systems T, und bedeutet i die imaginäre Einheit ]/— 1, so heiße

y = cc -\- iß eine imaginäre Zahl zum komplexen System T.

96 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

Ist ferner t ein Ausdruck von der Gestalt

t = a0tn + axtn + 1 + a2tn+2 -\ ,

wo a0(4=0), a1} a2, . . . reelle Zahlen bedeuten und der Exponent n der niedrigsten Potenz von t positiv ausfällt, so heiße x eine unendlich Meine Zahl des komplexen Systems T.

Offenbar läßt sich stets die unendliche Reihe

1 + —vT + ~¥\ — + — 3! — +■'■" nach steigenden Potenzen von t ordnen, und stellt dann eine imaginäre Zahl zum komplexen System T dar; wir bezeichnen diese imaginäre Zahl mit e<1+*J*. Ist dann noch & irgend eine gewöhnliche reelle Zahl, so setzen wir . „ , • .. . . , „ , .

Nunmehr konstruieren wir mit Hilfe des komplexen Zahlensystems T eine ebene Geometrie wie folgt:

Wir denken uns ein Paar von Zahlen (x, y) des Systems T als einen Punkt und die Verhältnisse von irgend drei Zahlen (u : v : w) aus T, falls u, v nicht beide 0 sind, als eine Gerade; ferner möge das Bestehen der

Gleichung

ux + vy + w — 0

ausdrücken, daß der Punkt (x, y) auf der Geraden (u : v : w) liegt.

Berücksichtigen wir die obige Pestsetzung, derzufolge die Zahlen in T sich ihrer Größe nach anordnen lassen, so können wir leicht solche Fest- setzungen für unsere Punkte und Geraden treffen, daß auch die Axiome II der Anordnung sämtlich erfüllt sind. In der Tat, stellen (x1} yj, (x2) ya), (x3, y3), . . . irgend welche Punkte auf einer Geraden dar, so möge dies ihre Reihenfolge auf der Geraden sein, wenn die Zahlen xx, x2, xs, . . . oder yi,y2,ys,-.- in dieser Reihenfolge entweder beständig abnehmen bez. wachsen; um ferner die Forderung des letzten Axioms der Anord- nung II. 4 zu erfüllen, haben wir nur nötig festzusetzen, daß alle Punkte (x, y), für die ux + vy + w kleiner oder größer als 0 ausfällt, auf der einen bez. auf der anderen Seite der Geraden (u : v : w) gelegen sein sollen.

Wenn zwei Punkte A, B beide zugleich entweder auf der x- Achse oder auf der y- Achse liegen, so nennen wir die absolute Differenz der Abszissen bez. der Ordinaten dieser beiden Punkte ihre Entfernung oder auch die Länge der durch sie bestimmten Strecke. Nunmehr definieren wir das Abtragen von Strecken und Winkeln durch die Parallelverschie- bungen und Drehungen der Ebene in sich wie folgt. Die Parallelverschie- bung wird durch eine Transformation von der Gestalt

xr = x -{- a,

y' = y + ß

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 97

oder x -f iy' = x -\- iy -{- u -\- iß

vermittelt, worin a, ß Zahlen in T, nämlich die Projektionen der Parallel- verschiebung in Richtung der Achsen sind. Die Drehung der Ebene um den Koordinatenanfangspunkt (0, 0) werde durch die Formel

x' -\- iy' = ei9+(l + i^(x + iy)

vermittelt, worin 0- irgend eine reelle Zahl bedeutet, und x irgend eine unendlich kleine Zahl im komplexen System T bedeutet; ^-f-r heiße der Drehungswinkel dieser Drehung.

Zunächst ist klar, daß bei allen Verschiebungen und Drehungen der Ebene jede Gerade wiederum in eine Gerade übergeht, und zugleich die Anordnung der Punkte auf einer Geraden sowie ihre Lage zu den Geraden ebenfalls unverändert bleibt.

Es seien nun (x, y) und (x', y') irgend zwei vom Koordinatenanfangs- punkt verschiedene Punkte. Die Punkte der Verbindungsgeraden von (x'} y') mit dem Koordinatenanfangspunkt werden durch die Koordinaten {ix'} [iy' dargestellt, worin fi irgend eine Zahl des komplexen Systems T bedeutet. Wir wollen nun zeigen, daß es stets eine Drehung um den Koordinatenanfangspunkt gibt, durch welche der Punkt (x, y) in einen Punkt jener Verbindungsgeraden übergeht. Zu dem Zwecke untersuchen wir die Gleichung

Durch Division mit der konjugiert imaginären Gleichung folgt

oder

worin

e2i(#+i) x + jy = x\ + jy'

x — iy x — iy'

% + in

: — iy x'-\-iy'

gesetzt ist. Wegen

x-\-iy x — iy'

I2 + V2 = 1

folgt, daß |, rj solche Zahlen in T sind, bei deren Darstellung durch t die niedrigsten Exponenten der Potenzen von t ^ 0 sind, und mindestens einer derselben = 0 ausfällt. Wir können mithin setzen

l -•+!',

worin a, b gewöhnliche reelle Zahlen mit der Quadratsumme 1 und £ ', r\ ' unendlich kleine Zahlen in T bedeuten.

Die reelle Zahl & ist durch die Gleichung

e2i& = a + ib

Hubert, Grundlagen der Geometrie. 7

98 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

bis auf ganze Vielfache von 7t, und ferner t als unendlich kleine Zahl in T durch die Gleichung

a -f- ib völlig eindeutig bestimmt. Nach Einsetzung von & und r in die ur- sprüngliche Gleichung folgt (i eindeutig als eine Zahl in T. Wir sehen daraus, daß es stets eine Drehung von der gewünschten Beschaffenheit gibt, und daß diese Drehung bis auf Drehungen um den Winkel % ein- deutig bestimmt ist.

Nunmehr nennen wir irgend welche Strecken und Winkel einander kongruent oder gleich, sobald es gelingt, dieselben durch Verschiebungen und Drehungen der Ebene miteinander zur Deckung zu bringen. Unsere obige Entwicklung zeigt dann, daß die sämtlichen Axiome III erfüllt sind, wobei das letzte Kongruenzaxiom im engeren Sinne III 6 zu ver- stehen ist. Auch gilt, wie man sieht, das Parallelenaxiom IV, und aus der Formel für die Drehung kann ferner leicht ersehen werden, daß auch das Axiom V 2 der Nachbarschaft in unserer Geometrie gültig ist.

Wir fassen dies wie folgt zusammen:

In unserer Geometrie gelten die sämtlichen oben aufgestellten Axiome der gewöhnlichen ebenen Geometrie mit Ausnahme des Archimedischen Axioms V 1, so jedoch, daß das Axiom über die Dreieckskongruenz dabei in der engeren Fassung III 6 zu verstehen ist.

Wir leiten noch einige weitere Sätze ab, die in unserer Geometrie gültig sind:

In unserer Geometrie gibt es einen rechten Winkel, und jeder be- liebige Winkel ist halbierbar.

In der Tat, — ist gewiß ein rechter Winkel, weil derselbe bei einer

Drehung um in seinen Nebenwinkel übergeht. Ebenso leuchtet ein,

daß, wenn & -j- r einen beliebigen Winkel be- deutet, — + ö^ die Hälfte desselben ist.

Wir führen nun den Begriff der Spiege- lung an einer Geraden a wie folgt ein. Fällen wir von irgend einem Punkte A auf irgend eine Gerade a das Lot und verlängern dieses um sich selbst über den Fußpunkt B hinaus bis Ä, so heiße A' der Spiegelpunkt von A. Wir wählen zunächst zur Geraden a die x- Achse und für A einen Punkt im positiven Quadranten mit den Koor- dinaten a, ß. Der Winkel AOB zwischen dem Halbstrahl OA und der

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 99

positiven x- Achse sei # + t, und zwar möge der Punkt x = y auf der x- Achse bei der Drehung um den Winkel & + r in den Punkt A über- gehen, so daß

wird. Der Spiegelpunkt A des Punktes A in Bezug auf die x- Achse hat die Koordinaten cc, — ß. Führen wir mithin die Drehung um den Winkel & -\- t aus, so entsteht aus dem Punkte Ä ein Punkt, der durch die imaginäre Zahl

g^-Ki+o* (a _ iß) _ «_±il (a _ iß) = ^±£

dargestellt wird, d. h. der entsprechende Punkt liegt auf der x- Achse 5 folglich ist der Winkel Ä OB ebenfalls gleich -fr + t, und stimmt mithin mit dem Winkel AOB überein. Wir sprechen dies Resultat wie folgt aus:

Wenn in zwei symmetrisch liegenden rechtwinkligen Dreiecken die beiden Katheten übereinstimmen, so sind auch die entsprechenden Winkel an der Hypotenuse einander gleich.

Wir folgern hieraus zugleich den allgemeineren Satz:

Im Spiegelbilde einer Figur stimmen die Winkel stets mit den ent- sprechenden Winkeln der ursprünglichen Figur überein.

Es sei a irgend eine Gerade durch den Anfangspunkt 0, und -fr -f- % sei der Winkel zwischen a und der x- Achse: dann erhält man zu dem beliebigen Punkt (x, y) den Spiegelpunkt in Bezug auf die Gerade a, indem man die Ebene zunächst um den Winkel — # — r dreht, sodann an der x- Achse spiegelt, und schließlich die Ebene um den Winkel & -f- r dreht. Die Ausführung dieser Operationen liefert der Reihe nach aus der imaginären Zahl x -\- iy die Zahlen

«-«♦-(»+0« (x + iy), e^-a-O' (3 — ig)} ei&+(i+ii* ei»-(i-i)t ^ _ iy) = e2i(# + i) (x _ f'y).

mithin wird die Spiegelung an der Geraden a durch die Formel

x + iy = e2,'(^+f) (x — iy)

für den Spiegelpunkt vermittelt.

Nun mögen ax, a2 ebenfalls zwei Gerade durch den Anfangspunkt 0 und fr, + r1 bez. #2 + r2 die Winkel bedeuten, die diese Gerade mit der x-Achse einschließen. Führen wir der Reihe nach die Spiegelungen an den Geraden a, a1} a2 aus> s0 wird die entsprechende Transformation des Punktes {x, y) durch die Formel

x' + iy = e»*(+*-*i+*,+*-*x+«J (x — iy)

vermittelt, und hieraus entnehmen wir das folgende Resultat:

7*

100 Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.

"Wenn man an irgend drei durch einen Punkt gehenden Geraden nacheinander die Spiegelung ausführt, so ist die dann entstehende Trans- formation der Ebene wiederum eine Spiegelung.

Aus diesem Satze beweisen wir leicht die weiteren Sätze: Die Mittelsenkrechten auf den drei Seiten eines Dreieckes treffen sich in einem Punkt.

Wenn in einem Vierecke ABCB ohne einspringende Ecken die Winkel AGB und ABB übereinstimmen, so sind auch die Winkel BAC und BBC einander gleich.

Die genannten Sätze genügen, um die Proportionenlehre ohne Hilfe des Satzes vom gleichschenkligen Dreiecke zu begründen: man hat nur nötig, den in meiner Festschrift Grundlagen der Geometrie (§§ 14 — 16) dargelegten Beweis in geeigneter Weise abzuändern, was leicht geschehen kann. Wir erkennen hieraus, daß es zur Begründung der Proportionen- lehre in der ebenen Euklidischen Geometrie nicht des vollständigen Axioms von der Dreieckskongruenz im weiteren Sinne III 6* bedarf, sondern daß dazu diejenigen Bestandteile dieses Axioms hinreichen, die in den eben genannten Sätzen enthalten sind.

Der Fundamentalsatz der Proportionenlehre lautet: Schneiden zwei Parallele auf den Schenkeln eines beliebigen Winkels die Strecken a, b bez. a, b' ab, so gilt die Proportion

a:b = d :b'.

Umgekehrt, wenn vier Strecken a, b, d, b' diese Proportion erfüllen, und a, d und b, b' je auf einem Scheitel eines beliebigen Winkels ab- getragen werden, so sind die Verbindungsgeraden der Endpunkte von a, b bez. von d, b' einander parallel.

Dieser Satz konnte auch direkt aus dem Umstände abgeleitet werden, daß in unserer Geometrie die Geraden durch lineare Gleichungen definiert sind, und zugleich erkennen wir hieraus diese Tatsachen:

In unserer Geometrie gelten die Schnittpunktsätze von Pascal und Desargues, und daher überhaupt alle Sätze der projektiven Geometrie.

Wir kommen nun zu der wesentlichsten Frage, ob in unserer Geo- metrie der Satz von der Gleichheit der Basiswinkel des gleichschenkligen Breieckes gilt.

Zum Zwecke dieser Untersuchung sei a eine Gerade durch den Koordinatenanfang 0, die mit der x- Achse den Winkel & -\- t einschließt; ferner sei A ein Punkt auf a so, daß die Strecke OA = 1 ausfällt, und Ä sei der Spiegelpunkt von A in Bezug auf die #-Achse (vgl. Fig. S. 101).

Anhang II: Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. 101

Um die Koordinaten (x, y) des Punktes A zu berechnen, bedenken wir, daß die Drehung um den Winkel — & — t den Punkt A in den Punkt mit den Koordinaten 1, 0 überführen muß; wir haben mithin

c-**-^+i>*(aj-f*y)-* 1,

und folglich

x -f iy — e^+U+Q«,

d.h. x = OB = e* cos (# + *),

y = AB = AB = cx sin (0- + x).

Um die Länge der Strecke 0A' zu be- rechnen, bedenken wir, daß Ä die Koordi- naten x, — y besitzt; die Drehung um den Winkel & -f- t liefert mithin

ei9+(i + i)t rx iy\ = ei$